基于非線性振動(dòng)研究低音現(xiàn)象

劉鴻業(yè)，王曉杰，李文華，陳宗強(qiáng)

(南開大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

低音現(xiàn)象為第32屆IYPT的第3題[1]：讓音叉或簡(jiǎn)易的振子對(duì)著紙振動(dòng)，兩者有輕微接觸，產(chǎn)生聲音的頻率比原來的頻率更低. 本文采用音叉與紙張系統(tǒng)發(fā)生非線性振動(dòng)的觀點(diǎn)，通過建立模型，預(yù)測(cè)產(chǎn)生低音的頻率條件，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1 理論分析

1.1 紙張受力分析

圖1為題中所述的音叉與紙張系統(tǒng)示意圖. 在本系統(tǒng)中，以紙張為參考對(duì)象，紙張與音叉之間的空氣層提供作用力. 在振動(dòng)過程中，考慮到音叉的振動(dòng)頻率很高而且振幅較小，可以認(rèn)為空氣經(jīng)歷了絕熱壓縮的過程，空氣層的壓強(qiáng)p滿足：

p[(L+Δz)S]α=p0(LS)α，

(1)

其中，L為音叉靜止時(shí)紙張與音叉之間空氣層的厚度，Δz為音叉振動(dòng)的微小位移，S為紙張與音叉的正對(duì)面積，α=1.4為空氣絕熱系數(shù)，p0為大氣壓強(qiáng). 因此，空氣層提供的作用力為

F=(p-p0)S=

(2)

圖1 音叉與紙張系統(tǒng)

1.2 模型建立

1.2.1 非線性振動(dòng)理論

由式(2)可以看出，空氣層提供的作用力為非線性驅(qū)動(dòng)力，當(dāng)在系統(tǒng)的受迫振動(dòng)中加入非簡(jiǎn)諧項(xiàng)時(shí)，在共振現(xiàn)象中會(huì)出現(xiàn)新的特性. 一般物體的受迫非線性振動(dòng)方程為[2]

(3)

在微擾理論中，通常會(huì)假設(shè)如下關(guān)系[2]：

x=x(1)+x(2)+x(3)+…,
ω′=ω+ω(1)+ω(2)+ω(3)+…,

(4)

其中x(k+1)?x(k),ω(k+1)?ω(k).

這樣導(dǎo)致得出的共振頻率與普通的彈簧振子的共振頻率不同[3].

由上述討論，確定各力的作用來源：以紙張為振動(dòng)對(duì)象，空氣提供非線性力，音叉提供驅(qū)動(dòng)力.

為了簡(jiǎn)化問題的計(jì)算，取式(3)中非線性恢復(fù)力的前兩階，得到：

(5)

其中，αx2+βx3為空氣提供的非線性恢復(fù)力.

當(dāng)外力頻率滿足：γ=2ω+ε(其中，ω為共振頻率，ε為一小量)時(shí)，在一階近似中有：

(6)

對(duì)于二階近似解，保留共振項(xiàng)，有

α[x(2)]2+β[x(2)]3=0,

(7)

利用余弦函數(shù)積化和的形式，可以求出解為

(8)

由式(8)可以看出，紙張的振動(dòng)頻率中有1/2外力頻率項(xiàng)，即低音現(xiàn)象.

當(dāng)外力頻率γ=3ω+ε時(shí)，在一階近似解中有

(9)

對(duì)于二階近似解，由余弦函數(shù)倍角公式解得：

(10)

可得紙張振動(dòng)的頻率可以為外力頻率的1/3.

進(jìn)一步，當(dāng)外力頻率滿足γ=pω+ε時(shí)，其中p為倍頻關(guān)系的比例系數(shù)且為正整數(shù)，產(chǎn)生低音的頻率f′為外力頻率γ的1/p，即

(11)

1.2.2 關(guān)于低音頻的進(jìn)一步預(yù)測(cè)

考慮到音叉的本質(zhì)為棒振動(dòng)，對(duì)于棒振動(dòng)來說，在1次振動(dòng)后，波傳遞到邊界并被反射，形成第2次振動(dòng). 振動(dòng)再次被邊界反射，形成第3次振動(dòng)……并一直持續(xù)下去. 對(duì)于第q次振動(dòng)，其振動(dòng)頻率滿足：

(12)

其中，l為棒的長(zhǎng)度，c為棒的縱向振動(dòng)傳播速度. (12)式表示“駐波”形式的振動(dòng)過程，q=1時(shí)為基波，q>1為q次諧波.

音叉在振動(dòng)時(shí)由于存在高次諧波振動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生泛音，即會(huì)產(chǎn)生滿足基頻整數(shù)倍的高音頻[4]. 通常，泛音頻率fq滿足[5-6]：

fq=qf1,

(13)

其中，f1為音叉自由振動(dòng)時(shí)的基頻. 根據(jù)式(11)和(13)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)紙張振動(dòng)的外力為音叉高階的振動(dòng)時(shí)，即γ=fq時(shí)，紙張產(chǎn)生的低音的頻率滿足：

(14)

其中，p和q為正整數(shù)并且滿足p>q.

隨著近似階數(shù)的增加，紙張的振幅迅速減小，以至于觀察到只有p和q值都較小的情況[2].

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示. 音叉垂直固定，5個(gè)音叉頻率分別為128，256，440，512，1 024 Hz. 紙張為A4紙裁剪而成，尺寸為7.0 cm×15.0 cm. 錄音設(shè)備為錄音筆，采樣范圍為20～50 000 Hz.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

首先測(cè)量無紙張接觸時(shí)音叉的振動(dòng)頻率作為空白對(duì)照，然后讓紙輕微接觸音叉，測(cè)量有低音時(shí)的頻率. 最后利用空白對(duì)照來進(jìn)行降噪處理，使用Matlab進(jìn)行快速傅里葉變換處理采集到的數(shù)據(jù)[7]. 低音現(xiàn)象是持續(xù)的過程[8]，利用快速傅里葉變換導(dǎo)出聲強(qiáng)-頻率圖只能導(dǎo)出特定采樣頻率時(shí)的分布圖. 因此只能展示出某時(shí)刻的頻率分布，這樣就不能觀察到全部的低音峰[9].

以512 Hz的音叉的低音峰為例，結(jié)果如圖3所示. 紙張未與音叉接觸時(shí)，采集到聲音為音叉自由振動(dòng)的基頻，如圖3(a)所示，中心頻率f1約為512 Hz. 當(dāng)紙張與音叉輕微接觸后，除音叉基頻外，還出現(xiàn)低音振動(dòng)峰，如圖3(b)所示，其中心頻率為f′≈256 Hz,為基頻的1/2，即半頻低音.

(a)音叉自由振動(dòng)

(b)音叉與紙張接觸圖3 基頻為512 Hz的音叉自由振動(dòng)時(shí)和 與紙張接觸時(shí)采集到的音頻

對(duì)實(shí)驗(yàn)中音叉得到的次數(shù)較多的分?jǐn)?shù)頻進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖4所示.

(a)半分頻擬合

(b)三分頻擬合圖4 常見低音頻理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合

為獲得更精確的結(jié)果，利用Peak fit軟件對(duì)基頻為440 Hz的音叉的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行峰峰擬合，得到的低音頻數(shù)據(jù)如表1所示. 從表1中可看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的各低分頻比較好地滿足理論推導(dǎo)出的分?jǐn)?shù)頻假設(shè). 而且，在理論上只有p和q都比較小時(shí)才容易被觀察到，在實(shí)驗(yàn)中也得到驗(yàn)證.

表1 各低音頻頻率

3 結(jié) 論