淺談能力導向體系下的工科有限元教學

周劍 王華畢 李德寶 張兵 王紅州 張騫 祖磊

[摘 要] 有限元方法已經(jīng)成為現(xiàn)代工程研發(fā)和設計的重要工具，大部分高等院校的工科專業(yè)都將有限元方法列為本科生專業(yè)必修或選修課程。針對有限元方法理論復雜、內(nèi)容廣泛與教學課時有限的矛盾，如何提高其教學效果成為一個亟待解決的問題。本文從優(yōu)化理論教學內(nèi)容、強調(diào)實踐環(huán)節(jié)和綜合考查教學效果等方面探索有限元課程的教學方法。首先要凝練有限元課程的主干內(nèi)容，將核心思想和關鍵概念貫穿于整個課程，注意應用有限元方法的規(guī)范統(tǒng)一性。強調(diào)有限元軟件的實踐應用，讓學生掌握軟件的基本使用方法、培養(yǎng)分析簡化實際工程問題的能力，是實踐教學的主要目標。最后，從理論和實踐應用兩方面合理考查教學效果，是實現(xiàn)學生掌握有限元方法核心思想、基本理論和實際應用多重目標的必要手段。

[關鍵詞] 有限元;教學方法;理論和實踐;核心思想;規(guī)范統(tǒng)一

一、引言

有限元是以變分原理為基礎，吸取差分格式的思想而發(fā)展起來的一種有效的數(shù)值解法[1]。有限元方法作為數(shù)值解法，把求解無限自由度的待定函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解有限自由度的待定值問題。依托有限元方法，計算力學發(fā)展成為龐大的計算機輔助工程分析（CAE）產(chǎn)業(yè)，有力推動了諸多工程領域的快速發(fā)展。目前，有限元方法及其軟件已廣泛用于機械、土木、航空航天、冶金、電氣等領域復雜工程的計算求解，是現(xiàn)代工程設計和分析的重要工具。近年，全球商業(yè)有限元軟件的需求激增，掌握一種或數(shù)種通用有限元軟件的使用，逐漸成為工科畢業(yè)生的必備技能之一。

為了適應這種發(fā)展趨勢，大部分院校的工科專業(yè)都將有限元方法列為本科生的專業(yè)必修或選修課程。但有限元方法是綜合力學物理基礎、數(shù)值方法和計算機軟件的理論方法和實用技術(shù)，具有理論博大精深、涉及領域廣泛、專業(yè)知識要求強等特點。非力學專業(yè)學生在缺少相關力學基礎知識的情況下，要在一定時間內(nèi)掌握有限元法比較困難，對于課程的教授也帶來很大的阻礙[2]。因此，如何提高有限元法教學效果成為一個需要解決的問題。諸多學者從不同角度探討了如何優(yōu)化重組理論教學與工程應用所占教學比例、更新教學內(nèi)容[3]，將繁雜抽象的理論知識與工程實踐教學結(jié)合起來，鍛煉學生獨立自主分析和解決問題的能力，提高有限元課程教學的有效性[4]。

本文在學?！叭灰惑w”能力導向教學理念指導下，結(jié)合筆者教學經(jīng)驗和心得體會，從有限元課程的教學內(nèi)容取舍、如何貫穿核心思想、強調(diào)實踐環(huán)節(jié)、重視教材選擇和全面綜合考查教學效果這五個方面，探索如何讓學生掌握有限元的核心思想、基本理論和實際應用。

二、優(yōu)化理論教學

（一）凝練主干理論內(nèi)容

在較短的教學時間內(nèi)無法覆蓋有限元理論的諸多方面。首先，在理論教學內(nèi)容上要有所取舍，重點凝練有限元理論的大致框架，但同時要形成清晰的體系。結(jié)合目前眾多教材中的基本內(nèi)容體系，筆者在24個課堂教學中主要講解彈簧系統(tǒng)、桿系和桁架、平面應力/應變、基本傳熱和旋轉(zhuǎn)軸對稱問題這五塊主干內(nèi)容，所涉及的基本單元類型包括彈簧單元、桿單元、梁單元、三角形結(jié)構(gòu)單元、三角形傳熱單元和軸對稱單元。由于二維和三維模型的基本理論知識和分析思路都是一致的，因此在理論教學過程中只講解二維問題，但在軟件使用中講解三維問題的建模求解。另一方面，主要利用剛度法和能量法求解剛度矩陣，不涉及伽遼金殘差等方法。同時強調(diào)一些彈性力學和傳熱學的基礎知識，滿足課堂知識點的講解需求。

（二）貫穿有限元的核心思想

有限元理論的核心思想是“化整為零”，即單元離散化，把求解無限自由度的待定函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解有限自由度的待定值問題。有限元方程F=Kd，是有限元方法的核心和精髓，其中F是載荷矩陣，K是剛度矩陣，d是節(jié)點場變量。求解剛度矩陣是關鍵環(huán)節(jié)，在每個主干內(nèi)容中均是核心講解的知識點。為了清晰深刻地展示有限元方程的推導思路，筆者借鑒關系圖1，向?qū)W生闡述載荷、應力、應變、位移這四個變量間是如何通過平衡方程、物理方程、幾何方程和有限元方程進行相互關聯(lián)的。通過該圖，不僅清晰展示了基本變量和主要方程之間的關聯(lián)，而且使有限元方程的推導更易于接受且印象深刻。這些核心思想和概念深入貫穿于整個課程。

