六自由度壓電隔振平臺面向控制的模態(tài)分析與動力學建模

于帥彪，張臻，*，周克敏

（1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100083；2.山東科技大學 電氣與自動化工程學院，青島266590）

基于振動主動控制技術的六自由度壓電隔振平臺能夠彌補被動隔振的固有缺陷，有效改進平臺的低頻隔振性能，提高隔振帶寬。采用壓電陶瓷、超磁致伸縮材料等智能材料的智能隔振平臺提高了系統(tǒng)的控制精度和響應速度，在半導體制造、航空航天精密觀測、瞄準等微振動控制領域得到廣泛的應用［1-5］。

振動主動控制首先需要建立平臺的動力學模型［6-7］。然而多自由度隔振平臺各個控制通道間往往存在強耦合，同時壓電陶瓷等智能材料固有的遲滯非線性特性會降低系統(tǒng)的控制精度甚至造成系統(tǒng)振蕩，這都給平臺系統(tǒng)的動力學建模與控制帶來很大的挑戰(zhàn)。獨立模態(tài)空間法或模態(tài)分解法是基于模態(tài)分析技術［8］，利用模態(tài)坐標變換將系統(tǒng)解耦成一組獨立的二階系統(tǒng)（模態(tài)方程），根據(jù)每一階模態(tài)獨立進行控制器設計，獲得模態(tài)坐標下的模態(tài)控制信號，再經(jīng)過模態(tài)坐標反變換獲得實際作動器的控制信號［9-10］。模態(tài)控制方案降低了多自由度耦合系統(tǒng)動力學建模與反饋控制系統(tǒng)設計的難度，在六自由度壓電隔振平臺控制中得到了應用［11-13］。已有的基于模態(tài)分析的多自由度平臺動力學建模與控制工作中都未考慮壓電等智能材料遲滯非線性特性對系統(tǒng)的影響。此外經(jīng)典的模態(tài)分析技術通過實驗測量或有限元方法獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，但對模態(tài)控制信號物理實現(xiàn)過程中的轉(zhuǎn)換關系研究很少。

本文針對一類模塊化六自由度壓電隔振平臺，考慮壓電材料遲滯非線性，基于模態(tài)分析方法建立面向控制的非線性動力學模型。模型采用Hammerstein結(jié)構(gòu)描述平臺非線性動力學特性，利用MPI（Modified Prandtl-Ishlinskii）遲滯模型描述非線性子系統(tǒng)［14］，利用模態(tài)分析技術將線性子系統(tǒng)變換為一系列獨立的模態(tài)方程，采用實驗測量方法辨識得到模態(tài)參數(shù)。同時還研究了模態(tài)控制信號到真實控制信號之間的轉(zhuǎn)換矩陣，保證了模態(tài)控制的物理實現(xiàn)。

1 模塊化六自由度壓電隔振平臺

六自由度壓電隔振平臺如圖1所示。平臺采用模塊化的結(jié)構(gòu)形式，其平面圖如圖2所示，每個隔振模塊提供2個自由度方向的主動隔振能力，4個隔振模塊與上下臺面組合構(gòu)成具有六自由度隔振能力的平臺系統(tǒng)，G-XY為平面坐標系。

圖1 六自由度壓電隔振平臺Fig.1 Six-degree-of-freedom piezoelectric vibration isolation platform

圖2 六自由度壓電隔振平臺平面圖Fig.2 Planar graph of six-degree-of-freedom piezoelectric vibration vibration isolation platform

1.1 兩自由度隔振模塊

兩自由度隔振模塊如圖3所示，模塊長150mm，寬160mm，高100mm。兩自由度隔振模塊采用主動隔振元件與被動支撐元件并聯(lián)結(jié)構(gòu)形式，在垂直和水平方向各布置一個壓電作動器作為主動控制元件，垂直方向布置4個被動支撐組件作為主要的承重元件。考慮到微振動控制的高精度要求，主、被動元件與L型頂板之間采用專門設計的柔性鉸鏈連接。

