不等式證明的若干方法

陳瑞

摘? 要：無(wú)論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，不等式都是十分重要的內(nèi)容，而不等式的證明則是不等式知識(shí)的重要組成部分。在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法。在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數(shù)法、幾何法等等。在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫爾德不等式等等，從而使不等式的證明方法更加的完善，有利于我們進(jìn)一步的探討和研究不等式的證明。通過(guò)學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：不等式;比較法;數(shù)學(xué)歸納法;函數(shù)

1緒論

1.1前言

不等式作為一個(gè)重要的分析工具和分析手段，在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的作用和地位，不等式的證明可分為推理性問(wèn)題和探索性問(wèn)題，推理性問(wèn)題是指在特定條件下，闡釋證明過(guò)程，解釋內(nèi)在規(guī)律。

相對(duì)于等式的可確定性，不等式更像是確定一個(gè)界限，制定一個(gè)條件來(lái)規(guī)范，和劃定一個(gè)范圍，所以不等式的證明是非常有趣和富有挑戰(zhàn)。不等式的證明沒(méi)有固定的程序，證法因題而易，靈活多變，技巧性強(qiáng)。其最基本的方法是應(yīng)用定義及基本性質(zhì)，并通過(guò)代數(shù)變換予于證明。要追尋一個(gè)大家所熟知的不等式的起源是很困難的，很可能它是在一篇關(guān)于幾何或文學(xué)方面的論文中作為一個(gè)輔助命題首先出現(xiàn)，但在出現(xiàn)的時(shí)候卻又往往沒(méi)有明確的表達(dá)出來(lái);過(guò)了若干年后，它又可能為幾個(gè)不同的作者重新發(fā)現(xiàn);但也許沒(méi)有一個(gè)可以過(guò)得去的敘述是十分完善的。我們幾乎常常發(fā)現(xiàn)，即使對(duì)于那些最著名的不等式，也還是可以增添一點(diǎn)新的東西，像不等式這樣的一個(gè)內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面皆要用到。

1.2不等式的基本性質(zhì)

這個(gè)定義雖然簡(jiǎn)單，實(shí)際它反映不等式的性質(zhì)。許多不等式的證明，是從這個(gè)定義出發(fā)。首先，根據(jù)不等式的定義，容易證明下述不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，這些性質(zhì)是證明其他不等式的基本工具。

2證明不等式的方法

不等式的證明沒(méi)有固定的程序，證法因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)。其最基的手法是應(yīng)用定義及基本性質(zhì)，并通過(guò)代數(shù)變換予于論證。

2.1證明不等式的基本方法

2.1.1比較法

作差比較，要點(diǎn)是：作差——變形——判斷

這種比較法是普遍適用的，是無(wú)條件的。

2.1.2做商比較法

做商比較法的要點(diǎn)是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個(gè)條件就是“除式”的符號(hào)一定。

2.1.3分析法

從求證的不等式出發(fā)，分析不等式成立的條件把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個(gè)不等式成立的條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都以具備那么就可以判定這個(gè)不等式成立，這種證明方法叫作分析法。

即原不等式成立。

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