鐘 熠，謝圣英

基于不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的學(xué)生心理折疊水平研究

鐘 熠，謝圣英

（湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 計算與隨機數(shù)學(xué)教育部重點實驗室，湖南 長沙 410081）

培養(yǎng)學(xué)生的空間能力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)，心理折疊是空間能力的重要體現(xiàn)之一．研究不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)下學(xué)生心理折疊的認(rèn)知過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)下表現(xiàn)更好；在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)下學(xué)生表現(xiàn)差異與圖式自動化有關(guān)；高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)下學(xué)生表現(xiàn)差異則與圖式建構(gòu)相聯(lián)系；心理折疊水平可劃分為：前操作水平、單一操作水平、關(guān)聯(lián)操作水平．學(xué)生心理折疊水平的研究可幫助評價學(xué)生的數(shù)學(xué)空間能力，從而在準(zhǔn)確把握學(xué)生已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，開展有針對性的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

心理折疊；認(rèn)知負(fù)荷；空間能力；數(shù)學(xué)思維

1 問題提出

心理折疊要求兒童在頭腦中將二維的空間圖形通過表象操作，轉(zhuǎn)換成三維的空間圖形[1]，是空間能力的重要體現(xiàn)．Milivojevic B（2003）從腦科學(xué)角度出發(fā)，解釋了心理折疊與大腦右半球有密切聯(lián)系，而大腦右半球正是空間能力的控制區(qū)域[2]．?dāng)?shù)學(xué)成績與空間能力顯著正相關(guān)[3]，更高層次的數(shù)學(xué)在本質(zhì)上所需的多數(shù)思維是空間思維[4]，培養(yǎng)學(xué)生運用空間思維認(rèn)識事物一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重．“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念”[5]“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能發(fā)展幾何直觀和空間想象能力”[6]．空間觀念、幾何直觀、空間想象是空間能力內(nèi)涵下不同層次水平的再現(xiàn)[7]，自1963年正式提出數(shù)學(xué)三大能力，到現(xiàn)在倡導(dǎo)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何培養(yǎng)學(xué)生的空間能力始終是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的話題．

目前關(guān)于心理折疊已有許多量化研究[1，8–10]，但學(xué)生進(jìn)行心理折疊任務(wù)時的認(rèn)知過程分析，未有專門論述．認(rèn)知負(fù)荷理論認(rèn)為，學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知任務(wù)時需在工作記憶中同時加工多個信息元素，有可能出現(xiàn)超負(fù)荷使其無法進(jìn)行信息有效加工[11]，認(rèn)知負(fù)荷是影響學(xué)習(xí)的重要因素．因此，研究旨在基于不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)分析學(xué)生心理折疊的認(rèn)知過程，嘗試對心理折疊水平進(jìn)行劃分，為發(fā)展學(xué)生空間能力提供幫助．

2 理論基礎(chǔ)

認(rèn)知負(fù)荷表示處理具體任務(wù)時加在學(xué)習(xí)者認(rèn)知系統(tǒng)上負(fù)荷的多維結(jié)構(gòu)[12]，是在特定的作業(yè)時間內(nèi)施加于個體工作記憶的心理活動總量[13]．以資源有限理論為基礎(chǔ)[14]，認(rèn)知負(fù)荷理論認(rèn)為個體所能承擔(dān)的認(rèn)知負(fù)荷總量是固定的，只有當(dāng)學(xué)習(xí)活動引起的認(rèn)知負(fù)荷低于總量時有效學(xué)習(xí)才可能發(fā)生．而知識以圖式的形式儲存在個人知識結(jié)構(gòu)中[15]，圖式能幫助工作記憶對加工材料進(jìn)行分析，從而有效降低認(rèn)知負(fù)荷[16]．

