康杰 段忠東

摘要：壓縮感知是近年來(lái)出現(xiàn)的采樣和信號(hào)處理方法，它利用了信號(hào)中普遍存在的稀疏特性，從而可以以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率的采樣速率采集壓縮樣本，并依概率恢復(fù)得到真實(shí)信號(hào)。結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)具有一定的稀疏性。對(duì)其進(jìn)行壓縮采樣并進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，離散傅里葉原子的頻率往往與信號(hào)實(shí)際頻率不匹配，造成頻率泄漏，降低信號(hào)重構(gòu)精度。針對(duì)離散原子庫(kù)存在的缺陷，采用Polar插值對(duì)正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法進(jìn)行了改進(jìn)。以O(shè)MP算法選擇的最優(yōu)原子為基礎(chǔ)，利用Polar插值在最優(yōu)原子臨近構(gòu)建頻域連續(xù)原子庫(kù)，構(gòu)建了信號(hào)重構(gòu)的優(yōu)化模型，通過(guò)凸優(yōu)化算法獲得實(shí)際頻率的最優(yōu)估計(jì)。改進(jìn)算法以較小的計(jì)算量實(shí)現(xiàn)對(duì)OMP算法得到的離散原子頻率的修正。通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的數(shù)值模擬和對(duì)模型試驗(yàn)壓縮信號(hào)的重構(gòu)，結(jié)果表明，與常規(guī)算法相比，改進(jìn)算法可有效提高信號(hào)重構(gòu)精度，特別是在壓縮觀測(cè)值數(shù)量較少的情況下，精度提升效果更加明顯。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動(dòng);壓縮感知;OMP算法;Polar插值;連續(xù)原子庫(kù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O327;TN911.7文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）03-0450-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.002

引言

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是近年來(lái)出現(xiàn)的一種新的信號(hào)采集和處理理論。CS理論指出，對(duì)于在信號(hào)本身或者在某種變換下具有稀疏性的信號(hào)，僅需采集少量壓縮觀測(cè)值（相比奈奎斯特采樣樣本）即可高精度地重構(gòu)出原始信號(hào)。與奈奎斯特采樣定理相比，CS理論充分利用了信號(hào)稀疏性，能夠極大地減少信號(hào)的采集與傳輸。此外壓縮觀測(cè)值具有均等性，在數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中，丟失部分觀測(cè)值對(duì)信號(hào)重構(gòu)幾乎沒(méi)有影響?；谝陨蟽?yōu)勢(shì)，國(guó)內(nèi)外針對(duì)CS理論開(kāi)展了大量研究工作，其應(yīng)用領(lǐng)域涉及單像素相機(jī)成像，醫(yī)學(xué)核磁共振成像，雷達(dá)成像，數(shù)據(jù)通信，無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)等。

信號(hào)稀疏性是壓縮感知理論應(yīng)用的重要前提。對(duì)于頻域稀疏信號(hào)，一般通過(guò)離散傅里葉原子庫(kù)對(duì)其分解來(lái)獲取稀疏性。然而離散傅里葉原子庫(kù)包含的頻率信息十分有限，僅對(duì)應(yīng)頻域范圍內(nèi)一組離散點(diǎn)，無(wú)法與信號(hào)中任意分布的頻率成分精確匹配，這在一定程度上損害了信號(hào)的稀疏性。增加原子數(shù)量可使原子庫(kù)包含更多頻率信息，能夠有效提高信號(hào)稀疏分解質(zhì)量，但原子之間的強(qiáng)相關(guān)性對(duì)CS重構(gòu)算法挑選原子產(chǎn)生負(fù)面影響。一些改進(jìn)方法隨之產(chǎn)生，Dai等在原子選擇過(guò)程中通過(guò)回溯思想來(lái)優(yōu)化原子挑選質(zhì)量;Duarte等提出采用受限聯(lián)合子空間信號(hào)模型來(lái)提高選擇原子準(zhǔn)確性。雖然這些方法恢復(fù)信號(hào)精度有所增加，但依然受到離散原子庫(kù)頻率信息不足的影響。