另外，在教學過程中，要注意總結(jié)和應用有限元方法的規(guī)范統(tǒng)一性。有限元方法具有成熟的理論體系，對于上述提到的五個主干內(nèi)容，雖然每種單元的剛度矩陣形式不同，但推導過程都是相同的思路。根據(jù)能量法，單元的剛度矩陣具有統(tǒng)一的形式：[K]=∫∫∫[B]T■[D][B]dV，其中[B]是應變矩陣，[D]是物理矩陣。因此，對于每種具體的單元，需要求解的只是應變矩陣和物理矩陣。同樣，在手動求解具體問題時一般經(jīng)過分析問題、離散單元、求解單元剛度矩陣、合成整體剛度矩陣、約束條件和載荷分析，從而得到整體有限元方程，進而求解節(jié)點場變量以及單元分析這些規(guī)范化步驟。在利用軟件分析過程中，則按照建立幾何模型、賦予材料屬性、劃分網(wǎng)格、施加約束和載荷、創(chuàng)建分析步、運行求解器和結(jié)果后處理等這些基本步驟。因此可以看出，有限元剛度矩陣、手動求解問題、軟件分析都具有規(guī)范化形式或標準求解步驟。在教學過程中，向?qū)W生深刻闡明這些規(guī)范統(tǒng)一性，然后再去關注具體問題的特殊性，這樣很可能要起到事半功倍的效果。

三、強調(diào)實踐應用和綜合考查

（一）強調(diào)上機練習和實踐應用

實踐環(huán)節(jié)是有限元教學的重要組成部分，也是工科有限元教學的主要目標。課程中的實踐環(huán)節(jié)主要包括課堂上的軟件演示和學生上機兩個部分。課堂上的軟件演示，主要采用案例教學，將復雜枯燥的有限元理論和實例分析相結(jié)合，提高教學效果。演示案例除了包括基本課堂內(nèi)容之外，還可以結(jié)合自身科研和有限元軟件的最近進展，演示一些進階功能。例如，可以在幾何建模過程中，從其他幾何造型軟件中導入北京鳥巢、大飛機C-919等復雜模型，讓學生驚嘆有限元軟件的強大功能，激發(fā)其學習興趣。此外，還可以引入python語言腳本編程，進行有限元分析的前處理和后處理，將最新的有限元軟件技術(shù)和發(fā)展趨勢介紹給學生。

一般上機時間不會太長（4-8個學時），需要合理安排上機內(nèi)容。首先，應該針對理論教學內(nèi)容，編寫相應的基礎示例練習和詳細指導教程，供學生參照練習，達到熟悉軟件基本操作和加深課堂內(nèi)容的目的。在完成基礎練習之后，進一步布置開放性題目，鍛煉學生使用軟件解決工程實際問題的能力。為了考查學生的上機效果，學生需提交較為詳細的上機實驗報告，展示其分析結(jié)果以及對工程問題簡化和有限元分析準確性方面的理解和思考。課程內(nèi)的實踐時間畢竟有限，其主要目標是掌握軟件的基本使用方法和解決問題的思路，為以后學生從事有限元理論研究和軟件應用奠定基礎。課堂之外，更多地是鼓勵學生將有限元方法應用于畢業(yè)設計、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽等實踐活動，以解決更加具體和復雜的工程問題，在解決問題的過程中繼續(xù)加深對有限元理論和軟件使用的深入學習，達到學以致用、漸入佳境的效果。

（二）全面綜合考查學習效果

為了達到較好的課程教學效果，全面合理地考查學生的學習效果至關重要。有限元方法是理論和應用的綜合課程，因此考查體系自然也包括理論和應用兩部分。筆者在教學過程中，主要通過平時作業(yè)、期末測試和上機作業(yè)三部分評估學生的學習效果。由于有限元理論復雜、公式繁冗，因此理論考查不宜太深，主要強調(diào)基本理論方法和分析思路。平時作業(yè)中，學生通過典型例題的求解，熟悉單元/節(jié)點離散、剛度矩陣計算和組裝、載荷移植、矩陣求解等重要步驟，理解掌握有限元求解問題的基本步驟和核心思想。學生在解題過程中“事必躬親”，才能明白難點所在。期末測試采用開卷形式，考查有限元基本概念和典型問題的計算求解。上機作業(yè)主要判斷分析結(jié)果的準確性和開放問題的獨立完成度。

四、結(jié)語

針對有限元方法理論復雜、內(nèi)容廣泛與教學課時有限的矛盾，筆者從優(yōu)化理論教學內(nèi)容、強調(diào)實踐環(huán)節(jié)和綜合全面考查教學效果等方面，探討了有限元課程的教學方法。首先要凝練有限元課程的主干內(nèi)容并保持清晰的理論框架，教學過程中要著重強調(diào)將核心思想和關鍵概念貫穿于整個課程，注意總結(jié)和應用有限元方法的規(guī)范統(tǒng)一性，提高理論教學效果。配合使用數(shù)本優(yōu)秀教材以及關注網(wǎng)上慕課資源也是非常重要的。強調(diào)有限元軟件的上機練習和課程以外的實踐應用，讓學生掌握軟件的基本使用方法、培養(yǎng)分析簡化實際工程問題的能力，是實踐教學的主要目標。

參考文獻

[1]王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學出版社，2003.

[2]王小榮，林順洪，丁劍平，等.有限元法課程的教學改革探討[J].重慶科技學院學報（社會科學版），2011（6）：178-179.

[3]王磊，王曉軍.航空航天結(jié)構(gòu)中有限元方法教學與實踐研究[J].課程教學，2018（33）：109-110.

[4]姜黎黎，周新偉，嚴實，等.基于能力培養(yǎng)的有限元教學改革與探索[J].雞西大學學報，2016（16）：1-3.