航空末敏彈子彈地面散布研究

馬宗成,陳丹強(qiáng),李國(guó)帥,鐘詠兵,肖樹(shù)臣

(空軍航空大學(xué) 航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130000)

航空末敏子母彈地面散布的形狀、大小和均勻程度直接影響子母彈對(duì)目標(biāo)的殺傷效果[1]。與傳統(tǒng)子母彈相比,由于航空末敏彈的彈道涉及母彈飛行過(guò)程、減速過(guò)程和穩(wěn)態(tài)掃描過(guò)程3個(gè)階段,減速和穩(wěn)態(tài)掃描過(guò)程又包含傘-彈雙體運(yùn)動(dòng),因此航空末敏子母彈全彈道數(shù)學(xué)模型復(fù)雜,導(dǎo)致缺少對(duì)航空末敏子母彈地面散布問(wèn)題的研究。文獻(xiàn)[2-3]建立了傳統(tǒng)子母彈拋撒段彈道模型,分析了無(wú)控子彈運(yùn)動(dòng)規(guī)律和散布情況;文獻(xiàn)[4-6]分析了末敏彈穩(wěn)態(tài)階段傘-彈系統(tǒng)空間運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律;文獻(xiàn)[1,7]采用蒙特卡羅法和數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)破片殺傷子母彈的地面散布問(wèn)題展開(kāi)了研究,不涉及末敏彈的減速和穩(wěn)態(tài)掃描過(guò)程;文獻(xiàn)[8]采用上下界估計(jì)方法,對(duì)航空末敏彈的地面散布問(wèn)題做了初步探討。

本文針對(duì)航空末敏子母彈地面散布問(wèn)題,采用歐拉方法建立了母彈飛行階段的剛體六自由度動(dòng)力學(xué)模型;將子彈減速階段和子彈穩(wěn)態(tài)掃描階段的傘-彈系統(tǒng)簡(jiǎn)化為雙剛體,根據(jù)其物理特性,將減速階段簡(jiǎn)化為球鉸鏈連接,將穩(wěn)態(tài)掃描階段簡(jiǎn)化為柱鉸鏈連接,采用拉格朗日多剛體建模方法,分別建立了三維空間的減速階段的雙剛體球鉸9自由度模型和穩(wěn)態(tài)掃描階段的雙剛體柱鉸7自由度模型。更進(jìn)一步,將減速傘和旋轉(zhuǎn)傘的開(kāi)傘充氣的銜接過(guò)程簡(jiǎn)化為勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程,建立了航空末敏彈全過(guò)程的外彈道數(shù)學(xué)模型;按照傳統(tǒng)的拋撒方式設(shè)計(jì)了基本的航空末敏彈構(gòu)型,仿真分析了水平投彈速度和拋撒速度對(duì)一層子彈地面散布的影響。本文所設(shè)計(jì)的構(gòu)型和建立的全彈道模型為航空末敏彈的設(shè)計(jì)和使用提供了借鑒和依據(jù)。

1 模型構(gòu)建

1.1 彈體結(jié)構(gòu)和拋撒過(guò)程

本文設(shè)定母彈彈體內(nèi)部裝載3層且每層包含4枚的子彈,拋撒裝置位于母彈彈軸處,排列方式示意圖如圖1所示。到達(dá)預(yù)定拋撒高度后,切割母彈的蒙皮,拋撒裝置作用,將末敏子彈拋射出去。末敏子彈散開(kāi)的同時(shí),立即打開(kāi)減速降落傘進(jìn)入減速階段。減速到預(yù)定速度后,拋掉減速降落傘并打開(kāi)旋轉(zhuǎn)降落傘,進(jìn)入穩(wěn)態(tài)掃描階段,實(shí)現(xiàn)對(duì)地面目標(biāo)的螺旋線掃描,如圖2所示。

圖1 彈體結(jié)構(gòu)

1.2 拉格朗日多剛體建模方法簡(jiǎn)介

拉格朗日多剛體建模方法可以忽略系統(tǒng)之間的相互約束,僅需要求解方程中各項(xiàng)的表達(dá)式,進(jìn)而代入第二類(lèi)拉格朗日方程便可以建立多剛體動(dòng)力學(xué)模型,且建立的模型是混合的微分-代數(shù)方程組,便于計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算,第二類(lèi)拉格朗日方程表達(dá)式為[9]

(1)