認(rèn)知負(fù)荷可分為內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷和外在認(rèn)知負(fù)荷[17]．外在認(rèn)知負(fù)荷是由于不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計引起，是可以改變的認(rèn)知負(fù)荷．內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷取決于所要學(xué)習(xí)的材料的本質(zhì)與學(xué)習(xí)者專業(yè)知識之間的交互[12]，是不可改變的認(rèn)知負(fù)荷．在學(xué)習(xí)材料不變的情況下，學(xué)習(xí)水平更高的學(xué)生受到的認(rèn)知負(fù)荷會低于水平較低者．這是因為學(xué)習(xí)水平更高者能在豐富圖式的幫助下有效地降低認(rèn)知負(fù)荷，而水平較低者由于沒有足夠的圖式幫助其釋放工作記憶的空間，造成認(rèn)知負(fù)荷過重，從而無法完成任務(wù)．因此，學(xué)生由同一學(xué)習(xí)材料引起的實際認(rèn)知負(fù)荷根據(jù)認(rèn)知水平不同而有所差異，通過觀察學(xué)習(xí)者在不同認(rèn)知負(fù)荷心理折疊任務(wù)下的表現(xiàn)，可以判斷其所在的心理折疊水平．

與心理折疊相關(guān)的研究主要有兩方面：一是說明其與空間能力的關(guān)系[18–19]；二是常將其作為考察學(xué)生空間能力的子測試．此類研究源于心理學(xué)領(lǐng)域，研究對象多為兒童[1，20]．首都師范大學(xué)連四清、周珍等人在此基礎(chǔ)上，對研究設(shè)計進(jìn)一步修改，對中學(xué)生空間認(rèn)知能力進(jìn)行了研究[8–9，21–22]．周江霞進(jìn)一步拓展，考慮不同認(rèn)知方式對空間認(rèn)知能力的影響[10，23]．研究皆以測試作為主要手段，通過統(tǒng)計方法量化分析．測試分?jǐn)?shù)可作為判定知識水平的工具，但不能僅以分?jǐn)?shù)作為評價的唯一標(biāo)準(zhǔn)，還需考慮學(xué)生在進(jìn)行心理折疊時的認(rèn)知過程．心理折疊雖與空間能力聯(lián)系密切，但有研究發(fā)現(xiàn)，初三至高一年級心理折疊能力發(fā)展迅速而空間能力發(fā)展變化不大[24]，說明心理折疊與空間能力的發(fā)展是非同步的，心理折疊有自身的發(fā)展規(guī)律．第二、三學(xué)段學(xué)生在認(rèn)知上處于由具體運算階段向形式運算階段過渡的時期，正是空間能力形成和快速發(fā)展的時期．因此，這里對四~八年級學(xué)生的心理折疊認(rèn)知過程進(jìn)行探索．

3 設(shè)計與實施

3.1 測題編制

考慮到正方體是義務(wù)教育階段學(xué)生認(rèn)識空間的基礎(chǔ)幾何體，測試題以正方體展開圖的折疊還原問題為工具，考察學(xué)生的心理折疊能力．結(jié)合心理折疊相關(guān)研究測試題設(shè)置[9]，以國外心理學(xué)相關(guān)測試網(wǎng)站[25]中的空間能力測試為基礎(chǔ)，設(shè)計不同認(rèn)知負(fù)荷的心理折疊測試題．

表1 不同認(rèn)知負(fù)荷測題具例

3.2 被試選取

采用便利抽樣，選取某縣城區(qū)兩所普通學(xué)校（一所小學(xué)與一所初中），在四~八年級每年級隨機選擇一平行班，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就高低，每班各選4人，共20名學(xué)生．將所在年級編碼為對應(yīng)數(shù)字，學(xué)業(yè)成就由高至低編碼為A、B、C、D．如7A表示七年級學(xué)業(yè)成就最高的學(xué)生．

3.3 測試過程及數(shù)據(jù)收集

測試于2019年6月初完成．首先按年級分別對學(xué)生進(jìn)行紙筆測試，測試時長為45分鐘．在測試過程中觀察學(xué)生做題時的行為（是否需借助外物幫助其進(jìn)行折疊），并進(jìn)行記錄．如低年級（四~五年級）部分被試出現(xiàn)動手轉(zhuǎn)動測題紙以幫助“轉(zhuǎn)動”展開圖，考慮心理折疊要求二維表象操作需在頭腦中進(jìn)行，后續(xù)研究將涉及外物幫助完成任務(wù)的被試排除（4人）．

