陳 躍,黃振坤,賓紅華,陳 娟

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

基于文獻(xiàn)[1]的工作,混沌系統(tǒng)的同步被廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域,如生態(tài)系統(tǒng)、信息處理、信息安全等領(lǐng)域[2-4]?；煦缦到y(tǒng)控制是一個具有挑戰(zhàn)性的課題,近幾年來學(xué)者們對其提出了很多富有成效的控制方法,比如最優(yōu)控制[5]、自適應(yīng)控制[6]、有限時間控制[7]、滑模控制[8]等。

目前大多數(shù)研究都是考慮兩個相同或者相似連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象[9]。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,文獻(xiàn)[10]提出了一種新的滑模方案來控制受到不確定因素和外部干擾的非線性混沌系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中,系統(tǒng)之間的耦合連接有時會斷開[11],系統(tǒng)之間的耦合可能是間歇性的,這在一定程度上可以描述為間歇性耦合。因此將研究范圍由連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)擴(kuò)展到不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)是有必要的。對控制系統(tǒng)的量化研究一直受到人們的重視,并產(chǎn)生了很多有意義的成果[12]。一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)量化作用對混沌控制系統(tǒng)的影響要比對傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)的影響大得多。然而到目前為止,這方面的研究還沒有引起足夠的重視。

從最近的研究來看,Lyapunov穩(wěn)定性理論是討論兩個不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)最常用的工具[13]。根據(jù)這個理論給一些充分條件可以實(shí)現(xiàn)兩個耦合混沌系統(tǒng)的同步。但是那些條件對于不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)卻是無效的。文獻(xiàn)[14]研究了兩個不連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步問題,具有量化效應(yīng)的兩個不連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步課題值得進(jìn)一步探索。基于常微分的穩(wěn)定性理論和比較定理,本文建立一些新的充分條件,揭示具有量化效應(yīng)控制器與系統(tǒng)同步及平均時間耦合強(qiáng)度的依賴性,表明在耦合強(qiáng)度較小的情況下也能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的完全同步。

1 預(yù)備知識

設(shè)混沌系統(tǒng)為

(1)

其中：x(t)=(x1(t),…,xn(t))T是系統(tǒng)的狀態(tài)向量；f：Rn→Rn是連續(xù)可微的非線性向量函數(shù)。

要實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的同步,含開關(guān)周期性靜態(tài)對數(shù)量化控制器的響應(yīng)系統(tǒng)為:

(2)

其中y(t)=(y1(t),…,yn(t))T是響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。

控制器u(t)設(shè)計為:

u(t)=q(v(t)),

(3)

v(t)=-k(t)e(t)。

(4)

其中：e(t)=y(t)-x(t)是驅(qū)動混沌系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)之間的同步誤差；u(t)=(u1(t),…,un(t))T。量化函數(shù)[15]q(·)：Rn→D是分段常值向量函數(shù),D是Rn中的有限子集,即把Rn劃分成有限個形如{z∈Rn：q(z)=i,i∈D}的量化區(qū)域,這里采用靜態(tài)對數(shù)量化器:

(5)

其中：η=(1-ρ)/(1+ρ),wi構(gòu)成q量化水平集S={±wi,wi=ρiw0,i=0,±1,…}∪{±w0}∪{0},0<ρ<1,w0>0。

在文獻(xiàn)[15]中,定義ηq=lim sup(#g[])/(-ln)為量化器q(·)的量化密度，其中#g[]為上式中的量化級數(shù)在區(qū)間[,1/]內(nèi)的數(shù)量。量化密度ηq隨著區(qū)間[,1/]的增長呈對數(shù)形式增長。當(dāng)量化級數(shù)有限時,從ηq的定義可以得到ηq=0。當(dāng)ηq比較小時,量化級數(shù)也比較少,此時量化器也比較“粗糙”。因此在下面的討論中,稱ρ為量化器q(·)的量化密度。

對此類量化器,顯然有q(v)=(I+Δ)v,其中I∈Rn×n,量化同步誤差Δi∈[-η,η](i=1,2,…,n)且

(6)

選取一個開關(guān)周期性的耦合強(qiáng)度k(t)[16]：

(7)

其中：n=0,1,2,…；k是正常數(shù)；T是開關(guān)周期；θ(0<θ<1)是開關(guān)率。顯然,當(dāng)0<θ<1時,式(3)是不連續(xù)耦合；當(dāng)θ=1時,式(3)是連續(xù)耦合的。

下面給出混沌系統(tǒng)同步所用到的假設(shè)。

假設(shè)1對于函數(shù)f(x),存在一個正常數(shù)l，使得

|f(x)-f(y)|≤l|x-y|,?x,y∈Rn。

(8)