式中:T為多個(gè)剛體的動(dòng)能,包括速度項(xiàng)和轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)能;qk為假設(shè)的廣義坐標(biāo);Qk為相應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力;k為多個(gè)剛體獨(dú)立的自由度個(gè)數(shù);n為組成質(zhì)點(diǎn)系的個(gè)數(shù);s為完整約束。對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成且具有s個(gè)完整約束的理想約束系統(tǒng),建立的模型的自由度為3n-s。

圖2 拋撒過(guò)程

對(duì)減速過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的傘-彈系統(tǒng)作如下假設(shè):

①下降過(guò)程中減速傘和旋轉(zhuǎn)傘保持軸對(duì)稱(chēng)狀態(tài),視為剛體,將末敏子彈作為另一個(gè)剛體處理,傘-彈系統(tǒng)視為雙剛體;

②根據(jù)物理連接關(guān)系,減速過(guò)程減速傘-末敏子彈之間的連接機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為球鉸連接,穩(wěn)態(tài)階段旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈間連接機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為柱鉸連接,忽略鉸處產(chǎn)生的摩擦力。

1.3 母彈飛行過(guò)程建模

參考文獻(xiàn)[10-11],采用歐拉方法,本文建立的母彈飛行過(guò)程的六自由度數(shù)學(xué)模型如下:

(2)

(3)

式(2)為母彈的動(dòng)力學(xué)方程,式(3)為母彈的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。式中:x,y,z為慣性系下質(zhì)心位置;m,J分別為母彈質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;v為質(zhì)心速度;θ,γv分別為彈道傾角和彈道偏角;ω為角速度;?,ψ,γ為歐拉角;F,M分別為彈體受到的空氣作用力和力矩。

1.4 減速過(guò)程彈傘系統(tǒng)建模

本文選取彈傘連接點(diǎn)O在地面慣性坐標(biāo)系Oxyz的位置參數(shù)(x0p,y0p,z0p)以及傘的空間姿態(tài)參數(shù)(?p,ψp,γp)和彈的空間姿態(tài)參數(shù)(?b,ψb,γb)作為獨(dú)立變量,建立減速傘-末敏子彈雙剛體球鉸三維空間的9自由度數(shù)學(xué)模型。減速傘和末敏子彈組成的傘-彈系統(tǒng)如圖3所示,圖中,O1x1y1z1和O2x1y1z1分別是以傘體質(zhì)心為原點(diǎn)和彈體質(zhì)心為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系。

圖3 減速階段傘-彈系統(tǒng)示意圖

根據(jù)物理連接關(guān)系,減速傘質(zhì)心在Oxyz中的位置可表示為

(4)

末敏子彈在Oxyz中的位置可表示為

(5)

將式(4)和式(5)中的減速傘和末敏子彈的空間位置對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),可以求得減速傘和末敏子彈的質(zhì)心速度。減速傘的質(zhì)心速度可表示為

(6)

末敏子彈的質(zhì)心速度可表示為

(7)

式中:?′p和ψ′p為傘體的歐拉角對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。

通過(guò)減速傘和末敏子彈的空間姿態(tài)角的角度變化率,可以求得減速傘和末敏子彈的角速度?？傻脺p速傘的角速度為

(8)

末敏子彈的角速度為

(9)

因而,減速傘的動(dòng)能可以表示為

(10)

末敏子彈的動(dòng)能可以表示為

(11)

傘-彈系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示為

Tj=Tp+Tb

(12)

將式(12)代入式(1),定義廣義坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)變量和二階導(dǎo)數(shù)變量,運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行公式推導(dǎo),得到傘-彈系統(tǒng)減速階段三維空間9自由度數(shù)學(xué)模型為

(13)

式中:A,B,C為系數(shù)矩陣,Q為廣義力項(xiàng),O為零矩陣。

1.5 穩(wěn)態(tài)過(guò)程傘-彈系統(tǒng)建模

選取旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈系統(tǒng)的連接點(diǎn)O的空間位置(x0s,y0s,z0s)、旋轉(zhuǎn)傘的空間姿態(tài)角(?s,ψs,γs)以及末敏子彈的彈體坐標(biāo)系相對(duì)于旋轉(zhuǎn)傘的傘體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ(逆時(shí)針為正)作為廣義坐標(biāo),即q=(x0sy0sz0s?sψsγsθs)。穩(wěn)態(tài)階段的傘-彈系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)階段旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈系統(tǒng)示意圖

