吳曉杰，王悅，

（北京航空航天大學 宇航學院，北京102206）

中國的火星探測計劃已于2016年立項實施，與火星相關的軌道設計工作相繼展開［1］，其中火衛(wèi)一和火衛(wèi)二的探測工作是計劃中的重要部分?；鹦怯?顆天然衛(wèi)星：火衛(wèi)一Phobos和火衛(wèi)二Deimos。隨著人類空間探索研究的不斷進展，火衛(wèi)一在空間探索中的作用越來越重要：在行星科學方面，火衛(wèi)一是人類研究太陽系及其行星系統(tǒng)起源的重要樣本；在航天工程方面，火衛(wèi)一因其較小的逃逸速度，成為了人類空間探索中轉站的理想天體［2］。

在火衛(wèi)一的探測任務設計中，設計穩(wěn)定的環(huán)繞軌道，尤其是周期環(huán)繞軌道，是關鍵步驟。然而，由于火衛(wèi)一的質量和軌道半長軸都很小，在火星強大的第三體引力攝動下，它的Hill球半徑只比星體表面高出幾公里。在這種情況下，利用經典的受攝Kepler軌道實現火衛(wèi)一環(huán)繞任務幾乎是不可能的。因此，在解決其環(huán)繞軌道的問題時，必須考慮引入多體問題進行求解?；谇叭说难芯砍晒瑴市l(wèi)星軌道（Quasi-Satellite Orbits，QSOs）已經被證明可以在一定的條件下穩(wěn)定存在于火衛(wèi)一的鄰近區(qū)域內［2］。日本宇宙航空研究開發(fā)機構（JAXA）、歐洲航天局（ESA）和法國國家太空研究中心（CNES），都在計劃中的MMX（Mars Moon eXplorer）任務中規(guī)劃了對火衛(wèi)一的準衛(wèi)星軌道環(huán)繞任務［3-4］。

對于三體問題模型下火衛(wèi)一準衛(wèi)星軌道的研究工作，最早由W iesel及其研究團隊進行的［5-6］。W iesel［6］將限制性三體問題模型應用于火星-火衛(wèi)一-飛行器系統(tǒng)，探究了影響火衛(wèi)一準衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性的各種因素。其學生Jansson［5］首次使用龐加萊截面的方法，以圓型限制性三體問題（CRTBP）為模型分析了火衛(wèi)一和火衛(wèi)二鄰近區(qū)域準衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性。Tuchin［7］在研究火衛(wèi)一準衛(wèi)星軌道時使用考慮火衛(wèi)一偏心率的Hill模型，并在該模型下提供了一種軌道設計方法，以滿足給定的覆蓋、時間和距離約束。Gil和Schwartz［2］做了大量關于準衛(wèi)星軌道數值分析方面的嘗試，對火星火衛(wèi)一系統(tǒng)進行了相空間數值搜索，證明了穩(wěn)定準衛(wèi)星軌道的存在性，并分析得到了三維穩(wěn)定準衛(wèi)星軌道的一系列特性。Cabral［8］從解析與數值的角度對橢圓型限制性三體問題（ERTBP）模型下的火衛(wèi)一準衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性進行了探究，給出了準衛(wèi)星軌道在特定時間范圍內的數值穩(wěn)定解。Wallace等［9］采用考慮攝動的圓型限制性三體問題模型對火星系統(tǒng)的多種類型軌道進行了研究，其中包括準衛(wèi)星軌道和平動點軌道，并設計了這兩種軌道之間的轉移策略，以適應火衛(wèi)一探測任務的需要。Zamaro和Biggs［10-13］通過引入球諧引力勢的方法進一步提高了模型的精度，并進行了一系列研究工作，揭示火衛(wèi)一附近的準衛(wèi)星軌道和平動點軌道等非Kepler軌道的特性，以及它們之間的低能轉移軌道。隨著相關研究的開展，更高精度的模型被應用到火衛(wèi)一的軌道設計中?；诨鹦翘綔y飛行器在與火衛(wèi)一的近距離飛掠中得到的影像數據，火衛(wèi)一多面體幾何模型與引力場受到許多學者的關注與研究［14-18］。Scheeres等［19-20］建立了基于多面體模型的限制性三體問題動力學方程，并使用了多面體模型系統(tǒng)分析了火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的平動點軌道和準衛(wèi)星軌道，這是到當時為止描述火星火衛(wèi)一系統(tǒng)最精確的模型。