一些研究人員開(kāi)始探討在頻域連續(xù)區(qū)間上尋找原子進(jìn)行壓縮感知信號(hào)重構(gòu)。Ekanadham等通過(guò)Polar插值圓弧近似構(gòu)建頻域連續(xù)原子庫(kù)，并在此基礎(chǔ)上與BP算法結(jié)合提出了CBP算法。Polar插值連續(xù)原子庫(kù)可以有效覆蓋信號(hào)包含的頻率成分，因此CBP算法重構(gòu)信號(hào)精度較高。Tang等基于原子范數(shù)概念提出了SDP算法，將稀疏信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解半正定方程，徹底擺脫了離散原子庫(kù)的束縛，從而獲取了較高的信號(hào)恢復(fù)精度。值得注意的是，無(wú)論CBP算法還是SDP算法，在信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中都會(huì)產(chǎn)生巨大計(jì)算量，在處理大規(guī)模信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題時(shí)存在較大困難。

本文出發(fā)點(diǎn)在于探討如何以較小的計(jì)算量獲取高質(zhì)量的重構(gòu)信號(hào)。OMP算法在重構(gòu)信號(hào)過(guò)程中具有復(fù)雜度低、效率高等特點(diǎn)，但算法精度受到離散原子庫(kù)的限制。而Polar插值能夠在頻率參數(shù)點(diǎn)附近構(gòu)建連續(xù)原子庫(kù)，具有較好的靈活性與可操作性。因此采用Polar插值對(duì)OMP算法進(jìn)行改進(jìn)，增加較小的計(jì)算量來(lái)提高信號(hào)重構(gòu)精度。在基于離散原子庫(kù)重構(gòu)信號(hào)過(guò)程中，OMP算法所挑選出的原子頻率參數(shù)與信號(hào)頻率成分存在一定誤差，采用Polar插值在已挑選原子頻率參數(shù)附近構(gòu)建連續(xù)原子庫(kù)，通過(guò)凸優(yōu)化算法對(duì)挑選的原子頻率參數(shù)進(jìn)行校正，提高信號(hào)重構(gòu)精度。本文利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的頻域稀疏性，通過(guò)數(shù)值模擬和模型試驗(yàn)獲得壓縮觀測(cè)值，采用本文提出的改進(jìn)算法進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，結(jié)果表明，對(duì)于理想頻域稀疏信號(hào)，改進(jìn)算法可有效提高信號(hào)重構(gòu)精度，特別是在壓縮觀測(cè)值數(shù)量較少的情況下，精度提升效果更加明顯。而對(duì)于近似稀疏信號(hào)，改進(jìn)算法也能在一定程度上提升信號(hào)重構(gòu)精度。

1 基于Polar插值改進(jìn)的OMP算法

壓縮感知理論中，壓縮矩陣φ為扁平矩陣，即其行數(shù)遠(yuǎn)小于列數(shù)。按式（2）得到的壓縮信號(hào)y的觀測(cè)值數(shù)要遠(yuǎn)小于信號(hào)x的維數(shù)，即對(duì)信號(hào)x進(jìn)行了壓縮。這個(gè)壓縮過(guò)程在物理實(shí)現(xiàn)上一般是在模擬信號(hào)階段實(shí)現(xiàn)的。在對(duì)x進(jìn)行壓縮采樣后，目標(biāo)就是如何通過(guò)壓縮觀測(cè)值y重構(gòu)原信號(hào)x。下面通過(guò)構(gòu)建基于Polar插值的連續(xù)字典庫(kù)，結(jié)合OMP算法來(lái)提高信號(hào)重構(gòu)的精度。

式（1）中信號(hào)模型易采用函數(shù)sin（2πf_dt）與COS（27πf_dt）生成加密原子庫(kù)D_s與D_c：

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)采用Polar改進(jìn)的OMP算法（這里稱(chēng)之為IOMP算法）進(jìn)行測(cè)試。一個(gè)3自由度阻尼系統(tǒng)用于生成結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)，如圖2所示。

系統(tǒng)質(zhì)量塊之間以及質(zhì)量塊與邊界之間采用彈簧阻尼單元連接。系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣如下所示：

激勵(lì)荷載由6條正弦信號(hào)疊加而成，其頻率分別為f₁=0.1699Hz，f₂=0.7144Hz，fa=1.0498Hz，f₄=0.73Hz，f₅=2.6579Hz與f₆=2.7199Hz。其中f₁，f₂和f₃對(duì)應(yīng)于體系的前3階自然頻率。激勵(lì)荷載施加于m₁，從m₂采集振動(dòng)信號(hào)。采樣頻率設(shè)置為10Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1000.

