陳月霜

摘 要：2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求將“數(shù)學(xué)史選講”編入高中選修課程，2014年3月30日，教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中提出以學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)的“育人目標(biāo)”，要立德樹人，數(shù)學(xué)育人，要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。越來越多的教師希望通過數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的整合，數(shù)學(xué)文化的滲透，實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)例，探究在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何進(jìn)行數(shù)學(xué)史滲透。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史滲透;核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生具有文化底蘊(yùn)的同時(shí)，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，發(fā)現(xiàn)并解決問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人功能，這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)需要數(shù)學(xué)史這一燃力。數(shù)學(xué)文化需要傳承，而數(shù)學(xué)史的滲透便是一種文化的傳承。如何將數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)文化以“潤物細(xì)無聲”的方式滲透入高中的數(shù)學(xué)課堂，在傳承中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)？作為一線的教師，在課改背景下，在實(shí)現(xiàn)課標(biāo)想法的激勵(lì)下，進(jìn)行著不斷的思考和課堂探索實(shí)踐。個(gè)人認(rèn)為它的滲透可以是：1. 展淵源、通思想，讓數(shù)學(xué)知識(shí)和原理融匯貫通。2. 在情感、態(tài)度、價(jià)值觀的滲透中指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)、解題，遇到困難時(shí)學(xué)習(xí)前人的不放棄，培養(yǎng)堅(jiān)韌的意志品格。3. 數(shù)學(xué)源于生活又用于生活，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的角度看問題，明確數(shù)學(xué)是有用的。在具體的課堂教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行滲透。

一、 在教學(xué)目標(biāo)中滲透

課堂中教師如何教，學(xué)生怎么學(xué)？對(duì)教與學(xué)，以直接指向作用的便是教學(xué)目標(biāo)，它使得教師和學(xué)生有一致的目標(biāo)。準(zhǔn)確的目標(biāo)設(shè)定不僅發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，更有利于學(xué)生主體作用的體現(xiàn)，真正做到教和學(xué)的積極統(tǒng)一。無論是“教學(xué)目的”的提出還是“教學(xué)目標(biāo)”的制定，它都必須以課程標(biāo)準(zhǔn)所限定的范圍和各個(gè)教材內(nèi)容所應(yīng)達(dá)到的深度為依據(jù)，都須服從、服務(wù)于國家的教育目的。簡單說，教學(xué)目標(biāo)的制定應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的要求，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在教學(xué)內(nèi)容上增加了數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容，指出要通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)使學(xué)生“體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神”。課標(biāo)還指出：“數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，不單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個(gè)模塊或者專題中。”

故而以《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1》（人教A版）第二章“圓錐曲線與方程”第二節(jié)“橢圓的定義和方程”為例，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的要求是：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程。特制定以下目標(biāo)：

1. 經(jīng)歷古人對(duì)圓錐曲線的探究歷程，在了解曲線命名由來同時(shí)，體會(huì)其蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

2. 通過對(duì)“旦德林雙球”模型的探究及合作動(dòng)手畫橢圓的過程，抽象出橢圓的定義，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

3. 能夠?qū)⑴c橢圓有關(guān)的實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并用“坐標(biāo)法”解決問題。體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活的理念，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

二、 在定義（概念）、原理教學(xué)中滲透

事物的發(fā)生與發(fā)展總有其源由與過程，數(shù)學(xué)知識(shí)亦是如此。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師傾向于灌輸式教學(xué)，把數(shù)學(xué)定義、概念、定理直接拋給學(xué)生，把大量時(shí)間用于知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用的訓(xùn)練上。機(jī)械式的訓(xùn)練不僅讓學(xué)生在理解上困惑，也覺得數(shù)學(xué)冰冷，失去了數(shù)學(xué)的“本心”。而數(shù)學(xué)史能讓我們正本清源，在如何教的問題上啟示我們有意識(shí)地引用數(shù)學(xué)史料知識(shí)，由灌輸式教學(xué)轉(zhuǎn)向揭示式教學(xué)、經(jīng)歷式體驗(yàn)教學(xué)，揭示原理、概念的產(chǎn)生過程的教學(xué)。在定義、定理、概念的講授前引入相關(guān)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生在史學(xué)材料的學(xué)習(xí)過程中對(duì)知識(shí)的產(chǎn)生、由來有一個(gè)真實(shí)的認(rèn)知，知其從何來，為何來，為何用，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有更好的幫助、更深刻的記憶。對(duì)知識(shí)有了充分的認(rèn)知與理解，對(duì)知識(shí)應(yīng)用更是有一層次的提升。學(xué)生對(duì)知識(shí)從被動(dòng)接受到深入掌握，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈能娓娓道來，從之前的厭惡變?yōu)槔斫夂蟮南矏郏瑪?shù)學(xué)不再那么冰冷，而變得有溫度了。

案例一：

數(shù)學(xué)選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”的章引言中提到橢圓的起源、橢圓的應(yīng)用、橢圓的研究方法，故而在第二節(jié)“橢圓的定義和方程”的教學(xué)中設(shè)計(jì)了“探橢圓歷史之旅”的環(huán)節(jié)：