然后根據(jù)書面作答情況（特別是書面作答不夠詳細(xì)）選取學(xué)生進(jìn)行訪談（11人），訪談主要問題為“你在做這道題時，是怎么思考的？”所選取的學(xué)校采用人教版數(shù)學(xué)教材，正方體展開圖于五年級下冊長方體和正方體一章中進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)，在七年級下冊幾何圖形初步一章中進(jìn)一步學(xué)習(xí)涉及面上圖案變化的展開圖．由于四年級被試沒有學(xué)習(xí)相關(guān)知識，五年級被試剛接觸展開圖，在解釋思路時出現(xiàn)無法作答或無法描述的情況，為詳細(xì)分析學(xué)生在心理折疊時的認(rèn)知過程，采用目的性抽樣，考慮年級分布以及認(rèn)知過程的獨特性和代表性，在訪談的六~八年級被試中選取5人（6D、6B、7D、8B、8C）作為進(jìn)一步進(jìn)行個案研究的對象．

4 結(jié)果與分析

主要以測題L、H為例（圖1、圖2），分析兩種認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)下學(xué)生的認(rèn)知過程．

4.1 低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中學(xué)生的表現(xiàn)差異

比較低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中學(xué)生表現(xiàn)（見表2），除6D外，其余被試都得到了正確答案．被試6D在腦海中生成正方體困難，因此放棄作答；被試6B需先將展開圖還原為正方體后，再判斷選項是否正確；被試8C與6B相比，僅判斷選項涉及到的3面位置即可正確作答；而被試7D與8B則無需將展開圖還原為正方體，能迅速發(fā)現(xiàn)選項錯誤點準(zhǔn)確判斷．在正確作答的4名被試中，6B完成任務(wù)需確定6面位置，8C需確定3面位置，而7D與8B則跳過了折疊過程無需確定各面位置直接得到判斷．從完全折疊正方體（折疊6面）到不完全折疊正方體（折疊3面），最后不需要進(jìn)行折疊，被試關(guān)于面位置的圖式提取逐漸趨于自動化．

圖1 試題L（低認(rèn)知負(fù)荷）

圖2 試題H（高認(rèn)知負(fù)荷）

這一點在解決其它低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)測題（圖3）時也有體現(xiàn)，需要折疊6面的6B仍需先判斷各面位置后再進(jìn)行作答：“選C，有一個點的是在前面，這個正方形應(yīng)該在上面，這個4點就在下面，這個黑色的正方形就在后面，5個點的在左面，它不在右邊．”需要折疊3面進(jìn)行判斷的8C在訪談中提到：“因為那個選項只會給你顯示3個圖形，然后我先去找兩個，如果兩個比對上的話我就找第三個，如果第三個不對就百分之百不是那個選項．”被試7D與8B則同樣跳過了折疊過程，直接說明若按C選項擺放5點面不可能在右邊．4個被試都能準(zhǔn)確判斷面的位置，但關(guān)于面位置的圖式提取存在差異：被試6B需完全確定面的位置，被試8C需確定選項所給面的位置，而被試7D與8B則能快速提取圖式直接判斷面位置的錯誤．可見，在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，相關(guān)圖式提取是否達(dá)到自動化是導(dǎo)致學(xué)生之間表現(xiàn)差異的主要原因．