2.1 原子數(shù)量及噪聲水平對(duì)IOMP算法重構(gòu)信號(hào)精度的影響

表1對(duì)比了不同原子數(shù)量與噪聲水平下IOMP算法重構(gòu)信號(hào)精度，各工況觀測(cè)矩陣φ均采用隨機(jī)伯努利矩陣，即該矩陣的元素隨機(jī)取1或者-1，信號(hào)混入的噪聲為高斯白噪聲，Polar插值連續(xù)區(qū)間參數(shù)△選為0.1Hz。本文采用相對(duì)誤差ξ來(lái)衡量重構(gòu)信號(hào)精度。相對(duì)誤差是對(duì)重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量進(jìn)行整體描述，相對(duì)誤差越小，則重構(gòu)信號(hào)精度越高。相對(duì)誤差計(jì)算公式如下

由表1可知，原子數(shù)量和噪聲水平對(duì)IOMP算法重構(gòu)信號(hào)的精度有重要影響。當(dāng)噪聲水平較高或原子數(shù)量較少時(shí)，IOMP算法重構(gòu)信號(hào)誤差較大。這是由于OMP算法初選原子的頻率參數(shù)精度過(guò)低，致使Polar插值連續(xù)原子庫(kù)無(wú)法覆蓋到信號(hào)的真實(shí)頻率。增加觀測(cè)值和原子數(shù)量可以提高信號(hào)恢復(fù)的精度，如噪聲水平為20%，IOMP算法在原子數(shù)量為5000，壓縮值數(shù)量為10%條件下重構(gòu)信號(hào)精度要明顯高于原子數(shù)量1000，壓縮觀測(cè)值5%條件下重構(gòu)信號(hào)精度。

2.2 Polar插值連續(xù)△對(duì)IOMP算法重構(gòu)信號(hào)精度的影響

圖3對(duì)比了△不同取值下IOMP算法重構(gòu)信號(hào)的精度，信號(hào)噪聲水平為10%，壓縮矩陣φ采用隨機(jī)伯努利矩陣，觀測(cè)信號(hào)壓縮比為5%。圖4對(duì)比了原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)的時(shí)程。

圖3（a）顯示當(dāng)原子數(shù)量為1000，IOMP算法重構(gòu)信號(hào)誤差在△=0.4Hz時(shí)最小。這是由于原子數(shù)量過(guò)少導(dǎo)致OMP算法初選原子頻率參數(shù)存在較大誤差，需要Polar插值連續(xù)原子庫(kù)在大范圍內(nèi)對(duì)原子頻率參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，因此當(dāng)厶增加至0.4Hz時(shí)IOMP算法重構(gòu)信號(hào)誤差最小。當(dāng)原子數(shù)量為2000-4000，OMP算法初選原子頻率參數(shù)精度較高，只需Polar插值連續(xù)原子庫(kù)在較小的范圍內(nèi)對(duì)頻率參數(shù)進(jìn)行調(diào)整即可，此時(shí)IOMP算法在△=0.1Hz時(shí)達(dá)到了較高的重構(gòu)精度。此外，當(dāng)△=0.7Hz時(shí)IOMP算法重構(gòu)誤差均較大。這是由于原子d_e（f）=e_i2πft頻率參數(shù)f在△上變化時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為多維球面上一段曲線，厶越大則曲線段越長(zhǎng)，此時(shí)以Po-lar插值圓弧近似相應(yīng)曲線段存在較大誤差，從而降低了算法重構(gòu)信號(hào)精度?；谝陨戏治?，IOMP算法重構(gòu)信號(hào)需要合理選取原子數(shù)量與參數(shù)△值，一般情況下原子數(shù)量不少于4倍信號(hào)長(zhǎng)度，△值不易大于10倍采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)的比值。圖4中信號(hào)時(shí)程顯示，恢復(fù)的信號(hào)與原信號(hào)吻合很好。

3 模型試驗(yàn)

此節(jié)采用模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)IOMP算法進(jìn)行測(cè)試。如圖5所示，模型層高為0.48m，總高度為1.56m，每層板重量為20.272kg，模型總重量為67.44kg，模型底部與臺(tái)面固接。在模型第3層沿x軸向施加錘擊荷載，加速度傳感器在模型第2層板采集x軸向結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)。圖5中，①為荷載施加位置，②為傳感器位置。振動(dòng)信號(hào)時(shí)程共采集1000個(gè)加速度樣點(diǎn)，采樣頻率設(shè)置為50Hz。

