反比例函數(shù)教學(xué)中的探究與應(yīng)用

銀集

反比例函數(shù)有很多很精彩的性質(zhì)，例如在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作X軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1和S2則 S1=S2=|k|，還有反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x ，y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則n2+4km≥0（不小于0）等等這些都是每次考試的重點(diǎn)。在初中階段教學(xué)中還經(jīng)常碰到有關(guān)反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交問題，也是中考熱門話題，下面用一道練習(xí)題引入對雙曲線與直線相交問題進(jìn)行簡單的探究.

又因?yàn)镈M=NC，那我們將直線向原點(diǎn)平移，則線段MN不斷縮短，于是存在一個(gè)點(diǎn)使線段縮成一個(gè)點(diǎn)，記為H點(diǎn)，此時(shí)線段與雙曲線相切，根據(jù)上面的結(jié)論可得到HD=HE即點(diǎn)H是線段DE的中點(diǎn)，所以我們可以得到在直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相切時(shí)切點(diǎn)是該直線被兩坐標(biāo)軸所截線段的中點(diǎn)，

以上結(jié)論在雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)在同一象限內(nèi)時(shí)成立，如果兩個(gè)交點(diǎn)分別在不同象限時(shí)是否依然成立？直線與雙曲線在不同象限內(nèi)分別有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，我們也可以利用下面的方法證明。如圖（2）所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)上，點(diǎn)C，D分別是直線與y軸與x軸的交點(diǎn)。

設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：且則一次函數(shù)關(guān)系式為，過N點(diǎn)分別作y軸與x軸的垂線垂足為點(diǎn)B點(diǎn)F， 過M點(diǎn)分別作y軸與x軸的垂線垂足分別為點(diǎn)E點(diǎn)A.利用方程思想可以得到：

綜上所述我們可以得到：如果一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像在同一坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)M，點(diǎn)N，則MD=CN即 Rt△AMD≌Rt△BCN。我們可以利用這個(gè)結(jié)論解決問題。例如：

又因?yàn)橐淮魏瘮?shù)K=-1，所以△AED是等腰直角三角形.

數(shù)學(xué)的世界是精彩的，充滿挑戰(zhàn)的，我們遨游在精彩的數(shù)學(xué)世界里不能進(jìn)寶藏而空返，當(dāng)然這次探究還有很多不成熟的地方，相信雙曲線與直線相交圖形中的精彩性質(zhì)遠(yuǎn)不止這些，這需要我們進(jìn)一步探究。

參考文獻(xiàn)

[1]徐若翰.研究雙曲線與直線相交. 中學(xué)生數(shù)學(xué).22期，2010年

[2]虞彩霞.雙曲線中的一個(gè)有趣結(jié)論.中學(xué)大世界.07期，2009年

[3]蓋仕廣.一次函數(shù)的一個(gè)有趣性質(zhì) .數(shù)學(xué)教學(xué).01期：32，2011年