本文的研究主要集中于火衛(wèi)一附近的周期準衛(wèi)星軌道以及從環(huán)火星軌道到準衛(wèi)星軌道的轉移軌道。準衛(wèi)星軌道一般距離次級天體較遠，是一種高度遠高于拉格朗日點L1和L2的逆行軌道。因此，本文將火衛(wèi)一看作質點，忽略其非球形引力場，并假設火衛(wèi)一圍繞火星做圓運動，即采用圓型限制性三體問題模型。

基于這些假設，本文首先使用Jansson的方法［5］，利用龐加萊截面與KAM 理論研究火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的準衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性，給出不同能量條件下準衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定區(qū)域，將它繪制在相應的龐加萊映射中。然后，提出一種KAM 環(huán)迭代方法，利用龐加萊截面法得到的穩(wěn)定區(qū)域進行迭代，從而得到穩(wěn)定區(qū)域內的周期準衛(wèi)星軌道解。最后，提出一種準衛(wèi)星軌道的入軌設計方法：假設周期軌道經過一個速度脈沖實現入軌，反推出飛行器由轉移軌道到達入軌點的速度，再做反向積分，直到離開火衛(wèi)一鄰近區(qū)域，從而生成一條從火星環(huán)繞軌道轉移到火衛(wèi)一周期準衛(wèi)星軌道的轉移軌道。

1 動力學

1.1 坐標系

圓型限制性三體問題的運動方程是建立在質心旋轉坐標系中的：原點位于火星（如圖1中m1所示）與火衛(wèi)一（如圖1中m2所示）的質心處，坐標系x軸由火星指向火衛(wèi)一，z軸與火衛(wèi)一軌道角動量方向一致，如圖1所示。由于火星與火衛(wèi)一固定于x軸，因此整個坐標系以火衛(wèi)一公轉角速度為角速度繞z軸旋轉。圖1中坐標系XOY代表原點在火星與火衛(wèi)一質心的慣性坐標系，系統(tǒng)中的某質點P在2個坐標系之間的轉換關系與兩坐標系間的夾角t相關。

圖1 原點位于火星火衛(wèi)一系統(tǒng)質心的旋轉坐標系Fig.1 Synodic coordinate system with origin at the barycenter of Mars and Phobos

1.2 圓型限制性三體問題

可以將火星、火衛(wèi)一與飛行器看作一個三體系統(tǒng)，考慮到火星與火衛(wèi)一的質量遠大于飛行器質量，描述該三體系統(tǒng)的動力學模型是一個限制性三體問題模型?；鹦l(wèi)一圍繞火星的軌道是一個小偏心率橢圓，本文近似假設火衛(wèi)一的軌道為圓軌道。這時，整個系統(tǒng)模型簡化為一個圓型限制性三體問題。Cabral給出了圓型限制性三體問題的動力學方程為［8］

本文主要研究飛行器在火衛(wèi)一軌道平面內的運動。因此，考慮平面情況下的圓型限制性三體問題，即運動參數中的z≡0，˙z≡0。在計算中，飛行器與火衛(wèi)一的距離比其相對于系統(tǒng)質心的距離更有實際意義。因此，本文參考Cabral［8］的坐標變換方法，將系統(tǒng)坐標系做平移變換，使得火衛(wèi)一成為坐標系的原點。系統(tǒng)的運動方程變?yōu)?/p>

1.3 Jacobi積分

由式（4）、式（5）可以看出，運動方程是時間無關的，存在首次積分，反映飛行器的能量，常選為Jacobi積分，即

式中：E為飛行器的總機械能。

1.4 龐加萊截面與KAM 環(huán)