3.1IOMP算法與其他主要壓縮感知算法重構(gòu)信號(hào)精度比較

目前壓縮感知理論已發(fā)展了大量壓縮信號(hào)重構(gòu)算法，然而在重構(gòu)頻域稀疏信號(hào)時(shí)，多數(shù)重構(gòu)算法易受離散傅里葉原子影響產(chǎn)生重構(gòu)誤差。表2對(duì)比了IOMP算法與其他主要壓縮感知算法重構(gòu)信號(hào)精度，表中計(jì)各工況壓縮矩陣φ同樣為隨機(jī)伯努利矩

貪婪迭代算法與凸優(yōu)化算法是兩大類(lèi)壓縮感知重構(gòu)算法。貪婪算法復(fù)雜度低、計(jì)算效率高，而凸優(yōu)化算法需要求解優(yōu)化方程，因此算法復(fù)雜度、高計(jì)算效率低。圖8對(duì)比了各算法計(jì)算平均時(shí)間，OMP算法與CoSaMP算法屬于貪婪算法，計(jì)算耗時(shí)較少。BP算法屬于凸優(yōu)化算法，計(jì)算耗時(shí)較多。IOMP算法在OMP算法基礎(chǔ)上需要求解一個(gè)規(guī)模較小的凸優(yōu)化方程，因此計(jì)算時(shí)間介于CoSaMP算法與BP算法之間。

陣，Polar插值參數(shù)△取值為0.2Hz。

對(duì)于圖6中的頻域稀疏信號(hào)，IOMP算法重構(gòu)信號(hào)精度優(yōu)于其他主要壓縮感知重構(gòu)算法。當(dāng)原子數(shù)量為5000，IOMP算法重構(gòu)信號(hào)誤差為0.1718，OMP算法與BP算法重構(gòu)信號(hào)誤差均較大，分別為0.2916與0.2868.而基于OMP算法改進(jìn)的Co-SaMP算法重構(gòu)信號(hào)精度與IOMP算法接近，其為0.2019.

信號(hào)重構(gòu)誤差大小影響其傅里葉譜的精度，原始信號(hào)和恢復(fù)信號(hào)的傅里葉譜如圖7所示。IOMP算法與CoSaMP算法重構(gòu)信號(hào)頻譜較為光滑且與原始信號(hào)譜吻合較好，頻譜出現(xiàn)的3個(gè)峰值與原始信號(hào)譜準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)。相比之下，OMP算法與BP算法重構(gòu)信號(hào)頻譜在原始信號(hào)第二個(gè)峰值處出現(xiàn)較大偏差，此外BP算法重構(gòu)信號(hào)頻譜還存在較多毛刺。

3.2 基于重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別

以圖7中的重構(gòu)信號(hào)作為輸入，采用EAR（Eigensystem Realization Algrithm）算法來(lái)識(shí)別模態(tài)參數(shù)。模型階次確定如圖9所示，IOMP算法與CoSaMP算法重構(gòu)信號(hào)隨著模型階次增加奇異值出現(xiàn)明顯跳躍，因此模型階次確定為7.而OMP算法與BP算法重構(gòu)信號(hào)此現(xiàn)象并不明顯，模型階次選為10.

采用重構(gòu)后的信號(hào)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，結(jié)果如表3所示。IOMP算法與CoSaMP重構(gòu)信號(hào)誤差較小，ERA提取的模態(tài)頻率精度較高;OMP算法與BP算法信號(hào)重構(gòu)誤差較大，導(dǎo)致EAR提取模態(tài)參數(shù)不僅精度低且存在虛假模態(tài)。然而，阻尼參數(shù)對(duì)恢復(fù)信號(hào)的誤差更敏感。如表3所示，用恢復(fù)后的信號(hào)對(duì)阻尼比識(shí)別結(jié)果不理想，特別是基于CoSaMP算法重構(gòu)信號(hào)獲取的第3階模態(tài)阻尼比高達(dá)7.33%。

4 結(jié)論

本文采用Polar插值連續(xù)原子庫(kù)對(duì)OMP算法進(jìn)行改進(jìn)，達(dá)到了以增加適當(dāng)計(jì)算量較大程度地提高重構(gòu)信號(hào)精度的效果。本文針對(duì)振動(dòng)壓縮采樣信號(hào)，建立了基于Polar插值的OMP信號(hào)重構(gòu)的凸優(yōu)化模型，并采用凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解。通過(guò)數(shù)值模擬和模型試驗(yàn)對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，相比常規(guī)壓縮感知算法，IOMP算法能夠以較少的觀測(cè)值高精度地重構(gòu)頻域稀疏信號(hào);利用重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，避免了虛假模態(tài)的出現(xiàn)，提高了模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的精度。