主動控制元件采用哈爾濱芯明天科技有限公司的VS系列壓電作動器，標稱推力為3 500 N，最大輸出位移為40μm。壓電作動器與頂板連接采用空間曲線切口式柔性鉸鏈，如圖4所示，其中xmax和xmin分別代表x方向的最大和最小的位移。通過對切口形狀參數(shù)、曲線截斷參數(shù)以及切口間距的優(yōu)化設計，使柔性鉸鏈具有高軸向剛度和低彎曲剛度。

被動支撐元件與頂板之間的柔性連接結(jié)構(gòu)采用一體化設計的金屬／橡膠復合結(jié)構(gòu)形式，如圖5所示。

圖3 模塊化隔振單元Fig.3 Modular vibration isolation unit

圖4 作動器柔性鉸鏈Fig.4 Actuator flexible hinge

圖5 被動支撐元件結(jié)構(gòu)與實物圖Fig.5 Passive support assembly structure and photo

1.2 六自由度壓電隔振平臺

六自由度壓電隔振平臺由4個兩自由度的主動隔振模塊和上下臺面組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。隔振平臺上臺面為正方形硬鋁合金，邊長為500mm，厚度為20 mm。平臺的8個作動器以及分別布置在水平以及垂直方向的8個直線加速度傳感器如圖2所示。

2 六自由度壓電隔振平臺模態(tài)分析與動力學建模

2.1 六自由度壓電隔振平臺模態(tài)分析原理

在本文中，上平臺是系統(tǒng)控制和動力學建模的對象?？紤]到上平臺變形的影響，在m個主動驅(qū)動元件驅(qū)動下，由上平臺l個測量節(jié)點表達的上平臺運動方程可以寫為

式中：x為l×1維的上平臺相對運動向量；u為m×1維的主動控制量；M 為l×l維的質(zhì)量矩陣；C為l×l維的阻尼矩陣；K為l×l維的剛度矩陣；z為6×1維的直接作用在上平臺上包含了不同擾動源的等效干擾向量；N為l×6維的擾動分布矩陣；H為l×m維的剛度矩陣；F為m×m維的作動器位移矩陣；Γ［u］＝［Γ1［u1］ Γ2［u2］ …Γm［um］］T為m×1維的靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)，Γn［·］（n＝1，2，…，m）為對應于第n個作動器的靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)模型。

對于一個實際的物理結(jié)構(gòu)，質(zhì)量矩陣M 是一個對稱正定矩陣，剛度矩陣K至少是一個半正定矩陣，假設阻尼矩陣C同時滿足振型正交性，由此可以引入模態(tài)變換實現(xiàn)對角化，即

式中：Φ 為l×l維的模態(tài)矩陣；ε為l×1維的模態(tài)運動向量。將式（2）代入式（1），則可以得到模態(tài)坐標下l個解耦的動力學方程為

模態(tài)坐標下動力學方程（3）中需要辨識的參數(shù)包括M*、C*和K*。由式（2）可得到真實加速度信號與模態(tài)加速度信號之間轉(zhuǎn)換關系為

