橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系的原理與應(yīng)用

于志威（黑龍江業(yè)成測繪有限公司，黑龍江 哈爾濱 150000）

0.引言

建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法主要可分為三類：一是橢球變換法，其中包括橢球膨脹法、橢球平移法、橢球變形法；二是比例縮放法，包括兩種方法；三是以中心點(diǎn)坐標(biāo)平移或者坐標(biāo)加常數(shù)和旋轉(zhuǎn)的平面直角坐標(biāo)系。這三類建立獨(dú)立坐標(biāo)的方法各有優(yōu)勢，本文主要分析第一類方法，即橢球膨脹法。近幾年，國內(nèi)外學(xué)者對建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法進(jìn)行了大量研究，比如：文獻(xiàn)[1]在對目前常用轉(zhuǎn)化計(jì)算方法分析比較的基礎(chǔ)上，通過選取不同的參數(shù)和變換模型構(gòu)造出9種不同的任意中央子午線任意投影面之間坐標(biāo)計(jì)算方法，并分析每個(gè)模型的特性及適用情況。文獻(xiàn) [2]就建立基于CGCS2000的珠海市相對獨(dú)立坐標(biāo)系進(jìn)行探討，并對珠海新舊坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換可能產(chǎn)生的問題及處理方法進(jìn)行探討。CGCS2000國家大地坐標(biāo)系統(tǒng)以其先進(jìn)性和穩(wěn)定性，具有高精度、地心、動(dòng)態(tài)、實(shí)用、統(tǒng)一的優(yōu)點(diǎn)，代表了目前國內(nèi)坐標(biāo)系統(tǒng)應(yīng)用和研究的發(fā)展方向。文獻(xiàn)[3]研究了橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)的原理與方法，研究成果對高海拔地區(qū)應(yīng)用橢球膨脹法建立區(qū)域控制網(wǎng)具有參考價(jià)值。

1.橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系

1.1 橢球膨脹法建立工程橢球的原理

橢球膨脹法建立工程橢球的原理是不改變參考橢球的中心，只抬高或降低投影面來建立新的工程橢球。需滿足兩個(gè)原則[7][8]：

（1）工程橢球的中心與國家參考橢球的中心重合，沒有平移量，且使橢球的扁率e保持不變。

（2）工程橢球與國家橢球定向一致，沒有旋轉(zhuǎn)。

在滿足上述兩個(gè)原則的基礎(chǔ)上，改變國家坐標(biāo)系橢球的長半軸，使改變后的橢球面與測區(qū)平均高程面重合，然后在改變參數(shù)后的橢球面上進(jìn)行投影，使通過坐標(biāo)兩點(diǎn)坐標(biāo)反算得到的長度和用高精度測距儀器測量的長度大致相等。即有：

式（1）中，a新為工程橢球的長半軸；a為國家參考橢球的長半軸；△a為工程橢球長半軸與國家參考橢球長半軸的差值，即長半軸變動(dòng)量。

1.2 新橢球長半軸的計(jì)算方法

選取適當(dāng)?shù)模剐聵?gòu)造的工程橢球面與實(shí)際地球表面大致吻合，從而使得地面測出的實(shí)際距離與由坐標(biāo)反算出來的距離盡可能地接近。這樣才能滿足施工要求的精度。目前，大多數(shù)軟件選取所采用的方法主要有下列三種：

（1）以獨(dú)立坐標(biāo)投影面的大地高作為橢球長半徑的變動(dòng)量：

式（2）中：△a為國家參考橢球的長半軸的變動(dòng)量，Hm為獨(dú)立坐標(biāo)系投影面的大地高。

（2）以獨(dú)立坐標(biāo)投影面的大地高Hm作為橢球平均曲率半徑的變動(dòng)量，在獨(dú)立坐標(biāo)系中央地區(qū)基準(zhǔn)點(diǎn)Po上，新橢球平均曲率半徑：

新橢球長半軸為：

式（4）中：a新為工程橢球的長半軸；Bo為基準(zhǔn)點(diǎn)緯度，即測區(qū)平均緯度；△a為國家參考橢球的長半軸的變動(dòng)量；Hm為獨(dú)立坐標(biāo)系投影面的大地高；e為第一偏心率。

（3）假定長半軸是沿測區(qū)地面點(diǎn)的法線方向增加，則通過測區(qū)的卯酉圈曲率半經(jīng)N確定△a，則有：

由上式可得：

構(gòu)造工程橢球時(shí)長半軸的變動(dòng)量選擇的方法不同，其構(gòu)造的橢球參數(shù)也不同。

1.3 新橢球進(jìn)行坐標(biāo)換算的三種模型

新橢球進(jìn)行坐標(biāo)換算主要有三種方法：

1.3.1 緯度增量法

新橢球的大地坐標(biāo)變化量為[9]：

由式（6）得新橢球的大地坐標(biāo)為：

式（7）中 B新、L新、B、L分別為基準(zhǔn)點(diǎn)在新橢球和國家參考橢球下的經(jīng)緯度。得到新橢球經(jīng)緯度后按照高斯正算即可得獨(dú)立坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)。

1.3.2 空間直角坐標(biāo)過渡法

在采用橢球膨脹法構(gòu)建新橢球時(shí)，其橢球中心沒有變化，可知地球表面的點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)不會(huì)發(fā)生變化。其轉(zhuǎn)換方法如下：

