何 敏，江燕燕，祝祖送，吳義恒，尤建村，胡瑩瑩

（安慶師范大學(xué)，安徽 安慶 246133）

0 引言

在日常生活中，蹺蹺板是一種常見的兒童玩具。初中物理中研究蹺蹺板的靜力平衡問(wèn)題，適用桿桿原理。本文專門探討和蹺蹺板相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

經(jīng)過(guò)大學(xué)力學(xué)課程學(xué)習(xí)，學(xué)生通常會(huì)將蹺蹺板默認(rèn)為可繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一維剛體。實(shí)際上，在振動(dòng)力學(xué)中，可將蹺蹺板簡(jiǎn)化為兩端自由的均勻?qū)ΨQ兩跨Euler 梁結(jié)構(gòu)，也即我們構(gòu)造了一種新的彈性體模型。本文主要從剛體模型和Euler 梁模型兩個(gè)層面對(duì)蹺蹺板進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究。

文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］分別研究了兩端自由的Euler 梁離散模型和連續(xù)模型微振動(dòng)的定性性質(zhì)，文獻(xiàn)［3］研究了兩端自由的Euler 梁離散模型的振動(dòng)反問(wèn)題。因此力學(xué)模型蹺蹺板不僅具有教學(xué)研究?jī)r(jià)值，也同樣具有科學(xué)研究?jī)r(jià)值，包括振動(dòng)的定性性質(zhì)領(lǐng)域和振動(dòng)的反問(wèn)題領(lǐng)域。

1 將蹺蹺板視為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體模型

在經(jīng)典力學(xué)教材［4］中，將蹺蹺板視為繞過(guò)中點(diǎn)的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的一維剛體，設(shè)剛體質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為2l（為了和下文保持一致）。由定積分運(yùn)算可知，此剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

假設(shè)t1時(shí)刻剛體的角參量為θ1，角速度為ω1，而t2時(shí)刻剛體的角參量為θ2，角速度為ω2，則有剛體的角動(dòng)量定理（1）式和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（2）式成立：

特例：當(dāng)兩個(gè)等體重的人分別關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱地坐在蹺蹺板的兩端，且兩個(gè)人的雙腳都已經(jīng)離地，則作用于剛體的合外力矩為零。將M=0 無(wú)論帶入公式（2）還是公式（3），都可以得到ω1=ω2，即角速度ω是常數(shù)c，也即公式（1）中剛體的角速度β=0。

2 將蹺蹺板視為兩端自由的均勻?qū)ΨQ兩跨Euler梁

2.1 Euler梁力學(xué)模型的提出

設(shè)有一等截面的均勻Euler梁，長(zhǎng)度為2l，邊界條件是兩端自由，梁的中點(diǎn)有一個(gè)鉸支座，從而構(gòu)成一個(gè)兩跨梁。將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的中點(diǎn)處，則自變量-l≤x≤l，其橫向振動(dòng)的模態(tài)方程是：

其中r(x)=E(x)I(x)是抗彎剛度，E(x)是楊氏模量，I(x)是截面的慣性矩，ρ(x)是密度函數(shù)。在本文中r(x) 和ρ(x) 均看成常數(shù)。W(x) 是位移振型，λ=ω2A為該問(wèn)題的特征值，ω是圓頻率，橫截面積A是常數(shù)，x是軸向坐標(biāo)。

對(duì)于兩端自由的均勻兩跨Euler 梁，有下列邊界條件：［5］

而抗彎剛度為零是沒(méi)有意義的，因此邊界條件簡(jiǎn)化為

2.2 兩端自由的均勻?qū)ΨQ兩跨Euler梁頻率方程和位移函數(shù)計(jì)算

Euler 梁的無(wú)阻尼自由振動(dòng)滿足方程（4），其解為［6］

由邊界條件可以計(jì)算出，兩端自由的均勻?qū)ΨQ兩跨Euler梁的頻率方程為

（8）式的結(jié)論與文獻(xiàn)［6］中鉸支-自由梁的頻率方程是完全相同的，這是一個(gè)超越方程，按照由小到大的順序，其前四個(gè)非平凡解的數(shù)值解見文獻(xiàn)［6］。前四個(gè)非平凡解的近似解為而兩端自由的均勻?qū)ΨQ兩跨Euler 梁的位移函數(shù)計(jì)算結(jié)果為

文獻(xiàn)［7］探討了兩端自由的功能梯度梁的一類振動(dòng)反問(wèn)題，文中計(jì)算得到了兩端自由的功能梯度梁的多項(xiàng)式型位移函數(shù)，其相對(duì)于過(guò)梁的中點(diǎn)且垂直于橫軸的直線是對(duì)稱的。結(jié)合文獻(xiàn)［7］和本文的討論，可以得出結(jié)論：兩端自由的對(duì)稱兩跨Euler 梁的位移函數(shù)W(x)具有對(duì)稱和反對(duì)稱兩種模態(tài)，且在相差一個(gè)常數(shù)因子的意義下是唯一的。以上結(jié)論與振動(dòng)力學(xué)理論［5］是相符的。

另外，有一種常見的生活用具——扁擔(dān)，常用竹子或木頭制成，也可視為兩端自由的兩跨Euler梁，但是由于扁擔(dān)的特殊形狀，它不屬于均勻梁，因此不能像上文一樣得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程的解析解。順便指出，將扁擔(dān)視為懸臂梁是不合理的。

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于生活中常見的蹺蹺板，本文建立Euler 梁模型，將研究對(duì)象從振動(dòng)力學(xué)中常見的單跨梁拓展到多跨梁，其計(jì)算結(jié)果不同于通常的單跨梁結(jié)構(gòu)。

通過(guò)本文的研究，學(xué)生可以消除思維定式，從彈性體的層面來(lái)重新認(rèn)識(shí)蹺蹺板這一力學(xué)模型。從力學(xué)思想上來(lái)說(shuō)，彈性體比剛體更加接近物理本源。本文的探討對(duì)于學(xué)生力學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是大有裨益的。［8］