將傘體坐標(biāo)系平移到O點(diǎn),得到傘盤(pán)坐標(biāo)系Ox′1y′1z′1,則由結(jié)構(gòu)參數(shù)和連接關(guān)系可以得到,傘剛體的質(zhì)心在此坐標(biāo)系中的位置可以表示為(-ls,0,0),彈剛體的質(zhì)心在此坐標(biāo)系中的位置可表示為(lbcosθr,lbsinθr,0),θr=θs-θ0,θ0為靜態(tài)懸掛角。

通過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系,可得到傘剛體的質(zhì)心在地面慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(14)

將式(14)的兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),可得到傘剛體的質(zhì)心速度為

(15)

彈剛體的質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中可表示為

(16)

將式(16)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),可得彈剛體的質(zhì)心速度表達(dá)式為

(17)

地面坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)(γs,?s,ψs)可以得到傘體坐標(biāo)系,因此傘剛體的角速度可表示為

(18)

地面坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)(γs,?s,ψs,θs)可以得到彈體坐標(biāo)系,因此彈體的角速度可表示為

(19)

傘剛體的動(dòng)能可表示為

(20)

彈剛體的動(dòng)能可表示為

(21)

穩(wěn)態(tài)階段傘-彈系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為

Tw=Ts+Tb

(22)

將式(21)代入式(1)中,可以得到彈傘系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)掃描階段的數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式為

(23)

式中:A1,B1,C1為系數(shù)矩陣;Q1為廣義力項(xiàng)。

1.6 銜接過(guò)程的假設(shè)

①拋撒點(diǎn)末敏子彈速度的計(jì)算。由于拋撒持續(xù)時(shí)間很短,本文假設(shè)拋撒點(diǎn)子彈脫離母彈后的速度為[12]v2=v0+v1。式中:v0為母彈飛行的速度矢量;v1為母彈拋撒子彈的相對(duì)速度矢量。

②開(kāi)傘過(guò)程。減速傘和旋轉(zhuǎn)傘開(kāi)傘過(guò)程持續(xù)時(shí)間短[12],經(jīng)過(guò)大約0.5 s便可以充滿,因此本文將開(kāi)傘充氣過(guò)程簡(jiǎn)化為勻速直線運(yùn)動(dòng)。

2 算例分析

以上文中建立的全過(guò)程外彈道數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ),采用MATLAB軟件編制仿真程序,彈道仿真流程如圖5所示。

圖5 全彈道仿真流程圖

2.1 全彈道仿真

選取投彈高度3 000 m、投彈速度150 m/s(水平投彈)、拋撒高度520 m、拋撒速度50 m/s作為仿真初始條件,給出航空末敏彈中第一層子彈的飛行彈道。為便于觀察,將母彈飛行彈道和拋撒后的彈道分開(kāi)表示,如圖6、圖7所示。圖6中母彈高度降低到520 m時(shí),母彈切割彈體,拋撒子彈。圖7中,拋撒后的子彈經(jīng)歷減速傘開(kāi)傘充氣過(guò)程、減速過(guò)程、旋轉(zhuǎn)傘開(kāi)傘充氣過(guò)程以及穩(wěn)態(tài)過(guò)程,最終降落到地面上。當(dāng)減速傘-末敏子彈系統(tǒng)的速度降低為80 m/s時(shí),拋掉減速傘,拉出旋轉(zhuǎn)傘。旋轉(zhuǎn)傘-末敏子彈系統(tǒng)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)并逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)地面的穩(wěn)態(tài)掃描,當(dāng)高度下降為100 m時(shí),子彈的水平位置基本不再發(fā)生變化,仿真截止。

圖6 母彈飛行階段慣性系下垂直面內(nèi)彈道軌跡

圖7 4枚子彈脫離母彈后的彈道軌跡

圖8是4枚末敏子彈形成的掃描覆蓋區(qū)域,在此仿真初始條件下,z軸方向2枚子彈的掃描范圍不重合,x軸方向的2枚子彈的掃描區(qū)域相互重合且與z方向子彈掃描范圍重合。