（1）在國家參考橢球下，通過高斯反算計(jì)算出其大地坐標(biāo)B和L。

（2）在國家參考橢球下，將和轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)X、Y、Z。

（3）在新橢球下，將空間直角坐標(biāo)X、Y、Z轉(zhuǎn)換為B新、L新、H新。

（4）在新橢球下，將大地坐標(biāo)B新、L新通過高斯正算轉(zhuǎn)換為獨(dú)立坐標(biāo)系下平面坐標(biāo)。

1.3.3 長半軸補(bǔ)償法

對于地球表面的一點(diǎn)，假設(shè)在國家參考橢球和新橢球下的經(jīng)緯度不發(fā)生變化。則其轉(zhuǎn)換方法如下：

（1）在國家參考橢球下，通過高斯反算計(jì)算出其大地坐標(biāo)作為新橢球下的大地坐標(biāo)B新、L新。

（2）在新橢球下，通過高斯投影正算把B新、L新轉(zhuǎn)換為獨(dú)立坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)。

2.程序的編寫與應(yīng)用

在橢球膨脹法構(gòu)建橢球的時(shí)候有三種方法，新橢球進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換又有三種模型?？芍?，橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系有9種方法。但對方法和模型比較，在軟件開發(fā)過程中，選擇了高程直接補(bǔ)償法、平均曲率半徑法作為構(gòu)建工程橢球的方法，同時(shí)選擇了經(jīng)緯度增量法和空間直角坐標(biāo)過度法作為轉(zhuǎn)換模型，這樣共有4種方法。以Visual Studio 2010作為開發(fā)平臺(tái)用C#語言開發(fā)了國家坐標(biāo)系和獨(dú)立坐標(biāo)系互相轉(zhuǎn)換的通用軟件。

2.1 程序的編寫流程

程序編寫思路為：

（1）確定國家參考橢球參數(shù)：包括北京54、西安80、CGCS2000、自定義橢球。

（2）確定構(gòu)建工程新橢球的方法：包括高程直接補(bǔ)償法、平均曲率半徑法。

（3）選擇國家參考橢球和工程橢球間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的模型：包括緯度增量法、空間直角坐標(biāo)過渡法。

（4）計(jì)算新投影面的大地高。

（5）采用高斯正反算公式和大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)互相轉(zhuǎn)換公式編寫代碼。

2.2 自編程序?qū)嵗?jì)算分析

此軟件可以實(shí)現(xiàn)國家坐標(biāo)系和獨(dú)立坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換。為了驗(yàn)證軟件的可行性，采用兩個(gè)方案分別驗(yàn)證。方案一為國家坐標(biāo)系到獨(dú)立坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換驗(yàn)證，方案二為獨(dú)立坐標(biāo)系到國家坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換驗(yàn)證。

方案一：以某工程項(xiàng)目為實(shí)例：構(gòu)造橢球的方法選擇了高程直接補(bǔ)償法，計(jì)算模型選擇了緯度增量法，自編軟件計(jì)算結(jié)果和CosaGPS計(jì)算結(jié)果比較（如表1所示）：

方案二：為驗(yàn)證獨(dú)立坐標(biāo)系到國家坐標(biāo)系計(jì)算結(jié)果的可靠性。對方案一計(jì)算結(jié)果進(jìn)行逆運(yùn)算，并將逆運(yùn)算結(jié)果與國家坐標(biāo)系中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行求差比較，其結(jié)果（如表2所示）：

表1 國家坐標(biāo)系到獨(dú)立坐標(biāo)系結(jié)果與CosaGPS結(jié)果對照表

表2 獨(dú)立坐標(biāo)系到國家坐標(biāo)系結(jié)果與原始坐標(biāo)結(jié)果比較

由表1可以看出，兩種軟件計(jì)算結(jié)果x坐標(biāo)最大相差0.1mm，這可能是兩種軟件取位時(shí)候的誤差；y坐標(biāo)相差為0；由表2得知逆運(yùn)算結(jié)果與原國家坐標(biāo)系中的坐標(biāo)完全符合。相繼對其他3種方法計(jì)算做了對比，并對其結(jié)果進(jìn)行了逆運(yùn)算，經(jīng)分析其計(jì)算結(jié)果可靠，能夠用于商業(yè)用途。

3.結(jié)束語

（1）系統(tǒng)的對橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系的原理和原則以及轉(zhuǎn)換方法和轉(zhuǎn)換模型做了分析。

（2）采用橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系一般采用9種方法，在國家坐標(biāo)系向基于工程橢球的獨(dú)立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)，緯度增量法和空間直角坐標(biāo)過渡法是相對較嚴(yán)密的模型。構(gòu)造工程橢球時(shí)長半軸變動(dòng)量的計(jì)算方法不同，其轉(zhuǎn)換結(jié)果也不同。對于大型項(xiàng)目在同一區(qū)域，存在不同的施工單位時(shí)，由于存在地形圖的接邊和成果的統(tǒng)一，其建立獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)采取同樣的方法和模型。

（3）通過大量數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果分析并和已有的CosaGPS計(jì)算結(jié)果對比，自編軟件計(jì)算結(jié)果可靠，能夠用于商業(yè)用途。

（4）在以后的工作和學(xué)習(xí)中會(huì)豐富軟件的功能，增加比例縮放法建立獨(dú)立坐標(biāo)系等功能，以便適合不同的工程需求。