基于CVaR的次新股投資組合優(yōu)化模型與實證分析

魏冰月

摘要：參數(shù)方法需要假定次新股服從具體的分布，導(dǎo)致次新股的風(fēng)險存在誤差，為了克服參數(shù)方法的缺點，提出核密度估計方法計算次新股的風(fēng)險。建立基于CVaR核估計量的次新股投資組合優(yōu)化模型，以準確計算次新股的風(fēng)險。文章運用牛頓迭代算法設(shè)計其求解算法。通過實證分析表明，與參數(shù)方法相比核密度估計方法能夠描述風(fēng)險分布的尾部特征，給出更準確的估計結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)次新股投資組合的CVaR核估計值隨著概率水平的增加而不斷減少。

關(guān)鍵詞：核密度估計;CVaR;次新股;優(yōu)化模型

由于股票發(fā)行機構(gòu)對新股發(fā)行的檢查更為嚴格，次新股的質(zhì)量往往比較好，所以次新股很受投資者的歡迎。但由于次新股的上市時間一般不會超過1年，相對于金融市場中其它類型的股票，已有的歷史數(shù)據(jù)往往比較少，本文試圖基于次新股已有的歷史數(shù)據(jù)，通過分析短期內(nèi)風(fēng)險的統(tǒng)計特征，計算短期內(nèi)次新股的風(fēng)險。

通常，基于參數(shù)方法去估計CVaR值。但由于參數(shù)方法往往需要假定風(fēng)險的概率模型，且需要大量的歷史數(shù)據(jù)才能保證估計的穩(wěn)定性和可靠性，為了克服參數(shù)方法的缺點，一些學(xué)者提出了非參數(shù)核密度估計方法度量CVaR值，Gourieroux等首次介紹了CVaR的核密度估計，結(jié)果表明，核密度估計方法無需對金融數(shù)據(jù)進行分布假設(shè)。Scaliet首次將非參數(shù)核密度估計方法應(yīng)用在CVaR及投資組合的風(fēng)險度量中，以圖示的形式討論了只存在兩只證券的情況下，證券組合頭寸的變化情況。但Scaliet并沒有找到精確的CVaR值及其組合頭寸。在文獻的基礎(chǔ)上，本文進一步研究如何基于CVaR做風(fēng)險投資組合優(yōu)化研究。本文預(yù)選取了2019年1月1日至2019年5月1日的次新股日收盤價數(shù)據(jù)做實證分析，并與參數(shù)方法下次新股風(fēng)險進行比較，驗證核密度估計方法的準確性及建立優(yōu)化模型的有效性。

一、基于指數(shù)核函數(shù)的次新股CVaR相關(guān)核估計

（一）單只次新股的CVaR核估計

假設(shè){l}是某次新股在T期的股票收盤價，ct=log（lt/lt-1）是第t期的對數(shù)收益，{c}是相依嚴平穩(wěn)的時間序列。記Xt=-ct是第t期的對數(shù)損失，Xt的邊際分布函數(shù)為F（·），邊際密度函數(shù)為f（·），生存函數(shù)為S（·）。記Xt的邊際分布函數(shù)的核估計為云贊（·），邊際密度函數(shù)的核估計為棗贊（·），生存函數(shù)的核估計為雜贊（·）。在給定概率水平p時，記Xt的VaR為Vp，其數(shù)學(xué)表達式：Vp=inf{Vp：F（Xt）≥1-p}。記Xt的CVaR為Up，其數(shù)學(xué)表達式為：Up=E[Xt|Xt>Vp]。

由于次新股的上市時間較短，可獲取相關(guān)次新股數(shù)據(jù)相對較少，基于非參數(shù)核密度估計方法對Xt的CVaR進行估計。當窗寬確定時，核函數(shù)的選取對核密度估計的影響不大，記Xt的邊際密度函數(shù)f（x）的核估計為棗贊（x），其表達式為：棗贊（x）=K