表2 被試解決低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)（試題L）的認(rèn)知過程

圖3 低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)測題

4.2 高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中學(xué)生的表現(xiàn)差異

在高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，學(xué)生的表現(xiàn)差異可能與相關(guān)圖式的建構(gòu)有關(guān)．從表3中不難看出，被試6D仍停留在判斷面的位置這一階段，或許是因為該被試關(guān)于面位置的圖式未完成建構(gòu)，從而無法進(jìn)入認(rèn)識圖案變化這一階段；被試6B不能將圖案變化與位置關(guān)系正確關(guān)聯(lián)，雖然該被試能意識到二維表象旋轉(zhuǎn)會帶動圖案發(fā)生變化，但其生成的三維空間圖形是錯誤的（直角三角形面旋轉(zhuǎn)后圖案變化錯誤）；被試7D則認(rèn)為非中心對稱圖形（小三角形面）不會因旋轉(zhuǎn)而發(fā)生改變；被試8B與8C判斷各面位置后能正確認(rèn)圖案變化．或許是因為需關(guān)聯(lián)其它要素（圖案變化）加大了認(rèn)知負(fù)荷，被試6B與7D關(guān)于圖案變化的圖式可能未完成建構(gòu)，導(dǎo)致6B判斷圖案錯誤，7D認(rèn)為圖案不會改變；而被試8B與8C能正確說明圖案變化，說明被試8B與8C較被試6B與7D而言，建構(gòu)的相關(guān)圖式更完全．

表3 被試解決高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)（試題H）的認(rèn)知過程

對比5名被試在不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的認(rèn)知過程（表2、表3）發(fā)現(xiàn)，在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中正確作答為4人，高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)正確作答2人，可見被試在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)表現(xiàn)更好；若無法成功完成低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)，則通常不能在高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中表現(xiàn)良好（被試6D）；相關(guān)圖式建構(gòu)可能是完成高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的基礎(chǔ)（被試8B與8C）．

4.3 學(xué)生心理折疊水平的劃分及認(rèn)知特征界定

對不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)下學(xué)生認(rèn)知過程的分析中不難發(fā)現(xiàn)，心理折疊可能存在水平層次．在心理折疊過程中，各面位置發(fā)生改變的同時會引起面上圖案發(fā)生變化，學(xué)生不僅需掌握各面位置關(guān)系和圖案變化這兩條信息量，還要將其關(guān)聯(lián)起來共同考慮．低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)僅涉及各面位置關(guān)系，高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)涉及各面位置與圖案變化的交互．結(jié)合學(xué)生不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的完成情況，可將心理折疊分為3種水平（表4）．為增強被試水平判定可靠性，所有被試均由研究小組各成員獨立判定水平，若出現(xiàn)差異，則合議后確定．

表4 心理折疊水平劃分

為深入分析每一種心理折疊水平的特征表現(xiàn)，接下來對各被試在不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中的認(rèn)知特點進(jìn)行具體分析．

4.3.1 水平1被試無法正確認(rèn)識各面所在位置

從表5可以看出，處于水平1的被試6D是將展開圖各面進(jìn)行“堆疊”，像“滾雪球”般對展開圖進(jìn)行折疊．由6D的書面標(biāo)記可看出，該被試將二維圖形看作內(nèi)表面展開圖，可若為內(nèi)表面展開圖，則這兩題答案不唯一，但6D僅選擇一選項，說明其并不具備對二維表象進(jìn)行操作的能力．在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，被試6D解答出現(xiàn)邏輯錯亂，錯誤地將正方體的相連面認(rèn)為是對立面，因此無法正確判斷各面位置；在高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，被試6D認(rèn)為是面位置錯誤，而該題實際錯誤為非中心對稱圖案在轉(zhuǎn)動過程中發(fā)生變化，由于該被試還不能正確判斷面位置，因此無法進(jìn)一步關(guān)注圖案變化，說明思路時也沒有提到圖案對正方體的影響．這進(jìn)一步證實了相關(guān)圖式建構(gòu)是完成高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的基礎(chǔ)，由于6D不能正確認(rèn)識各面位置，說明其關(guān)于面位置的圖式建構(gòu)還未完全，導(dǎo)致6D在解決高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)時仍停留在判斷面位置這一階段，無法考慮面上圖案的變化，這也是6D與其他被試在心理折疊表現(xiàn)上出現(xiàn)差異的根本原因．