由式（4）可得到真實控制信號與模態(tài)坐標下控制信號的關系：

壓電作動器的動態(tài)遲滯非線性模型可以由Hammerstein模型描述，表達為一個靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)和一個線性動態(tài)子系統(tǒng)的串聯(lián)形式［14-15］，其中壓電作動器機械結(jié)構(gòu)的動力學被認為是其動態(tài)特征的主要來源。式（1）也被看成是輸入端為遲滯非線性的多入多出的Hammerstein非線性動力學系統(tǒng)，如圖6所示，其中Γ［·］為靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)，y（t）＝Γ［u］為靜態(tài)遲滯系統(tǒng)量。線性動態(tài)子系統(tǒng)H為多自由度耦合系統(tǒng)，是平臺機械結(jié)構(gòu)的動力學響應，包含了壓電作動器機械結(jié)構(gòu)動力學響應對系統(tǒng)的影響。通過式（2）的模態(tài)坐標可將系統(tǒng)變換成如圖7所示的模型，其優(yōu)點是：模態(tài)方程是一組獨立的二階系統(tǒng)，因而可以據(jù)此設計獨立的模態(tài)控制器，降低了控制器設計難度?？刂屏吭俳?jīng)過模態(tài)反變換得到實際控制量。圖8給出了基于模態(tài)變換后等效模型的控制流程。需要注意的是，式（6）中的遲滯逆補償器Γ-1［·］被串聯(lián)在被控對象之前，消除壓電作動器遲滯特性對系統(tǒng)的影響。

圖6 隔振平臺Hammerstein模型Fig.6 Hammerstein model of vibration isolation platform

圖7 模態(tài)變換后的等效模型Fig.7 Equivalent model after modal transformation

圖8 模態(tài)控制流程Fig.8 Modal control process

在圖7的等效模型中，需要辨識的參數(shù)包括模態(tài)振型Φ、質(zhì)量M*、阻尼C*、剛度K*，轉(zhuǎn)換矩陣R、S以及作動器靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)模型Γ［·］及其逆模型Γ-1［·］。圖中：y（t）＝Γ［u］為靜態(tài)遲滯系統(tǒng)量；ξ（t）為模態(tài)控制信號，為輸入，為經(jīng)過模態(tài)方程變換之后的模態(tài)運動向量。

2.2 模態(tài)參數(shù)

本節(jié)采用Coinv DASP模態(tài)測試與動力學分析系統(tǒng)辨識系統(tǒng)的模態(tài)動力學參數(shù)。模態(tài)測試系統(tǒng)框圖如圖9所示，將平臺上平面按照圖10所示劃分網(wǎng)格點，采用多點敲擊單點響應，用力錘在2、12測點處沿X方向水平敲擊，8、14測點處沿Y方向水平敲擊，1、5、9、13測點處沿Z方向垂直敲擊，加速度傳感器的信號經(jīng)由電荷放大器傳送給DASP系統(tǒng)。模態(tài)擬合采用頻域擬合方法。

本文上平臺在結(jié)構(gòu)設計中雖然盡量設計為剛性，但上平臺的彈性變形仍不應完全忽略。為保證系統(tǒng)的可觀測性，8個直線加速度傳感器被布置在如圖2所示的位置，其中垂直方向布置4個，2個水平方向各布置2個。

圖9 模態(tài)測試系統(tǒng)框圖Fig.9 Block diagram of modal test system

圖10 隔振平臺劃分網(wǎng)格圖Fig.10 Grid diagram of vibration isolation platform

表1 模態(tài)頻率、質(zhì)量、剛度和阻尼比Table 1 Modal frequency，mass，stiffness and damping ratio

測得模態(tài)頻率、質(zhì)量、剛度、阻尼比如表1所示。振型矩陣在整個模態(tài)控制過程中需要用到2次，可見其結(jié)果的準確性對于控制過程的重要性。第1次是利用振型矩陣將平臺的物理位移轉(zhuǎn)換為模態(tài)位移，第2次是利用其進行真實控制信號與模態(tài)控制信號之間的轉(zhuǎn)換。根據(jù)實驗獲得的模態(tài)分析測試結(jié)果，將每階模態(tài)下平臺振動的形態(tài)用模態(tài)振型Φ 并采用X、Y、Z軸進行直觀的表示，如圖11所示。其中第1階模態(tài)以X向平動為主，其他各階模態(tài)既有平動和轉(zhuǎn)動的存在，也包含了可能存在的彈性變形。

