“旋轉(zhuǎn)”中的最值問題

文 王春玲

（作者單位：陜西師范大學(xué)出版總社）

一、旋轉(zhuǎn)中線段的最值

例1如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，，以點D為頂點作正方形DEFG，且DE=BC，連接AE、AG。若將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AE取最小值時，AG的長為______。

圖1

【解析】由△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點我們可以知道等邊三角形ABC的邊長是6，所以正方形DEFG的邊長也為6。將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，則點E在以點D為圓心，6為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)一周，顯然，當(dāng)正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上（如圖2，此時AD+AE=DE）時，AE取最小值，此時△ADG是直角三角形。要求AG的長，已經(jīng)有了DG的長，則必須求出AD的長。過點A作AM⊥BC于M，由已知得DC=4，得BC=BD+DC=6，由等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC=BC=6，所以DM=BM-BD=1。在Rt△ABM中，由勾股定理得出進(jìn)而Rt△ADM中，由勾股定理得在 Rt△ADG中，由勾股定理即可得AG=8。故答案為8。

圖2

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周，討論AE的最小值，首先要能發(fā)現(xiàn)線段AE中端點A是定點，端點E是動點，而動點E是在以點D為圓心，6為半徑的圓上運動一周。發(fā)現(xiàn)了端點E的運動路徑，則問題不難解決，運用相關(guān)的知識（正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及線段最小值問題等）即可解決。由旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)圓，是解決問題的關(guān)鍵突破口。

二、旋轉(zhuǎn)中角的最值

例2如圖3，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，連接BF、DE。若△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABF最大時，S△ADE=______。

圖3

【解析】我們先明確條件：正方形ABCD是確定的，△AEF是等腰直角三角形，它是繞直角頂點A旋轉(zhuǎn)的。在Rt△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，∠ABF是變化的，但變化中有不變的，那就是邊BA是不變的，變化的是點F。例1告訴我們，由旋轉(zhuǎn)聯(lián)想到圓，動點F的運動路徑就是在以點A為圓心，4為半徑的圓上，由此立即發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BF為此圓的切線時，∠ABF最大，如圖4、圖5。本題也就是當(dāng)BF⊥AF時，求△ADE的面積。已知AE=4，則過點D作DH⊥AE于H，問題轉(zhuǎn)化為求高DH的長。觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)：△ADH≌△ABF，DH=BF，而在Rt△ABF中，AB=5，AF=4，利用勾股定理可得BF=3，因此問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為探索△ADH≌△ABF。

∵∠EAF=90°，

∴∠HAF=90°，

又∵∠BAD=90°，

∴∠DAH=∠BAF。

圖4

圖5

在△ADH和△ABF中，

故答案為6。

【點評】本題同樣考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。由旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)圓，當(dāng)BF為此圓的切線時，∠ABF最大，這是解決問題的關(guān)鍵突破口。