表5 被試6D的認(rèn)知特點

4.3.2 水平2被試無法正確認(rèn)識圖案變化

從表6不難發(fā)現(xiàn)，被試6B與7D在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)表現(xiàn)良好，都能正確認(rèn)識各面所在位置，并說明選項錯誤原因：6B確定所有面的位置后正確判斷，7D則無需折疊直接得到正確解答；兩被試都無法正確完成高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)：6B仍需先確認(rèn)各面位置，當(dāng)發(fā)現(xiàn)面的位置正確后該被試沒有判斷圖案變化，認(rèn)為自己錯了就放棄作答，7D則沒有意識到兩點面會隨著折疊發(fā)生變化，所以沒有描述關(guān)于圖案運動后的正確變化，錯誤地認(rèn)為選項正確．可見，被試6B與7D雖已能正確判斷各面位置，但當(dāng)面上圖案涉及非中心對稱圖形時，他們無法認(rèn)識到圖案的變化從而不能得到正確解答．因此，處于水平2的學(xué)生僅能處理折疊時各面位置這一條信息，無法將圖案變化與位置變化聯(lián)系起來回答問題．

比較被試6B在兩種認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中的表現(xiàn)可發(fā)現(xiàn)，6B已能清楚地認(rèn)識到各面所在位置關(guān)系，從而能正確地完成低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)，說明其關(guān)于面位置的圖式建構(gòu)已完成；當(dāng)折疊任務(wù)涉及圖案變化時，結(jié)合表3中6B的表現(xiàn)可發(fā)現(xiàn)，被試6B還不能準(zhǔn)確判斷由于折疊轉(zhuǎn)動引起的非中心對稱圖形是如何變化的，導(dǎo)致其無法完成高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)，說明被試6B關(guān)于面上圖案變化的圖式還未完成建構(gòu)．比較被試7D在兩種認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中的表現(xiàn)亦可看出，其關(guān)于面位置的圖式已完成建構(gòu)，能夠準(zhǔn)確完成低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)，結(jié)合表3中7D的表現(xiàn)可見，被試7D沒有認(rèn)識到圖案會由于折疊轉(zhuǎn)動發(fā)生變化，因此無法完成高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)．

表6 被試6B與7D的認(rèn)知特點

4.3.3 水平3被試能正確認(rèn)識各面位置及圖案變化

由表7可知，被試8B與8C已能成功完成高低兩種認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)．在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，8C確定3面位置后再對表象進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作得到正確判斷，8B關(guān)于面的位置關(guān)系這一條信息處理已達(dá)到自動化，即無需先確定各面所在位置再判斷選項是否符合要求，能直接得出正確結(jié)論和選項錯誤原因；在高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，8B與8C都能夠在判斷各面位置關(guān)系正確的基礎(chǔ)上，關(guān)注直角三角形面圖案變化并能說出正確圖案．因此，處于水平3的學(xué)生能關(guān)注心理折疊所有要素及關(guān)系進(jìn)行解答，確定各面位置關(guān)系的同時兼顧認(rèn)識圖案在操作時發(fā)生的變化．

比較被試8B在兩種認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中的表現(xiàn)，注意到8B關(guān)于面位置的圖式提取已達(dá)到自動化水平，但在解決高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)時，8B未能自動提取該圖式，仍需先判斷面位置后再判斷圖案變化，這或許是因為在高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，工作記憶需要處理面位置和圖案變化兩條信息量，加大了認(rèn)知負(fù)荷，從而導(dǎo)致圖式自動提取失?。梢姳辉?B關(guān)于圖案變化的圖式或未完全建構(gòu)，因此在完成高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)時不能直接判斷圖案變化，需經(jīng)歷確定各面位置的過程來確定圖案是如何轉(zhuǎn)動的，由此判斷最終圖案．

基于對3種水平被試認(rèn)知特點的分析，可以對心理折疊水平劃分及認(rèn)知特征進(jìn)行界定（見表8）．

表7 被試8B與8C的認(rèn)知特點

表8 心理折疊水平劃分及認(rèn)知特征界定

5 結(jié)論與討論

研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生的心理折疊表現(xiàn)中，低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)優(yōu)于高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)；在低認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)中，學(xué)生的表現(xiàn)差異可能與圖式的自動化有關(guān)，而圖式建構(gòu)或與高認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的學(xué)生表現(xiàn)差異相聯(lián)系．辛自強指出：圖式的自動化和結(jié)構(gòu)化可以有效降低認(rèn)知負(fù)荷，是造成專家和新手問題解決技能差異的根本原因[26]，這或許可以解釋為什么圖式在心理折疊中亦發(fā)揮了降低認(rèn)知負(fù)荷幫助學(xué)生解決問題的作用，具有更豐富圖式的學(xué)生能完成更高認(rèn)知負(fù)荷的任務(wù)．