龐加萊截面是分析多變量自治系統(tǒng)的一種有效方法。假設相空間中存在一個超平面（即飛行器運動變量的一個等量關系），飛行器的運動若與該平面相交，則會在相平面上留下一個軌跡點。龐加萊截面上的軌跡點可以反映飛行器運動的穩(wěn)定特性：如果截面上是一個或是幾個離散的點，運動是周期的；如果截面上是雜亂無章的散點，則運動是混沌的；如果截面上形成一些連續(xù)的環(huán)，則運動是擬周期的，這些連續(xù)的環(huán)被稱為KAM環(huán)。

本文的龐加萊截面選取如下：經過火星與火衛(wèi)一，垂直于火衛(wèi)一軌道平面，并處于火衛(wèi)一軌道外側的半平面，如圖2所示。

圖2 龐加萊截面Fig.2 Poincaré’s surface of section

2 周期準衛(wèi)星軌道及入軌分析

2.1 準衛(wèi)星軌道龐加萊映射

在平面圓型限制性三體問題中，飛行器的運動狀態(tài)由2個位置參數和2個速度參數決定，具有一個四維的相空間。當給定Jacobi常數時，飛行器的4個狀態(tài)參量須滿足給定的能量指標，因此系統(tǒng)維數降低為三維。如果考查1.4節(jié)中給出的龐加萊截面上軌跡點情況，則系統(tǒng)運動狀態(tài)可以由2個狀態(tài)參數確定。系統(tǒng)的龐加萊映射會隨著系統(tǒng)Jacobi常數的變化而發(fā)生變化，因此可以根據Jacobi常數來區(qū)分不同能級的準衛(wèi)星軌道，特別是周期準衛(wèi)星軌道。不同Jacobi常數下的準衛(wèi)星軌道龐加萊映射如圖3所示。

從圖3中可以看出，龐加萊映射可以反映特定的Jacobi常數下準衛(wèi)星軌道的斂散性。當軌道初始條件選取合適時，準衛(wèi)星軌道表現出良好的穩(wěn)定性，做擬周期運動，并在龐加萊映射中表現為環(huán)形，即KAM 環(huán)。這些KAM 環(huán)圍成的區(qū)域，稱為穩(wěn)定島。而在KAM 環(huán)狀區(qū)域以外，軌道是混沌的，運動狀態(tài)處在這一區(qū)域的飛行器很難保證可以長期穩(wěn)定于火衛(wèi)一的鄰近區(qū)域。

將不同的Jacobi常數對應的龐加萊映射中穩(wěn)定島的邊界繪制在同一張圖上，可以得到穩(wěn)定島大小與分布隨Jacobi常數的變化情況，如圖4所示。由圖4可以看出，隨著Jacobi常數增大，穩(wěn)定島的位置逐漸靠近原點，其面積也逐漸減小，故較小的Jacobi常數意味著存在更大范圍的穩(wěn)定軌道。因此在進行火衛(wèi)一準衛(wèi)星軌道設計時，需要根據任務約束選擇合適的Jacobi常數。

圖3 不同Jacobi常數下的龐加萊映射Fig.3 Poincaré’s maps with different Jacobi constants

圖4 不同Jacobi常數下的龐加萊映射邊界Fig.4 Poincaré’s maps’borders with different Jacobi constants

2.2 周期準衛(wèi)星軌道

給定飛行器合適的初始運動狀態(tài)，其相空間軌跡將在龐加萊截面上形成一個環(huán)面，即KAM環(huán)，且不同初始條件下的KAM 環(huán)是互不相交的。如果在這個環(huán)的內部確定一個點，作為下一條準衛(wèi)星軌道的初始條件，則新的KAM 環(huán)就處于原KAM環(huán)的內部，而且該環(huán)所圍成的面積小于原KAM環(huán)。重復這個過程，軌道在截面上形成的KAM環(huán)尺寸會越來越小，直到小于對軌道周期性的精度要求，從而得到一條符合Jacobi常數條件的周期準衛(wèi)星軌道。這種迭代求解周期準衛(wèi)星軌道的方法就是KAM 環(huán)迭代法。迭代過程如圖5所示。