注1 條件(8)通常被稱為全局Lipschitz條件,l是Lipschitz常數(shù)。容易知道一些著名的混沌系統(tǒng)都能滿足假設(shè)1,例如Chua’s circuit[17]、Rossler-like system[18]、Genesio system[19]等。

定義1 對于混沌系統(tǒng)(1)和(2)的初始值x(0),y(0),如果下面的條件成立，

(9)

則這兩個系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步。

引理1(比較定理)[20]設(shè)E是R2上開集,g∈C[E,R],假設(shè)以下初值問題的解存在,且解的最大存在區(qū)間為[t0,t0+h]，

dx/dt=g(t,x),x(t0)=x0。

(10)

設(shè)u(t)∈C[(t0,t0+h),R],t∈[t0,t0+h)時,有(t,u(t))∈E,u(t0)≤x0,且

Du(t)≤g(t,u(t)),t∈[t0,t0+h)。

(11)

其中Du(t)為固定的Dini導(dǎo)數(shù),則

u(t)≤x(t),t∈[t0,t0+h)。

(12)

2 主要結(jié)果

定理1 系統(tǒng)(1)和(2)在控制器(3)的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)同步,如果假設(shè)1成立且設(shè)計控制器耦合強(qiáng)度k(·)和量化信號誤差范圍Δ滿足

(13)

證明對誤差系統(tǒng)求導(dǎo)

f(y(t))-f(x(t))-(I+Δ)k(t)e(t)。

(14)

滿足假設(shè)1的情況下,對于任意的初值e(0)=y(0)-x(0),方程(14)有唯一全局漸進(jìn)穩(wěn)定解e(t,e(0))，e(t,0)≡0是系統(tǒng)(14)的常數(shù)解。如果這個初始解是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的,那么對于每一個初始值,系統(tǒng)(1)和(2)能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步.

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)e(t)/2。兩邊求導(dǎo),結(jié)合式(14)和假設(shè)1得

eT(t)l|y(t)-x(t)|-eT(t)(I+Δ)k(t)e(t)=leT(t)|e(t)|-eT(t)(I+Δ)k(t)e(t)≤

l|eT(t)e(t)|-λmin(I+Δ)k(t)|eT(t)e(t)|=-2[λmin(I+Δ)k(t)-l]V(t),

(15)

由于k(t)是間歇性的,按區(qū)間[nT,(n+θ)T)和[(n+θ)T,(n+1)T)依次分段應(yīng)用引理1,有

V(t)≤Γ(t),

(16)

其中n=0,1,2,…,Γ(t)是

dΓ(t)/dt=-2[λmin(I+Δ)k(t)-l]Γ(t)

(17)

由式(17)得

(18)

顯然,t在[0,∞)上存在正整數(shù)m,使得t∈[mT,(m+1)T)。設(shè)t=mT+t1(0≤t1

(19)

根據(jù)k(t)的定義,得

(20)

由式(20),有

Γ(0)exp{-2mT[(λmin(I+Δ)k-l)θ-l(1-θ)]+2lt1}=

Γ(0)exp[-2mT(λmin(I+Δ)kθ-l)+2lt1],

(21)

注意到mT=t-t1,那么

Γ(t)≤Γ(0)exp[-2(t-t1)(λmin(I+Δ)kθ-l)+2lt1]=

Γ(0)exp[-2t(λmin(I+Δ)kθ-l)]exp(2λmin(I+Δ)kθt1)，

(22)

故

(23)

(24)

3 仿真實(shí)例

考慮R?ssler-like系統(tǒng)作為例子,它是一個三維的常微分方程組:

(25)

它的響應(yīng)系統(tǒng)是:

(26)

由式(6)和方程(14)知

即u1(t)=-(1+Δ1)k(t)e1(t),u2(t)=-(1+Δ2)k(t)e2(t),u3(t)=-(1+Δ3)k(t)e3(t),

(27)

當(dāng)α=0.03,β=1.5,γ=0.2,μ=1.5,λ=0.75,ξ=21.43, ?=0.075時,R?ssler-like系統(tǒng)(25)有混沌吸引子,如圖1。

顯然,當(dāng)l=0.492 6時,R?ssler-like系統(tǒng)滿足Lipschiz條件。

4 結(jié)論

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和比較定理,分析了基于量化控制的開關(guān)周期性耦合混沌系統(tǒng)的同步動力學(xué),給出了不含時滯下混沌系統(tǒng)同步化準(zhǔn)則,揭示具有量化效應(yīng)控制器與系統(tǒng)同步、平均時間耦合強(qiáng)度的依賴性,表明在耦合強(qiáng)度較小的情況下也能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的完全同步,本文的結(jié)果是對現(xiàn)有文獻(xiàn)[14]結(jié)果的拓展,仿真例子驗證了結(jié)果的可行性。