第一換元法求不定積分的技巧

武文娟

(廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣州510850)

求不定積分的方法很多，主要有直接積分法、第一換元法、第二換元法、分部積分法。第一換元法(又稱湊微分法)是求不定積分最常用的方法，靈活性大、技巧性強(qiáng)，是最難掌握的一種方法。雖然看似形式多樣，但并不是毫無技巧可言。本研究將依據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)提出第一換元法求不定積分的解題技巧。

1 第一換元法的定義

設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=φ(x)可導(dǎo)，則有以下第一換元公式：

=F(u)+C=F(φ(x))+C

2 第一換元法的應(yīng)用

3 第一換元法求不定積分的難點(diǎn)

4 第一換元法求不定積分的技巧

第一換元法求不定積分的關(guān)鍵是找到合適的中間變量u=φ(x)。以下將給出第一換元法求不定積分的技巧，共分三步：第一，把被積函數(shù)看成幾個(gè)因式的乘積，找出其中最復(fù)雜的因式。第二，與基本積分表對照，找出與復(fù)雜因式最相似的公式。第三，根據(jù)最相似的基本積分公式找出中間變量。運(yùn)用以上三步技巧可以快速有效地幫助學(xué)生找到中間變量u=φ(x)，可以靈活應(yīng)用第一換元法求解定積分。

5 典型例題

以下將通過典型例題具體闡釋第一換元法求不定積分的技巧。這個(gè)技巧對于求不定積分是行之有效的，能幫助學(xué)生從容運(yùn)用第一換元法求定積分。

例：計(jì)算下列不定積分

解：令u=cosx，則du=-sinxdx，于是

=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C

解：令u=2-3x，則du=-3dx，于是

解：令u=xlnx，則du=(1+lnx)dx，于是

=ln|u|+C=ln|lnlnx|+C