基于“四個(gè)理解”的高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)

摘 ? ?要：數(shù)學(xué)教學(xué)是在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)基礎(chǔ)上的思維與實(shí)踐活動(dòng).高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)基于知識(shí)模塊展開(kāi)片段式和局部性的學(xué)習(xí)研究，追問(wèn)本質(zhì)，厘清關(guān)系，構(gòu)建結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的思維過(guò)程條理化、顯性化、層次化，以數(shù)學(xué)思維的不斷進(jìn)階，打通知識(shí)到素養(yǎng)的通道，實(shí)現(xiàn)造就優(yōu)秀大腦的目的.

關(guān)鍵詞：四個(gè)理解;模塊化研學(xué);拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;數(shù)學(xué)思維

高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，按知識(shí)的發(fā)生發(fā)展自然形成的若干學(xué)習(xí)模塊展開(kāi)片段式和局部性的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)，通過(guò)不斷地追問(wèn)本質(zhì)、厘清關(guān)系、構(gòu)建結(jié)構(gòu)等一系列思維過(guò)程，促思維、長(zhǎng)智慧、提學(xué)力，促進(jìn)學(xué)生的研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力提升，形成系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)觀(guān)念[1].

數(shù)學(xué)教學(xué)要在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)和踐行活動(dòng).基于“四個(gè)理解”的高中模塊化研學(xué)如何促進(jìn)學(xué)生形成積極的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，形成兼具務(wù)真性、批判性、創(chuàng)造性的基本思維特征？現(xiàn)以《拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)為例加以說(shuō)明.

一、理解數(shù)學(xué) ? 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之本

理解數(shù)學(xué)，就是從整體上把握教材的結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)產(chǎn)生的背景和前后聯(lián)系，把握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法[2].章建躍博士認(rèn)為：“要充分發(fā)揮‘一般化觀(guān)念對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)新活動(dòng)的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑，獲得有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論.” [3]拋物線(xiàn)是學(xué)生高中階段接觸到的第三種圓錐曲線(xiàn)，所以，橢圓、雙曲線(xiàn)的研究思路是學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ).通過(guò)研學(xué)方法的聯(lián)想類(lèi)比、遷移應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)思維在相關(guān)知識(shí)的軌道上運(yùn)行和展現(xiàn)，能激發(fā)學(xué)生愿意嘗試和基于邏輯合理猜想的意愿，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行新知探索并產(chǎn)生高階思維，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性.

【教學(xué)實(shí)錄】概念起始模塊的研學(xué)過(guò)程

師：解析幾何的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題.前面我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線(xiàn)兩類(lèi)圓錐曲線(xiàn)，那么研究它們的思路是什么？

生（齊答）：先推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程，然后研究其性質(zhì).

師：如何推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

生（齊答）：建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn).

師：我簡(jiǎn)單總結(jié)一下：以橢圓為例，首先看其圖形特征（到兩定點(diǎn)的距離和為定值），然后推導(dǎo)得出標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來(lái)研究其性質(zhì).其過(guò)程是從形到數(shù)再到形.

教師板書(shū)總結(jié).

師：今天，我們采用同樣的研究路徑來(lái)研究拋物線(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】模塊化研學(xué)通過(guò)從數(shù)學(xué)的角度抽象出一類(lèi)事物本質(zhì)特征，形成對(duì)相似問(wèn)題的研究方法.沒(méi)有邏輯聯(lián)系，就沒(méi)有思想方法的統(tǒng)整，知識(shí)的生成就沒(méi)有生命力.本節(jié)課的起始模塊，選取與新知有相似關(guān)系的圓錐曲線(xiàn)進(jìn)行類(lèi)比聯(lián)系，喚醒學(xué)生已有的思維策略和思維方法.建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明，是學(xué)生熟悉的橢圓、雙曲線(xiàn)的研究方法，用其來(lái)審視拋物線(xiàn)，并將其遷移應(yīng)用于拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)之中，能成功推導(dǎo)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.這種有序的研究思路，能從整個(gè)圓錐曲線(xiàn)的知識(shí)模塊中進(jìn)行類(lèi)化方法系統(tǒng)，提升數(shù)學(xué)觀(guān)念.