其中：K（·）為核函數(shù)。記Xt的VaR核估計量為災(zāi)贊p，CVaR的核估計量為哉贊p，核密度估計分兩步計算。

第一步先估計Xt的VaR核估計災(zāi)贊p，窗寬h由拇指法則確定，其表達式為：h=1.06T-0.2其中：σ2為單只次新股對數(shù)損失數(shù)據(jù)的方差;X單只次新股對數(shù)損失數(shù)據(jù)矩陣的轉(zhuǎn)置，當雜贊（x）=p時可得Xt的VaR核估計值災(zāi)贊p。第二步由Xt的CVaR的定義可知核估計表達式為：哉贊p=K（t）dt

（二）次新股投資組合的CVaR核估計

假設(shè)次新股之間的交易忽略中間成本，市場具有抵御下跌風(fēng)險的能力，n只次新股之間相互獨立。令第只股票的收益率為bi，b=（b1，b2，…，bn）′為n只次新股的樣本矩陣，投資者的財富標準化為1，記w=（w1，w2，…，w）′為投資者所持有的組合頭寸，組合頭寸滿足wi=1，則次新股投資組合的收益率為Bw=w′b。記n只次新股在T期內(nèi)的收益率為其中bt=（b1t，b2t，…，bnt）′，則次新股投資組合的均值矩陣b=bt，次新股投資組合的協(xié)方差陣∑表達式為：∑=（bt-b）（bt-b）′。次新股投資組合在T期內(nèi)的收益為：{Bwt}，其中：Bwt=w′b。

當概率水平為p時，記次新股組合的風(fēng)險價值為V（w，p），記次新股組合的條件風(fēng)險價值為U（w，p），其數(shù)學(xué)表達式為：U（w，p）=E[-w′b|-w′b≥V（w，p）]。次新股組合的窗寬h由拇指法則確定，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?h=1.06×T-0.2×

定義1：[（τ1，τ2）;τ3]=τ1K

，

定義2：隕贊（ξ）=[bt，w′bt）;u]du，

次新股投資組合CVaR的核估計值分兩步計算。第一步計算次新股組合VaR的核估計，記次新股組合的VaR核估計為災(zāi)贊（w，p），通過[1，w′bt）;u]du=p可得災(zāi)贊（w，p）。第二步計算次新股投資組合的CVaR核估計哉贊（w，p），由文獻[11]可知是條件期望E[b|w′b<-V（w，p）]的核估計，因此哉贊（w，p）的核估計可以通過哉贊（w，p）=隕贊（災(zāi)贊（w，p））計算。

二、次新股投資組合CVaR核估計的風(fēng)險優(yōu)化

（一）建立次新股投資組合的最小風(fēng)險組合優(yōu)化模型

根據(jù)建立的非參數(shù)核估計方法計算次新股組合的CVaR的哉贊（w，p），建立基于CVaR核估計的次新股投資組合優(yōu)化模型A1：

min哉贊（w，p）=-w′隕贊（災(zāi)贊（w，p））/p

s.t.? w′D=1，

0≤wi≤1，i=1，2，…，n

其中，D=（1，1，…，1）′1×n，對模型A1求解可得次新股投資組合的最小CVaR核估計值及對應(yīng)的組合頭寸，對模型A1分析可得下面的引理。

（二）次新股組合的風(fēng)險優(yōu)化模型求解

顯然問題A1是凸優(yōu)化問題，因此本文通過設(shè)計牛頓迭代算法對次新股組合優(yōu)化問題求解。

通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)L（w，λ）=哉贊（w，p）+λ（w′E-1）求解哉贊（w，p）。哉贊（w，p）存在最優(yōu)解的必要條件是：首先滿足函數(shù)L（w，λ）的一階導(dǎo)數(shù)F′為0，其次二階導(dǎo)數(shù)矩陣H可逆，其中一階導(dǎo)數(shù)F′的計算公式如下：