應用這一方法，可以得到環(huán)繞火衛(wèi)一的周期準衛(wèi)星軌道族，如圖6所示，其初始條件如表1所示。

圖5 一個典型的KAM環(huán)迭代過程Fig.5 A typical KAM tori iteration process

圖6 周期準衛(wèi)星軌道族Fig.6 Periodic QSO family

2.3 周期準衛(wèi)星軌道入軌分析

在實際的火衛(wèi)一探測任務中，飛行器往往是首先被火星捕獲，進入火星的環(huán)繞軌道，再由火星環(huán)繞軌道進行轉移，最終進入準衛(wèi)星軌道。因此，需要設計從火星環(huán)繞軌道到火衛(wèi)一準衛(wèi)星軌道的轉移軌道。

本文設計的軌道轉移方法，是將周期準衛(wèi)星軌道與龐加萊截面的交點作為入軌點，當飛行器在火星與火衛(wèi)一的共同作用下到達入軌點時，施加一個速度脈沖進入準衛(wèi)星軌道。由表1可知，在確定的Jacobi常數下，周期準衛(wèi)星軌道具有一個確定的初始速度Vp。假設飛行器在轉移軌道上也垂直穿越龐加萊截面，并在其速度方向上施加一個速度脈沖ΔV，以實現周期準衛(wèi)星軌道入軌，其到達截面時的速度就可以通過周期準衛(wèi)星軌道的截面速度與速度脈沖之差得到，進而反向積分就可得到飛行器到達入軌點之前的運行軌跡，該軌跡在本文中被稱為回溯軌道。ΔV的正負由本文定義坐標系確定，即，當ΔV為正時，速度脈沖方向沿y軸正向。周期準衛(wèi)星軌道在本文給定龐加萊截面上速度均為負值，因此，當ΔV為正時，施加在飛行器上的是減速脈沖。飛行器變軌至該軌道，經過一段時間的飛行就會進入火衛(wèi)一的引力影響球，并在火星與火衛(wèi)一的共同作用下抵達龐加萊截面。此時對飛行器施加前述的速度脈沖ΔV，就可以進入周期準衛(wèi)星軌道。圖7給出了C＝2.999 890時的轉移過程。

表1 不同Jacobi常數下周期準衛(wèi)星軌道初始條件Table 1 Initial conditions of periodic QSOs w ith different Jacobi constants

圖7中拼接邊界以火衛(wèi)一為圓心，以其Hill球半徑的100倍為半徑的圓，這個圓就是飛行器軌道的拼接臨界面。圖中的拼接邊界內，飛行器軌跡是在以火衛(wèi)一為質心的旋轉系下繪制的，而在拼接邊界外，軌跡是在慣性系下繪制的。當飛行器在拼接邊界以外時，其距離火衛(wèi)一引力影響球已經很遠，火衛(wèi)一引力作用可以忽略不計，飛行器的軌跡可以近似看作是一條環(huán)繞火星的Kepler軌道。反之，在拼接邊界以內，則需要考慮火星與火衛(wèi)一2個天體的引力。

當C＝2.999 890，即入軌點距離火衛(wèi)一質心98.320 9 km處時，取不同的ΔV，按本節(jié)所述方法對軌道進行反向仿真，可以得到施加不同速度脈沖時飛行器回溯軌道能夠離開火衛(wèi)一的最遠距離，如圖8所示。

在圖8的關系曲線中取P1、P2、P3、P4、P55點，畫出飛行器的回溯軌道如圖9所示。

從圖8中可以看出，回溯軌道離開火衛(wèi)一的最遠距離隨速度脈沖的變化而發(fā)生躍變，且該躍變特性關于ΔV＝0對稱。定義回溯軌道依然穩(wěn)定于火衛(wèi)一附近的情況為穩(wěn)定區(qū)（S），回溯軌道與火衛(wèi)一距離過近或撞擊火衛(wèi)一的情況為表面起飛區(qū)（L），回溯軌道可以離開火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的情況為入軌區(qū)（T）。定義各區(qū)之間的分界速度如圖8所示：S區(qū)與L區(qū)分界VSL，L區(qū)與T區(qū)的分界速度為VLT和VTL。