2.3 遲滯非線性子系統(tǒng)建模

本節(jié)采用MPI算子建立靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)模型Γ［·］，并給出了其逆補償器Γ-1［·］。MPI算子可以寫為式中：Hrh＝［Hrh0Hrh1… Hrhn］T，Hrhi為閾值為rhi的play算子；Srs＝［Srs0Srs1… Srsn］T，Srsi為閾值為rsi的死區(qū)算子；wh＝［wh0wh1… whn］T、rh＝［rh0rh1… rhn］T和y0＝［y01y02… y0n］T分別為play算子權(quán)值向量、閾值向量和play算子初始值向量；ws＝［ws0ws1… wsn］T和rs＝［rs0rs1… rsn］T分別為死區(qū)算子權(quán)值向量和閾值向量。

給壓電作動器系統(tǒng)0.5 Hz低頻正弦信號作為激勵信號，基于輸入輸出數(shù)據(jù)采用最小二乘法辨識模型參數(shù)，具體辨識算法詳見文獻［16］。8個作動器按照相同的階數(shù)進行建模，根據(jù)辨識算法得到1號作動器對應的靜態(tài)遲滯非線性子系統(tǒng)相應的權(quán)值向量為

同理可得到其他作動器對應的靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)相應的權(quán)值向量。圖12給出了1號作動器對應遲滯子系統(tǒng)建模結(jié)果，建模結(jié)果表明MPI算子可以準確地描述系統(tǒng)的遲滯特性。

圖11 隔振平臺振型辨識結(jié)果Fig.11 Vibration isolation platform vibration type identification results

表2給出了8個作動器對應靜態(tài)遲滯子系統(tǒng)的建模誤差，建模精度由均方根誤差來評價，定義為

當MPI模型滿足一定不等式約束條件時，式（7）表示的模型具有唯一的解析逆，其逆模型的表達式為［17］

逆模型參數(shù)與式（7）中參數(shù)具有一一映射關系。圖13給出了1號壓電作動器遲滯逆補償?shù)膶嶒灲Y(jié)果，由圖中可見，逆補償器很好地消除了壓電作動器的遲滯特性。8個作動器的逆補償實驗結(jié)果如表3所示。

圖12 壓電作動器遲滯模型建模結(jié)果Fig.12 Hysteresis modeling results of piezoelectric actuator

圖13 逆補償實驗結(jié)果Fig.13 Inverse compensation experimental results

表2 M PI模型建模誤差Table 2 Modeling error of MPI model

表3 逆補償實驗結(jié)果Table 3 Inverse compensation experimental results

2.4 轉(zhuǎn)換矩陣辨識

1）R矩陣?；?.2節(jié)得到的振型矩陣Φ，由式（5）可以得到R矩陣為

2）S矩陣。HF矩陣可以近似為平臺在抵消了遲滯特性后各個輸入／輸出通道傳遞函數(shù)在低頻階段的增益，即各個通道的剛度。圖14給出了辨識HF的框圖，其中ui（t）表示作動器的電壓輸入，xi（t）表示8個測量節(jié)點的相對運動向量，各個通道遲滯逆補償Γ-1［·］根據(jù)2.3節(jié)所辨識得到的各個通道的遲滯模型由式（9）計算得到。由式（6）最終可以得到S矩陣為

圖14 HF辨識框圖Fig.14 Block diagram for HF identification

3 結(jié) 論

本文針對六自由度壓電智能隔振平臺開展了面向控制的動力學建模研究，為了解決系統(tǒng)中存在的耦合問題，建立解耦后的模態(tài)方程，得出：

1）在考慮壓電作動器遲滯特性的情況下，基于模態(tài)分析方法建立了平臺的動力學模型，為后續(xù)的模態(tài)控制器設計提供解耦后的動力學方程，并為控制回路的物理實現(xiàn)提供信號在不同坐標下的轉(zhuǎn)換關系。

2）采用MPI算子建立了系統(tǒng)的遲滯非線性模型，設計的逆補償器通過實驗驗證有效地消除了遲滯非線性的影響。