F

=

F

=

H是函數(shù)L（w，λ）的Hession，其計算公式如下

Fww=

=

Fwλ=

=D;Fλw=

=D′;Fλλ=

=0

牛頓迭代算法的求解步驟如下：

1.記W=（w，λ），給定初值W=（w0，λ0）和一個正數(shù)ε，取迭代變量為k。

2.將給定初值w0，將次新股組合的協(xié)方差陣代入可得hk與災(zāi)贊（wk，p）。由災(zāi)贊（wk，p）和hk可得哉贊（wk，p），同時計算F′和H;如果||F||<ε，停止迭代，輸出Wk;否則計算H-1，如果H-1不存在則迭代失敗，如果H-1存在則轉(zhuǎn)入步驟c）。

3.計算Wk+1=Wk-H-1F′，如果||Wk+1-Wk||<ε則停止迭代，否則k=k+1， 返回步驟b）。

三、實證分析

（一）單只次新股的CVaR核估計實證分析

參數(shù)方法通常假設(shè)次新股的日收盤價數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，由文獻可知，正態(tài)分布下CVaR估計為Up=-μ+σ?（zp）/p，其中：μ為次新股的均值，σ為次新股的標準差，?（·）為標準正態(tài)分布下的密度函數(shù)，zp為標準正態(tài)分布下p的分位數(shù)?；诓煌椒案怕仕较碌腃VaR值見表1。

由表1可得，在相同的概率損失下，基于參數(shù)方法計算的次新股CVaR值均大于核估計方法下的CVaR值。隨著概率水平的增加次新股各自的CVaR值變化逐漸減少?；趨?shù)方法下，隨著概率水平的增加，四只次新股的CVaR值在不斷變小。比較核估計方法與參數(shù)方法可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)方法低估了短期內(nèi)次新股的風(fēng)險，從兩只次新股的日收盤價直方圖可以看出，假定兩只次新股的日收盤價數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布是不準確的，因而會導(dǎo)致計算誤差。核密度估計是從數(shù)據(jù)本身出發(fā)對次新股的風(fēng)險進行估計，避免了假定具體分布而導(dǎo)致的誤差，從核密度擬合曲線可以看出，核估計方法計算的風(fēng)險價值更接近真實值，從而提高了計算的準確性。

（二）次新股組合的最小CVaR及其組合頭寸實證分析

本文選取了四川天邑（300504）、新疆交建（002941）、光弘科技（300735）、天奧電子（002935）的2019年1月1日至2019年5月1日的日收收盤價數(shù)據(jù)，通過Python編程計算不同概率水平下的組合頭寸及CVaR值見表2。

由表2可得，不同概率水平下的四只股票的組合頭寸和對應(yīng)的最小CVaR值;組合CVaR值隨著概率水平的增加不斷變大。在概率水平為1%時，短期內(nèi)四只次新股投資組合的風(fēng)險核估計值為1.9065，小于單只次新股的風(fēng)險。短期內(nèi)四只次新股投資組合的最小CVaR值為1.7332，取得最小風(fēng)險時的組合頭寸為w=（0.1945，0.3686，0.3793，0.0576）′。對比表1可以發(fā)現(xiàn)在概率水平小于或等于5%時，次新股投資組合最小CVaR核估計值小于單只股票CVaR核估計值，滿足投資的分散化原理。從而驗證了本文建立優(yōu)化模型的有效性。

四、結(jié)論

為了準確的計算次新股的風(fēng)險，克服參數(shù)方法需要假定次新股服從具體分布而導(dǎo)致次新股風(fēng)險計算有誤差的缺點。本文基于核密度估計方法建立次新股投資組合優(yōu)化模型，并設(shè)計牛頓迭代算法對其求解。實證分析表明：核密度估計方法能夠描述風(fēng)險分布的尾部特征，給出更準確的估計結(jié)果。

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（作者單位：浙江理工大學(xué)理學(xué)院）