曲梁與拱的正應(yīng)力分析

陳琦，李振東

（1.蘭州理工大學(xué)，蘭州730050；2.江蘇大學(xué)，江蘇 鎮(zhèn)江212013）

1 引言

曲梁與拱因樣式多樣、造型獨(dú)特、結(jié)構(gòu)合理而廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)工程中，但也因其原有曲率的存在，使得曲梁與拱的力學(xué)性能較為復(fù)雜，研究較為困難。

20 世紀(jì)50 年代蘇聯(lián)學(xué)者Vlasov【1】建立了經(jīng)典的穩(wěn)定性理論，將曲梁的曲率替換，然后代入直梁的平衡方程中得到求解。Usami【2】等基于薄壁構(gòu)件理論分析的基本假定，推導(dǎo)出曲梁翹曲位移的近似表達(dá)式，并推廣至拱的研究。本文利用卡氏第二定理【3】以及超靜定問(wèn)題的解得到曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式，并在MATLAB 中以標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)構(gòu)件為研究對(duì)象，討論分析了3 種約束條件下曲梁與拱的正應(yīng)力沿軸線變化的情況，為工程實(shí)際提供參考依據(jù)，以便于曲梁與拱結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的推廣。

2 理論求解

理論研究對(duì)象為彈簧鋼制（60Si2Mn）的矩形斷面曲桿，其圓心角為120°，拱頂有承壓支座，兩側(cè)拱腰為30°的對(duì)稱(chēng)截面。改變其約束方式，構(gòu)建簡(jiǎn)支曲梁、二鉸拱和無(wú)鉸拱。取構(gòu)件任一截面S作為研究對(duì)象，其與豎直方向夾角φ 為研究對(duì)象。

通過(guò)查閱相關(guān)資料【4】，得到曲梁的正應(yīng)力σ 計(jì)算公式:

式中，a、Jz為系數(shù)；A為截面面積；N為截面S的軸力，N；M為截面S的彎矩，N·m；R為構(gòu)件的曲率半徑，m；y為構(gòu)件內(nèi)徑到中性軸的距離，m。

2.1 簡(jiǎn)支曲梁

對(duì)于截面S，構(gòu)件頂端施加集中力P，其彎矩M（φ）和軸力N分別為：

簡(jiǎn)支曲梁正應(yīng)力沿截面的變化如圖1 所示。

圖1 簡(jiǎn)支曲梁正應(yīng)力變化圖像

2.2 二鉸拱

對(duì)于截面S，構(gòu)件頂端施加集中力P，利用卡氏第二定理可得，其彎矩M（φ）、軸力N分別為：

利用最小功原理求得其約束力X1：

二鉸拱正應(yīng)力變化如圖2 所示。

圖2 二鉸拱正應(yīng)力變化圖像

2.3 無(wú)鉸拱

對(duì)于截面S，構(gòu)件頂端施加集中力P，利用卡氏第二定理可得，其彎矩M（φ）、軸力N為：

利用最小功原理求得約束力X1、X2：

無(wú)鉸拱正應(yīng)力變化如圖3 所示。

圖3 無(wú)鉸拱正應(yīng)力變化圖像

3 結(jié)語(yǔ)

在曲梁與拱的正應(yīng)力分析中，可以得到簡(jiǎn)支曲梁與無(wú)鉸拱的正應(yīng)力最大截面在φ=0°時(shí)，即正應(yīng)力最大截面在簡(jiǎn)支曲梁的頂端以及無(wú)鉸拱的拱頂處。而通過(guò)高等材料力學(xué)中的理論分析，得到二鉸拱正應(yīng)力最大截面并不存在拱頂處。因此，工程實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)曲梁與拱在正應(yīng)力最大截面處的材料強(qiáng)度，以保證工程實(shí)踐的安全性，同時(shí)也為在保證強(qiáng)度要求的前提下節(jié)約材料提供了方向。