龐福振 李海超 彭德煒 霍瑞東 繆旭弘

摘要：針對雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析方法有待完善等問題，基于半解析法開展了雙曲率組合殼結(jié)構(gòu)自由振動特性研究。基于Flugge薄殼理論，首先將拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)在交界面處進(jìn)行分解，獲得拋物殼、圓柱殼和球殼子結(jié)構(gòu);再將拋物殼、圓柱殼和球殼子結(jié)構(gòu)沿周向進(jìn)一步分解為若干殼段，用沿徑向的Jacobi多項式和周向的Fourier級數(shù)來表示各個殼段的位移函數(shù)，并用不同的彈簧剛度對組合結(jié)構(gòu)的邊界條件和殼體內(nèi)的連續(xù)性條件進(jìn)行模擬;最后，基于Rayleigh-Ritz法獲得雙曲率組合結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)，探索復(fù)雜邊界條件下雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動特性。在此基礎(chǔ)上，將雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動頻率與已有文獻(xiàn)及有限元法計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗證了方法的收斂性和有效性，研究成果可為復(fù)雜邊界條件雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析提供方法依據(jù)和數(shù)據(jù)積累。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動;自由振動;半解析法;雙曲率組合結(jié)構(gòu);復(fù)雜邊界條件

中圖分類號：O327;TB123文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）03-0441-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.001

引言

拋物線殼、圓柱殼及球殼組合結(jié)構(gòu)在機械工程、船舶工程、航空航天及土木工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。開展復(fù)雜邊界條件下拋物殼-圓柱殼-球殼（PCS）組合結(jié)構(gòu)自由振動特性研究，明確其自由振動特性規(guī)律，對豐富雙曲率組合結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論及指導(dǎo)工程應(yīng)用具有重要的意義。在此研究方面，Shang基于Love殼體理論分析了球殼一圓柱殼組合結(jié)構(gòu)的自由振動。Saunders等采用Raylcigh-Ritz法得到了圓柱殼-圓錐殼組合結(jié)構(gòu)的固有頻率。Tavakoil等運用Pade近似矩陣求冪的方法研究軸對稱殼結(jié)構(gòu)的自由振動。Gallctly和Mistry以一端固定，另一端由旋轉(zhuǎn)殼體（圓錐殼、半球殼等）封閉的圓柱殼組合結(jié)構(gòu)為研究對象，采用有限差分法和有限元法分析了其自由振動。Lcc等運用Rayleigh-Ritz方法研究了球殼-圓柱殼結(jié)構(gòu)在不同邊界條件下的自由振動。Ma等通過運用Fourier-Ritz方法研究了圓柱殼結(jié)構(gòu)及一般邊界條件的圓錐-圓柱殼的組合殼結(jié)構(gòu)的振動特性。瞿葉高等運用區(qū)域分解法研究了圓錐殼、圓柱殼及球殼組合結(jié)構(gòu)及環(huán)肋圓柱殼-圓錐殼組合殼結(jié)構(gòu)的振動特性。

由上述分析可知，一方面現(xiàn)有文獻(xiàn)大多聚焦于單個或一些簡單的組合殼結(jié)構(gòu)，鮮有學(xué)者開展雙曲率組合結(jié)構(gòu)振動特性研究;另一方面，已有文獻(xiàn)在位移函數(shù)選取方面大多考慮特殊形式的多項式，尚未形成統(tǒng)一、選擇范圍更廣的位移容許函數(shù)構(gòu)造形式。為此，本文在區(qū)域分解法研究的基礎(chǔ)上，對位移容許函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使組合殼結(jié)構(gòu)位移函數(shù)較其他半解析法更容易選取;在此基礎(chǔ)上，開展拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析，旨在為復(fù)雜邊界條件下拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析提供方法依據(jù)和數(shù)據(jù)積累。

1理論方法

1.1數(shù)學(xué)模型

拋物殼結(jié)構(gòu)是由拋物線繞中心軸旋轉(zhuǎn)而成，拋物殼幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。

如圖1所示，厚度為h的旋轉(zhuǎn)殼結(jié)構(gòu)由母線s₀s₁繞軸Oξ旋轉(zhuǎn)而成。L為旋轉(zhuǎn)殼總長，φ為徑向角度，θ為周向角度，R_φ為徑向曲率半徑，R₀為周向曲率半徑，R為水平半徑，且R_θsinφ。對于拋物殼，其幾何表征參數(shù)為