圖8 一層末敏子彈的掃描區(qū)域

2.2 投彈速度對(duì)末敏子彈散布的影響

選取投彈高度為3 000 m、拋撒高度為520 m、拋撒速度為50 m/s作為初始條件,研究不同投彈速度對(duì)末敏子彈散布的影響。設(shè)定水平投彈速度分別為100 m/s,120 m/s,150 m/s,200 m/s,250 m/s,300 m/s,仿真得到的子彈落點(diǎn)散布如圖9所示。采用一維cubic插值方法,得到落點(diǎn)x軸方向和z軸方向的間距隨投彈速度的變化,如圖10所示。

圖9 投彈速度對(duì)地面散布的影響

圖10 落點(diǎn)間距隨投彈速度的變化

由圖10可見(jiàn),x軸方向上的落點(diǎn)間隔與投彈速度成反比。這是因?yàn)橥稄椝俣却?會(huì)使拋撒點(diǎn)的俯仰角的絕對(duì)值減小,這會(huì)降低拋撒點(diǎn)x軸方向2枚子彈的相對(duì)速度,進(jìn)而降低x軸方向的落點(diǎn)間距。z軸方向上的落點(diǎn)間隔基本保持不變,受投彈速度的影響很小。這是因?yàn)橐环矫孀笥?枚子彈在拋撒點(diǎn)的側(cè)向速度等于拋撒速度,與投彈無(wú)關(guān);另一方面,垂直方向(y軸方向)上由投彈點(diǎn)到拋撒點(diǎn)為自由落體運(yùn)動(dòng),所以投彈速度對(duì)傘彈系統(tǒng)的初始姿態(tài)有一定影響,但是對(duì)拋撒點(diǎn)的垂向速度沒(méi)有影響,所以投彈速度對(duì)子彈降落到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間影響不大。

因此,投彈速度對(duì)z軸方向的落點(diǎn)間距影響不大,在拋撒速度確定的情況下,x軸方向的落點(diǎn)間距與投彈速度成反比。在航空末敏子母彈的使用過(guò)程中,降低投彈速度可以使地面散布更為稀疏。

2.3 拋撒速度對(duì)末敏子彈散布的影響

選取投彈高度為3 000 m、投彈速度為150 m/s、拋撒高度為520 m作為仿真初始條件,拋撒速度分別設(shè)定為30 m/s,40 m/s,50 m/s,60 m/s,70 m/s和80 m/s,4枚子彈拋撒后的彈道軌跡如圖11所示,子彈落點(diǎn)如圖12所示,通過(guò)一維cubic插值給出了末敏子彈落點(diǎn)x軸方向、z軸方向的間距隨拋撒速度的變化關(guān)系,如圖13所示。

圖11 不同拋撒速度下的彈道

圖12 拋撒速度對(duì)地面散布的影響

圖13 落點(diǎn)間距隨拋撒速度的變化

由圖13可知,隨著拋撒速度的增加,x軸方向上的落點(diǎn)間距與z軸方向上的落點(diǎn)間距均線性增大,表明落點(diǎn)間距與拋撒速度成正比。結(jié)合2.2節(jié)中的分析可知,水平投彈速度和拋撒速度均對(duì)x軸的落點(diǎn)間距有影響,而z軸方向的落點(diǎn)間距主要由拋撒速度決定。在航空末敏彈的設(shè)計(jì)使用過(guò)程中,應(yīng)根據(jù)裝甲目標(biāo)隊(duì)形合理確定投彈速度和拋撒速度。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)易的航空末敏彈構(gòu)型,建立了母彈飛行過(guò)程、減速過(guò)程、穩(wěn)態(tài)掃描過(guò)程的全彈道數(shù)學(xué)模型,研究了一層末敏子彈的地面散布問(wèn)題,基于MATLAB軟件仿真分析了不同的載機(jī)水平的投彈速度和拋撒速度對(duì)末敏子彈地面散布的影響。研究結(jié)果表明:子彈散布x軸、z軸方向的落點(diǎn)間距與拋撒速度成正比;載機(jī)的水平投彈速度對(duì)末敏子彈散布x軸方向的落點(diǎn)間距影響較大,對(duì)z軸方向的落點(diǎn)間距基本沒(méi)有影響。本文的研究?jī)?nèi)容能夠?yàn)楹娇漳┟魪椀脑O(shè)計(jì)和使用提供依據(jù)和借鑒。拋撒高度、氣象風(fēng)、運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨機(jī)誤差等因素也會(huì)對(duì)子彈地面散布產(chǎn)生影響,后續(xù)會(huì)結(jié)合蒙特卡洛方法研究這些問(wèn)題。