二、理解教學(xué) ? 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之道

理解教學(xué)，就是靈活選擇教學(xué)活動(dòng)的組織方式，引導(dǎo)學(xué)生以研學(xué)視野從不同角度看待問(wèn)題、分析問(wèn)題和思考問(wèn)題，形成對(duì)一個(gè)問(wèn)題更準(zhǔn)確、更全面和更深刻的認(rèn)識(shí).課堂創(chuàng)新的本質(zhì)在于教學(xué)過(guò)程中如何激發(fā)學(xué)生更好地思考，重視思維化教學(xué).教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生確立研究意愿，明確研究對(duì)象的一般邏輯順序，有意識(shí)地讓學(xué)生確立研究的框架和手段，引導(dǎo)學(xué)生注重內(nèi)容、路徑、方法的歸納總結(jié)，幫助學(xué)生由“學(xué)科思維”逐步走向“學(xué)會(huì)思維”，由“認(rèn)同性思維”走向“批判性思維”.

【教學(xué)實(shí)錄】拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)模塊的研學(xué)過(guò)程

師（給出圖1）：研究了拋物線(xiàn)的定義后，下面我們應(yīng)該做什么？

生（齊答）：推導(dǎo)方程.

師：推導(dǎo)圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要經(jīng)歷哪些過(guò)程？

生（齊答）：建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明.

師：很好，請(qǐng)大家來(lái)推導(dǎo)一下拋物線(xiàn)的方程，然后小組交流.為了研究的方便，我們統(tǒng)一約定定點(diǎn)F與定直線(xiàn)l間的距離為p.

（學(xué)生自行研究推導(dǎo)，并進(jìn)行小組交流）

師：哪位同學(xué)來(lái)展示一下研學(xué)成果？

生1：我們以直線(xiàn)l為y軸，以過(guò)點(diǎn)F垂直于l的直線(xiàn)為x軸，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系.

師：很好，具體推導(dǎo)過(guò)程給大家講一講.

生1：如圖2，顯然定點(diǎn)[F（p，0）]，設(shè)拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)[M（x，y）]，M在定直線(xiàn)l上的投影為[M′].根據(jù)題意[MF=MM′]，即[（x-p）2+y2=x] ，化簡(jiǎn)可得方程為[y2=2px-p2].

師：從建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)等研究步驟來(lái)看，上面的推導(dǎo)很完整，大家有沒(méi)有問(wèn)題？

生2：我有一個(gè)疑問(wèn)，等式中出現(xiàn)了[x]的絕對(duì)值，為什么？

師：這是一個(gè)很好的問(wèn)題，大家想想這是為什么？要不要加？

生1：[x]的絕對(duì)值代表點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，如果點(diǎn)[M（x，y）]在點(diǎn)[M′]的左邊，這時(shí)候必須要加.

師：這位同學(xué)提出了一個(gè)很好的話(huà)題，涉及拋物線(xiàn)的不同開(kāi)口方向問(wèn)題，這一點(diǎn)，我們?cè)诤竺鏁?huì)繼續(xù)研究.

師：還有其他的建系和推導(dǎo)方式嗎？

生2：我們是以F點(diǎn)為原點(diǎn)，平行于直線(xiàn)l的直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，我們得到的方程為[y2=2px+p2].（圖略）

生3：我們推導(dǎo)的方程更為簡(jiǎn)單.我們?cè)诔踔醒芯康膾佄锞€(xiàn)，大多頂點(diǎn)在原點(diǎn)，因此，我們?nèi)∵^(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線(xiàn)為x軸，x軸與l交于N，以線(xiàn)段NF的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，我們得出的方程為[y2=2px].（圖略）

師：同學(xué)們的研究能力太強(qiáng)了.其實(shí)，建系的方式可以有[n]種，得出的拋物線(xiàn)方程也會(huì)有[n]種不同的形式.但這些方程有內(nèi)在關(guān)聯(lián).

生（一臉茫然）：有關(guān)聯(lián)嗎？

師：（幾何畫(huà)板演示，如圖3）我們可以從圖象的左右平移中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，看出方程間的關(guān)系.