研究還發(fā)現(xiàn)學(xué)生心理折疊水平可以分為3種：（1）前操作水平；（2）單一操作水平；（3）關(guān)聯(lián)操作水平．研究對象的心理折疊水平隨年級增高而增加，七年級被試處于單一操作水平而八年級兩被試皆處于更高水平，這與周珍的研究結(jié)果[9]相似：初一至初二年級心理折疊快速發(fā)展．另外，黃興豐發(fā)現(xiàn)學(xué)生的空間幾何思維在各個水平上的發(fā)展可能是同時發(fā)生的，并非像范希爾所假定的那樣，一定要在前一個水平完全獲得的前提下，后一水平才能發(fā)展[27]．心理折疊水平作為空間能力的一部分，是否也同空間幾何思維水平一樣具有發(fā)展階段？各階段之間是否具有可跨越性？這些問題尚待今后繼續(xù)研究．

6 思考與建議

如前所述，圖式建構(gòu)與自動化的差異可能是導(dǎo)致學(xué)生心理折疊表現(xiàn)差異的主要原因．也有研究已發(fā)現(xiàn)圖式數(shù)量和圖式自動化的水平是專家與新手在問題解決中的本質(zhì)區(qū)別[16]．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師常常需要讓學(xué)生在問題解決領(lǐng)域從新手變成專家[11]．如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)空間能力方面更快步入更高水平？研究結(jié)論啟示教師或許可以從幫助學(xué)生建構(gòu)圖式與促進(jìn)圖式自動化著手．另外，如果將數(shù)學(xué)知識看作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點，那么學(xué)情則是展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點[28]．研究還發(fā)現(xiàn)了心理折疊水平可分為3個層次，教師可藉此了解學(xué)生的數(shù)學(xué)空間能力，從而在準(zhǔn)確把握學(xué)生已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，有針對性開展教學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

6.1 合理逐次增加學(xué)習(xí)難度幫助學(xué)生建構(gòu)圖式

圖式獲得是數(shù)學(xué)知識理解的本質(zhì)[29]，李士锜認(rèn)為：“學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)挠行У恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分才說明是理解了．”[30]根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，適當(dāng)降低學(xué)習(xí)材料的復(fù)雜程度，可以幫助學(xué)生在問題解決的過程獲得相應(yīng)圖式．如在正方體展開圖教學(xué)中，可設(shè)計有難度層次的題目，逐個增加展開圖具有不對稱圖案面的個數(shù)，讓學(xué)生在獲得涉及一個不對稱圖案如何進(jìn)行折疊的圖式后學(xué)習(xí)多個不對稱圖案的折疊，能有效地幫助其建構(gòu)相關(guān)圖式．

空間教學(xué)與其它知識教學(xué)不同之處在于培養(yǎng)空間感知可通過動手實踐，采用實物演示讓學(xué)生經(jīng)歷二維表象到三維圖形的變換，可讓學(xué)生體會圖形從二維到三維的變與不變，為進(jìn)行抽象和想象空間圖形時提供實際背景．在獲得基本感知后，要求學(xué)生逐漸脫離實物進(jìn)入更高難度的思維鍛煉，也是幫助圖式建構(gòu)的方法之一．

6.2 加強思維訓(xùn)練促進(jìn)學(xué)生提取圖式達(dá)到自動化

需要注意的是，實物的作用是幫助學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，僅依靠動手操作對空間概念形成沒有幫助，圖式無法在頭腦中建構(gòu)．如四~五年級被試采用動手操作的方法僅能完成可由展開圖“轉(zhuǎn)動”解決的任務(wù)，無法回答需抽象思考的問題．在空間教學(xué)中鼓勵學(xué)生動手操作的同時要上升思維訓(xùn)練的高度，尤其是對于高年級學(xué)生，過多依賴實物模型可能會阻礙抽象思維和空間能力的發(fā)展．