1. 梅內(nèi)克繆斯（公元前375年-公元前325年）從西波克拉對(duì)倍立方問題的研究中受到啟發(fā)。他取三種圓錐（即直角、銳角和鈍角的圓錐），用垂直于錐面一母線的平面截每種錐面，分別得到了拋物線、橢圓和雙曲線的一支。這是為什么我們把橢圓、雙曲線、拋物線稱為圓錐曲線的原因。

2. 阿波羅尼奧斯（公元前262年-公元前190年）提出“用平面截同一個(gè)圓錐得到三種圓錐曲線”，并用純幾何方法證明了一條非常重要的性質(zhì)：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值，但證明過程非常復(fù)雜。

3. 旦德林（1794年-1847年）構(gòu)造雙球模型，巧妙證明橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值。

在這一部分通過史料使學(xué)生了解橢圓的起源與發(fā)展，體驗(yàn)圓錐曲線文化的發(fā)展歷程，感受古代數(shù)學(xué)家的理性與智慧，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在了解平面截圓錐，形成圓錐曲線以及分析旦德林雙球結(jié)構(gòu)的過程中，有助于發(fā)展學(xué)生直觀想象等核心素養(yǎng)。同時(shí)對(duì)于梅內(nèi)克繆斯起初目標(biāo)是解決立方倍積問題，未獲成功，轉(zhuǎn)而研究圓錐曲線，成為研究圓錐曲線第一人。這一史料的學(xué)習(xí)也可以鼓勵(lì)學(xué)生在遇到困難時(shí)不放棄、不氣餒，嘗試另一個(gè)角度另一種思路或許會(huì)有另一種收獲。激勵(lì)學(xué)生不畏困難，勇于思考，敢于一頭扎進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，為學(xué)生數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高發(fā)揮重要作用。

案例二：

在環(huán)節(jié)3：“研橢圓定義之理”中引用課本【探究與發(fā)現(xiàn)】中提到的旦德林雙球證明橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)，借助幾何畫板的直觀演示“旦德林雙球”模型：

（1）通過幾何畫板觀察橢圓上的點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AE|+|AF|值的情況（如圖1）。

（2）通過幾何畫板將平面抽取出來，在平面內(nèi)觀察點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)|AE|+|AF|為定值。

（3）證明：AB、AF為同一個(gè)球的兩條切線，|AB|=|AF|，|AC|=|AE|，|AE|+|AF|=|AC|+|AB|。

又兩個(gè)球與圓錐側(cè)面的公共點(diǎn)形成的曲線是兩個(gè)圓，且這兩個(gè)圓所在平面是平行的，這兩個(gè)平面與圓錐的底面也是平行的，所以這兩個(gè)平面與圓錐圍成的封閉幾何體是圓臺(tái)，又BC是圓臺(tái)的母線，|AC|+|AB|=|BC|，所以|AE|+|AF|=|AC|+|AB|=|BC|為定值。

教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)旦德林雙球結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)固定的點(diǎn)，E、F與橢圓在同一平面內(nèi)，由借助于圓錐空間幾何體研究橢圓轉(zhuǎn)化為直接在平面內(nèi)研究橢圓。這是人們對(duì)橢圓研究的一個(gè)巨大進(jìn)步，這也是數(shù)學(xué)化歸思想的體現(xiàn)，化不熟悉為熟悉、化復(fù)雜為簡單，三維化為二維處理。同時(shí)，通過先計(jì)算點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE、AF的值，根據(jù)結(jié)果猜測為定值，再進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，滲透了科學(xué)研究的一般方法。學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算得到了發(fā)展，這一史料的應(yīng)用讓學(xué)生經(jīng)歷前人的思維過程，產(chǎn)生共情體驗(yàn)的同時(shí)也幫助學(xué)生有更好的理解，克服心理對(duì)數(shù)學(xué)的障礙，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)史以順應(yīng)式的方式融入課堂教學(xué)中。

三、 在學(xué)生活動(dòng)中滲透

學(xué)生是課堂的主人，一節(jié)課中若只有教師一堂言而沒有學(xué)生的參與不僅蒼白而且失敗，只有學(xué)生“動(dòng)”起來，課堂才不是一潭死水。學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)性和參與性，促進(jìn)學(xué)生動(dòng)手操作和邏輯思維素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高。而在學(xué)生的活動(dòng)中把數(shù)學(xué)史融入其中，不僅能加深學(xué)生的印象更能幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)點(diǎn)。

案例：

環(huán)節(jié)3.2.學(xué)生活動(dòng)：用繩子畫橢圓，完善性質(zhì)的逆命題，建構(gòu)橢圓定義

發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)距離時(shí)，其軌跡為線段;當(dāng)常數(shù)小于兩定點(diǎn)距離時(shí)，它的軌跡不存在。