師：所以，我們把形如[y2=2px（p>0）]的方程叫作拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：剛才有同學(xué)提出了拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向問(wèn)題，我們來(lái)思考一下，可能會(huì)有幾種常見(jiàn)的不同開(kāi)口方向？

生4：應(yīng)該有四種吧.向右，向左，向上，向下.我不太確定.

師：好的.按照這位同學(xué)的猜想，大家來(lái)推導(dǎo)一下相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程.（學(xué)生小組合作進(jìn)行推導(dǎo)并交流）

師：哪個(gè)小組來(lái)展示一下？

生5：我們組的研究結(jié)果是這樣的.（展臺(tái)展示，教師指正修改，如圖4）

師：不錯(cuò)，這個(gè)組以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，推導(dǎo)了4種形式的拋物線(xiàn)方程.我們把形如[y2=2px（p>0）]，[y2=-2px（p>0）]，[x2=2py（p>0）]，[x2=-2py（p>0）]都稱(chēng)為拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：我們來(lái)繼續(xù)研究.對(duì)于形如[y2=2px（p>0）]的拋物線(xiàn)，我們知道其開(kāi)口向右，頂點(diǎn)為[0，0]，焦點(diǎn)[F（p2，0）]，準(zhǔn)線(xiàn)方程為[x=-p2]，那么其他開(kāi)口方向的拋物線(xiàn)的性質(zhì)是怎樣的？請(qǐng)大家繼續(xù)研究.

生6：（展臺(tái)展示，教師及時(shí)指正）我們的研究結(jié)果如圖5.

【設(shè)計(jì)意圖】模塊化研學(xué)通過(guò)遷移進(jìn)階化、思維可視化，加深對(duì)關(guān)聯(lián)概念之間差異性的認(rèn)識(shí)，著力培養(yǎng)學(xué)生形成說(shuō)理、批判、質(zhì)疑、反思的理性思維習(xí)慣.本模塊的學(xué)習(xí)，借助熟悉的研究圓錐曲線(xiàn)的框架流程，以三種不同形式的建系方式，得出相應(yīng)的方程，關(guān)聯(lián)比較后，自然得出標(biāo)準(zhǔn)方程.在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)不同開(kāi)口方向的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，并相應(yīng)得出性質(zhì).這種從統(tǒng)領(lǐng)性問(wèn)題出發(fā)，以一般性研究視角，不斷地將新概念納入已有概念體系，幫助學(xué)生在相互聯(lián)系中認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，形成知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

三、理解學(xué)生 ? 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之要

理解學(xué)生，就是研判將學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)的聯(lián)系，明察學(xué)生的思維層次，順應(yīng)學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)造適合學(xué)生認(rèn)知水平且有挑戰(zhàn)性的研學(xué)活動(dòng)，不斷豐富學(xué)生研學(xué)的視野，提煉一般的數(shù)學(xué)思想，建立研究問(wèn)題的框架導(dǎo)圖.結(jié)構(gòu)性思維的確立，教師要作為教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者和組織者，通過(guò)設(shè)計(jì)新穎而不斷深入的問(wèn)題情境，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生探索、求知的尊重，引導(dǎo)學(xué)生確立研究問(wèn)題的思維路徑，不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、生成問(wèn)題，然后完善問(wèn)題、發(fā)展問(wèn)題.

【教學(xué)實(shí)錄】拋物線(xiàn)性質(zhì)的研學(xué)過(guò)程

師：認(rèn)識(shí)了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，下面我們一起來(lái)研究例1.（過(guò)程略）

例1 ? 求拋物線(xiàn)[y2=4x]的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.

變式探究1 ? 求拋物線(xiàn)[x2=4y]的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.

變式探究2 ? 求拋物線(xiàn)[y=4x2]的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.

變式探究3 ? 求拋物線(xiàn)[y2=ax（a≠0）]的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.

【設(shè)計(jì)意圖】模塊化研學(xué)通過(guò)概念理解、變式驅(qū)動(dòng)、知能入框三大環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)理解數(shù)學(xué)概念、解釋數(shù)學(xué)思想、反思數(shù)學(xué)思維的效能.本模塊圍繞一個(gè)母題進(jìn)行變式研究，通過(guò)不同形狀位置的反復(fù)變換，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論兩種數(shù)學(xué)思想，確立“先定形，后定量”的同一類(lèi)問(wèn)題的思維導(dǎo)圖.這種基于一個(gè)問(wèn)題的深度變式研究，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路與方法，也讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)逐步明朗且不斷深化，實(shí)現(xiàn)對(duì)核心問(wèn)題的“明朗化”和“再聚焦”.