正如學(xué)生掌握九九乘法表后遇到乘法運算能產(chǎn)生條件反射快速得到答案，圖式提取不占用工作記憶空間．當(dāng)提取趨向自動化，工作記憶就能有更大空間處理更高難度問題．在教學(xué)中利用變式“重復(fù)”練習(xí)[31]，可以有效促進(jìn)圖式自動化．譬如，可對空間概念進(jìn)行變式訓(xùn)練，讓學(xué)生理解正方體的對立面與相鄰面在二維展開圖中位置關(guān)系是如何表示的，發(fā)現(xiàn)二維圖形在平面上的旋轉(zhuǎn)與空間中旋轉(zhuǎn)的共通之處．在此基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加練習(xí)量讓學(xué)生多次經(jīng)歷圖式提取過程，在量的積累上達(dá)到自動化水平．

6.3 利用心理折疊水平合理評價學(xué)生數(shù)學(xué)空間能力

發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要改變評價方式單純依賴一張試卷的狀況[32]．分?jǐn)?shù)是對學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果性評價，教師在進(jìn)行教學(xué)評價時應(yīng)更加關(guān)注過程性評價．如何整合評價與客觀測驗形成“測驗嵌入式”評價，如何切合數(shù)學(xué)教學(xué)實際形成系統(tǒng)化的“教學(xué)嵌入式”評價都亟待實踐研究[33]．心理折疊水平就是動態(tài)觀察學(xué)生數(shù)學(xué)空間能力的一個有效工具，在教學(xué)中判斷學(xué)生心理折疊達(dá)到何種水平，就能發(fā)現(xiàn)學(xué)生在空間學(xué)習(xí)過程中遇到的具體困難是什么，從而有針對性地開展教學(xué)，真正做到因材施教[34-42]．譬如，若判斷學(xué)生處于前操作水平，則可以在教學(xué)中多采用實物模型，先讓學(xué)生建立空間感知，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一步學(xué)習(xí)．在每一個具體的水平層次上，開展能夠促進(jìn)該水平層次的學(xué)生提高的教學(xué)，以學(xué)生已有的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)引導(dǎo)其向更高水平前進(jìn)，才能有效地幫助學(xué)生獲得進(jìn)一步提升．

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Research on Students’ Mental Folding Levels Based on Tasks with Different Cognitive Demand

ZHONG Yi, XIE Sheng-ying

(School of Mathematics and Statistics, LHPCSIP (MOE), Hunan Normal University, Hunan Changsha 410081, China)

Cultivating students’ ability for spatial visualization is an important goal in mathematics education. Mental folding is one of the important manifestations of spatial visualization. Studies of the cognitive process of students’ mental folding on tasks with different levels of cognitive demand have found that students perform better on low cognitive-demand tasks than on high cognitive-demand tasks. High student performance on low cognitive-demand tasks is related to schema automation, whereas high student performance on high cognitive-demand tasks is related to schema construction. The level of mental folding can be classified into the following categories: pre-operational level, single-operation level, and complex-operation level. Research on determining students’ mental-folding levels can help us to improve students’ mathematical spatial visualization so that we can carry out targeted teaching based on our understanding of students’ existing cognitive level to develop students’ mathematical core competency.

mental folding; cognitive load; spatial ability; mathematical thinking

G442

A

1004–9894（2020）03–0025–07

2020–01–19

湖南省教育廳一般項目——湖南高考自主命題數(shù)學(xué)試題研究——基于SOLO分類理論（15C0873）；湖南省重點學(xué)科建設(shè)項目

鐘熠（1996—），女，貴州三穗人，碩士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．謝圣英為本文通訊作者．

鐘熠，謝圣英．基于不同認(rèn)知負(fù)荷任務(wù)的學(xué)生心理折疊水平研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（3）：25-31．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]