式中 k為拋物殼徑向特征參數(shù)

拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)剖面圖如圖2所示。

假設(shè)組合殼結(jié)構(gòu)由均質(zhì)和各向同性的材料組成，左右殼結(jié)構(gòu)由球坐標(biāo)系O_l，r-φ_l，r，θ_l，r，Z_l，r描述，其中φ為徑向坐標(biāo)，θ為圓周坐標(biāo)。R_r和R_l為左右殼邊界半徑，L_r和L_l為左右殼的軸線長度。中間圓柱殼用柱坐標(biāo)系（O_c-x，θ_c，Z_c）表示，其半徑為R_c，長度為L_c。每個殼結(jié)構(gòu)的位移分量分別用u_ξ，v_ξ和w_ξ（ξ=l，r，c）表示，其中下標(biāo)分別表示左側(cè)、右側(cè)及中間圓柱殼體。本文基于區(qū)域分解法，為精確獲得組合結(jié)構(gòu)高階振動響應(yīng)，將組合結(jié)構(gòu)沿周向在交界面處劃分為幾個典型子結(jié)構(gòu)，再在此基礎(chǔ)上，將子結(jié)構(gòu)沿徑向方向進(jìn)一步分解為N_l，N_c，N_r個殼段。

1.2 殼結(jié)構(gòu)的能量傳遞

基于Kirchhoff假設(shè)和Fluggc的薄殼理論，子結(jié)構(gòu)ξ第i殼段中性面處的應(yīng)變-位移關(guān)系為

1.3 雙曲率組合結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)性條件

本研究基于懲罰函數(shù)對雙曲率組合結(jié)構(gòu)的連續(xù)性條件和邊界條件進(jìn)行模擬。其中懲罰參數(shù)由各個方向上彈簧的剛度值定義，這樣雙曲率組合結(jié)構(gòu)的復(fù)雜邊界條件和連續(xù)性條件可以通過對懲罰函數(shù)設(shè)定適當(dāng)?shù)膹椈蓜偠戎祦韺崿F(xiàn)，這也一定程度上方便了復(fù)雜邊界條件的模擬，是本文的主要優(yōu)勢之一。

基于懲罰參數(shù)，存儲在邊界彈簧中的勢能可表示為

1.4 位移函數(shù)和矩陣方程

選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)對求解的精度有較大影響，本文在區(qū)域分解法的基礎(chǔ)上，將切比雪大多項式擴展為統(tǒng)一的、選擇范圍更廣的Jacobi多項式。這也是本文較改進(jìn)傅里葉法、區(qū)域分解法等半解析法最突出的優(yōu)勢。雙曲率組合殼結(jié)構(gòu)軸向與徑向位移函數(shù)分別用Jacobi多項式和Fouricr級數(shù)來表示，而Jacobi多項式定義在區(qū)間∈[-1，1]內(nèi)，第i階Jacobi多項式P_i^{（α，β）}（φ）可表示為

式中

K，M和E分別為組合殼結(jié)構(gòu)的剛度陣、質(zhì)量陣和未知系數(shù)矩陣。通過求解方程（23）可求得組合殼結(jié)構(gòu)的特征頻率和特征向量。

2 數(shù)值分析

2.1 收斂性分析

2.1.1 彈簧剛度值的影響

由圖3可知，彈簧剛度取值K_t≥10²E時，組合殼結(jié)構(gòu)收斂，可視為剛性邊界條件;彈簧剛度為零時，可視為自由邊界條件;彈簧剛度10^-4≤k_t≤10^-1E可視為彈性邊界條件。滿足復(fù)雜邊界的彈簧剛度值可定義為如表1所示形式。

2.1.2 殼段數(shù)的影響

為方便與文獻(xiàn)對比，本文計算模型采用與其相同的幾何和材料屬性參數(shù)。Jacobi參數(shù)取為α=β=-0.5.自由邊界條件下，球殼-圓柱殼-球殼結(jié)構(gòu)無量綱頻率與殼段數(shù)關(guān)系如表2所示。

由文獻(xiàn)可知，分段數(shù)的選取主要與結(jié)構(gòu)主尺度、曲率變化及計算頻率等有關(guān)。且結(jié)構(gòu)主尺度越大、曲率變化越大、計算頻率越高，求解精度對結(jié)構(gòu)分段數(shù)要求越高。由表2可知，對球-柱-球組合結(jié)構(gòu)，當(dāng)結(jié)構(gòu)分段數(shù)不小于4時，本文計算結(jié)果已收斂且與文獻(xiàn)結(jié)果一致性較高。故在下文計算中，統(tǒng)一選取雙曲率組合結(jié)構(gòu)各個子結(jié)構(gòu)的分段數(shù)為4.