四、理解技術(shù) ? 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之效

理解技術(shù)，就是緊密?chē)@課堂教學(xué)主線(xiàn)，在思維的疑難處和關(guān)鍵處，通過(guò)技術(shù)創(chuàng)設(shè)直觀(guān)的教育形態(tài)，突破學(xué)生思維的難點(diǎn)和盲點(diǎn)，促進(jìn)更深層次的遷移性學(xué)習(xí).現(xiàn)代教育技術(shù)具有“思維可視化”的特點(diǎn)，能突破傳統(tǒng)教學(xué)無(wú)法給學(xué)生提供的動(dòng)態(tài)展示，使得抽象的數(shù)學(xué)模型變得直觀(guān)化，也讓學(xué)生數(shù)學(xué)地“看”和“學(xué)”有了更多的可能.合理使用教育技術(shù)，不僅可以改善課堂的教學(xué)形態(tài)，也為學(xué)生理解數(shù)學(xué)提供了新的認(rèn)知途徑，思維時(shí)空得到突破，思維能力得到增強(qiáng)，探尋數(shù)學(xué)新知的能力得到鍛煉.

【教學(xué)實(shí)錄】拋物線(xiàn)定義理解模塊的研學(xué)過(guò)程

師：給出拋物線(xiàn)的定義.在平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線(xiàn).（幾何畫(huà)板進(jìn)行演示）

師：同學(xué)們，審視一下拋物線(xiàn)的定義，有怎樣的啟示？

（學(xué)生進(jìn)行小組討論）

生：一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l.

生：l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.

師（追問(wèn)）：如果l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則點(diǎn)的軌跡是什么？

生：（展開(kāi)討論）是過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的一條直線(xiàn).

（教師用幾何畫(huà)板進(jìn)行驗(yàn)證）

師：（板書(shū)）拋物線(xiàn)的定義可以概括為：一動(dòng)三定.一動(dòng)：即形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)M.三定：即一定點(diǎn)：F為焦點(diǎn);一定直線(xiàn)：l為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn);一定值：點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線(xiàn)l的距離相等.

師：（總結(jié)）平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線(xiàn).當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F且垂直于定直線(xiàn)l的一條直線(xiàn);當(dāng)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn).

【設(shè)計(jì)意圖】模塊化研學(xué)的過(guò)程體現(xiàn)為抽象化認(rèn)識(shí)、圖表化演繹、研學(xué)化推進(jìn)、框架化構(gòu)建的特點(diǎn)，學(xué)生不斷提煉總結(jié)，從思路、知識(shí)、方法等方面進(jìn)行歸納，形成模塊的思維邏輯結(jié)構(gòu).本節(jié)課，教育技術(shù)的使用雖然不多，但在本模塊的學(xué)習(xí)中，緊扣拋物線(xiàn)概念的組成要素，針對(duì)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的知識(shí)模糊點(diǎn)等，借助幾何畫(huà)板進(jìn)行一般觀(guān)念的直觀(guān)驗(yàn)證，有利于學(xué)生深刻理解概念，形成研學(xué)思考的習(xí)慣.同時(shí)，在拋物線(xiàn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，為發(fā)現(xiàn)在不同建系方式下得出的不同方程間的內(nèi)在聯(lián)系，借助幾何畫(huà)板，通過(guò)圖象移動(dòng)，直觀(guān)地呈現(xiàn)出不同方程的內(nèi)在聯(lián)系，自然地引出拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，有利于學(xué)生從形象思維和直覺(jué)思維過(guò)渡到邏輯思維.

總之，追尋數(shù)學(xué)的本源，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，培育分析探求、解決問(wèn)題的科學(xué)思維習(xí)慣和理性精神，高中模塊化研學(xué)應(yīng)當(dāng)可以有更大的作為.

參考文獻(xiàn)：

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