教師：除了畫橢圓，還可以通過折紙折出橢圓：我們?cè)趫A形的紙片內(nèi)任意選不同于圓心的一個(gè)點(diǎn)M后把紙片折起，讓圓過點(diǎn)M，之后把紙片展開，便得一條折痕，重復(fù)折下去，得到若干折痕，這些折痕圍成的輪廓就是橢圓。你能說一下為什么嗎？教師先通過幾何畫板展示，課后同學(xué)們可以動(dòng)手進(jìn)行該活動(dòng)，作為一項(xiàng)作業(yè)，活動(dòng)后寫下自己的想法與體會(huì)。生活中如何畫一個(gè)橢圓？觀看木匠畫橢圓視頻，探究其原因。提煉其數(shù)學(xué)信息，建立數(shù)學(xué)模型。

介紹歷史上橢圓的畫法：

世界上最早的橢圓畫法是由阿基米德發(fā)現(xiàn)的同心輔助圓畫法，但太煩瑣，且不夠精確。為了畫出更精確的橢圓，阿基米德不斷研究發(fā)明了可以用最簡單的方式繪制精確橢圓的阿基米德圓規(guī)。但是它只能用來繪制固定形狀的橢圓，沒有辦法改變橢圓的離心力，直到荷蘭數(shù)學(xué)家小弗朗西斯·范·舒騰發(fā)明了一種可以自由調(diào)節(jié)的曲線尺。這種工具不但可以用來畫橢圓，還能用來繪制拋物線和雙曲線等其他種類的曲線。

教師分析其中一個(gè)畫橢圓的原理，有興趣的學(xué)生課后了解橢圓規(guī)的結(jié)構(gòu)，探究其因。（雙曲線、拋物線）

這個(gè)設(shè)計(jì)是應(yīng)用橢圓定義探究由教材上P49第7題改編的折紙。史上橢圓的畫法的引入將與橢圓有關(guān)的實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并用“坐標(biāo)法”解決問題。讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于生活的理念的同時(shí)提升數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

四、 在數(shù)學(xué)應(yīng)用中滲透

數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展至今，并不只是向?qū)W生傳遞課本知識(shí)，更多的是為了讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)和探究中可以熟練引用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題。光會(huì)背誦公式、定理，解數(shù)學(xué)題，這并不是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握;會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活生產(chǎn)中的問題，這才是真正的理解掌握。如何讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的？由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)元素并建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用體現(xiàn)，但不是所有學(xué)生一下子就能夠做到這一步的，需要過程和經(jīng)歷。而在這個(gè)時(shí)候通過相關(guān)數(shù)學(xué)史料的學(xué)習(xí)。

案例：

環(huán)節(jié)4：橢圓曲線之應(yīng)用（通過傳說了解橢圓的聲學(xué)性質(zhì)）

教師：你是否聽過“杰尼西亞的耳朵”，你知道其中的奧秘么？

故事是：在很久以前的意大利西西里島的一個(gè)山洞里關(guān)著敘拉古的囚犯，他們密謀逃跑多次都失敗了，但又找不出內(nèi)奸。他們沒有放棄，轉(zhuǎn)為仔細(xì)觀察這個(gè)山洞，山洞形狀比較古怪，洞壁能夠把囚犯們討論的內(nèi)容反射到獄卒耳朵里去了。因?yàn)槭墙苣嵛鱽嗊@個(gè)暴君下令關(guān)押他們的，于是囚犯們?cè){咒這個(gè)山洞為“杰尼西亞的耳朵”。

學(xué)生經(jīng)過討論后回答：山洞內(nèi)壁構(gòu)成橢圓形狀，囚犯和獄卒分別位于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)處，由橢圓的性質(zhì)和聲學(xué)原理，囚犯們發(fā)出的聲音經(jīng)過山洞內(nèi)壁反射后，便會(huì)傳到獄卒的耳朵里。

教師：其實(shí)，這僅為杰尼西亞的耳朵上半段傳說，故事還有下半段。囚犯得知是獄卒偷聽到他們談話后，憤怒著要打獄卒，準(zhǔn)備向上扔繩子打獄卒。當(dāng)囚犯走到崖底大約需要40米。囚犯、獄卒、崖底大致在一條直線上，測得沿與該直線垂直的方向到達(dá)山洞內(nèi)壁約需64米。你幫囚犯們計(jì)算一下用最短多長的繩子才能打到獄卒。

以囚犯、獄卒所在的直線為x軸，囚犯、獄卒連線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建系，

易得c=60

所以繩子最短要120米才能打到獄卒。

以上是借助橢圓的課堂教學(xué)，探究數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化滲透的途徑;當(dāng)然在實(shí)際課堂教學(xué)中，一節(jié)課沒有辦法引用這么多史料知識(shí)，但每節(jié)的側(cè)重不同，可以有選擇性的進(jìn)行融合滲透，數(shù)學(xué)史料是服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容的，一定要把握好度，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)融入，不能本末倒置。

參考文獻(xiàn)：

[1]祿文夫.高中數(shù)學(xué)課教學(xué)中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的巧妙融入分析[J].新課程，2019（5）.

作者簡介：陳月霜，福建省廈門市，廈門第二外國語學(xué)校。