2.1.3 Jacobi多項式參數(shù)的影響

與2.1.1結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)相同情況下，取分段數(shù)N_l=N_r=N_c=4，以α=β=-0.5為基準(zhǔn)來衡量其他Jacobi多項式參數(shù)的相對誤差。

由圖4可知，其他參數(shù)一定條件下，改變Jacobi多項式參數(shù)α和β對雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動頻率影響較小，不同Jacobi參數(shù)下的最大相對誤差不超過2×10^-5。也就是說，不僅是特殊的勒讓德多項式或切比雪大多項式可用于位移函數(shù)的構(gòu)造，所有Jacobi參數(shù)下的多項式均可用來構(gòu)造位移函數(shù)。該發(fā)現(xiàn)不僅形成了位移函數(shù)的統(tǒng)一形式，還在一定程度上擴展了位移容許函數(shù)的選取，這也是本文較其他半解析法最突出的優(yōu)勢。

2.2 有效性驗證

為驗證本文方法的有效性，將典型邊界條件（F-F，F(xiàn)-C，C-C）下拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行比對。組合結(jié)構(gòu)有限元（ABAQUS）分析網(wǎng)格類型為S4R，網(wǎng)格數(shù)量邊長尺度為0.07m，對比結(jié)果如表3所示。

由表3可知，對周向模態(tài)n（n=1，2，3），前4階軸向模態(tài)計算結(jié)果與有限元法吻合較好，表明本文方法可用于一般邊界條件下雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。

2.3 復(fù)雜邊界條件下組合殼結(jié)構(gòu)振動特性分析

基于上述研究，開展復(fù)雜邊界條件下拋物殼-柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析，不同邊界條件下的計算結(jié)果如表4和5所示。

由表4和表5可知，當(dāng)組合殼結(jié)構(gòu)分段數(shù)目一定時，邊界條件對低周向波數(shù)的頻率參數(shù)有顯著影響，但隨著周向波數(shù)的增加，邊界條件的改變對組合殼結(jié)構(gòu)振動特性的影響逐漸減小;同一周向模態(tài)下，組合殼結(jié)構(gòu)頻率參數(shù)隨軸向波數(shù)的增加而增加。

3結(jié)論

本文基于Fluggc薄殼理論，提出一種半解析法，開展了復(fù)雜邊界條件下雙曲率組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析。通過本文研究，可得如下主要結(jié)論：

1）拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)的收斂性與彈簧剛度值、子結(jié)構(gòu)殼段數(shù)以及Jacobi多項式參數(shù)等有關(guān)。當(dāng)彈簧剛度值尾k_t≥10²E時，組合殼結(jié)構(gòu)收斂，可視為剛性邊界條件;當(dāng)彈簧剛度值k_t=0時，可視為自由邊界條件;當(dāng)彈簧剛度值10^-4E≤k_t≤10^-1E可視為彈性邊界條件。子結(jié)構(gòu)殼段數(shù)劃分越多，組合殼結(jié)構(gòu)收斂性越好，計及求解效率等因素，子結(jié)構(gòu)殼段數(shù)劃分不宜過大。Jacobi多項式參數(shù)對組合殼結(jié)構(gòu)求解結(jié)果影響較小，可忽略不計。

2）經(jīng)典邊界條件下，基于Jacobi-Ritz法的拋物殼-柱殼-球殼結(jié)構(gòu)振動特性分析結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)及有限元法結(jié)果吻合較好，驗證了本文方法的有效性。

3）本文基于Jacobi-Ritz法為復(fù)雜邊界條件下拋物殼-圓柱殼-球殼組合結(jié)構(gòu)自由振動特性分析提供了數(shù)據(jù)積累及方法依據(jù)。