圖7 火衛(wèi)一周期準衛(wèi)星軌道入軌Fig.7 Injection to a periodic QSO of the Phobos

圖8 不同速度脈沖ΔV時回溯軌道與火衛(wèi)一的最遠距離（C＝2.999 890，x＝98.320 9 km）Fig.8 Maximum distance from backward orbits to the Phobos with different impulsive velocity ΔV（C＝2.999 890，x＝98.320 9 km）

圖9 P1、P2、P3、P4、P5 各點的回溯軌道Fig.9 Backward orbits on point P1，P2，P3，P4，P5

如圖9所示，回溯軌道在遠離火衛(wèi)一過程中在y軸方向不斷漂移，可能會撞擊火衛(wèi)一表面，如圖9（a）、（c）和（e）所示。在撞擊軌道之間，如圖9（c）和（e）之間，存在可以避免撞擊而成功遠離火衛(wèi)一的回溯軌道，如圖9（d）所示。而在ΔV較小時，即圖9（a）和（b）所在的區(qū)域，撞擊與否對ΔV非常敏感，形成了一段尖峰區(qū)域，該區(qū)域撞擊風險較大，在軌道設計中不應采用。如果對飛行器所施加的速度脈沖不加限制，可以給出足夠大的速度機動，使飛行器有充足的動力反向逃離火衛(wèi)一鄰近區(qū)域，但是這種做法燃料消耗嚴重，很不經濟。因此，在回溯軌道中剔除撞擊火衛(wèi)一之后的轉移軌道，是可行且燃料消耗較小的選擇。

飛行器在入軌前的運動狀態(tài)，隨著速度脈沖ΔV的變化如下：

1）當ΔV＜VSL時，回溯軌道為環(huán)繞火衛(wèi)一的擬周期準衛(wèi)星軌道。

2）當VSL≤ΔV≤VLT或ΔV≥VTL時，回溯軌道與火衛(wèi)一表面相交。

3）當VLT＜ΔV＜VTL時，回溯軌道可到達遠離火衛(wèi)一的區(qū)域。

飛行器的速度脈沖處于入軌區(qū)時，反向積分飛行器會離開火衛(wèi)一，與火衛(wèi)一的最遠距離會達到19000 km左右，這個距離大約是火衛(wèi)一軌道半長軸的2倍。這一點可以從準衛(wèi)星軌道的特性得到解釋：準衛(wèi)星軌道從慣性空間上講，是一條與火衛(wèi)一半長軸相近的火星環(huán)繞軌道，受火衛(wèi)一引力影響而可以穩(wěn)定于火衛(wèi)一的鄰近空間。一旦飛行器離開火衛(wèi)一鄰近區(qū)域，弱化火衛(wèi)一的引力影響，就會運行在一條與火衛(wèi)一半長軸相近卻不等的圓錐曲線軌道上。由于周期相近所以難以達到共振，經過一定時間的運動，飛行器與火衛(wèi)一相對火星的相位差可達到180°，相互之間的距離也會達到火衛(wèi)一半長軸的2倍左右。

由此，拼接邊界的選擇不會影響入軌速度脈沖與不同類型回溯軌道的對應關系，在選取時只要保證與火衛(wèi)一距離足夠遠，且半徑小于火衛(wèi)一半長軸即可，本文取火衛(wèi)一Hill球半徑的100倍作為拼接邊界。為了能夠使用較少的燃料實現軌道轉移，可以在入軌區(qū)（T區(qū)）速度脈沖中，結合任務的其他約束，酌情選擇轉移軌道。

選取入軌區(qū)P4點作為算例，反向積分入軌軌道，可以得到飛行器進行周期準衛(wèi)星軌道入軌停泊軌道相對于火星的軌道要素如表2所示。

T區(qū)窗口的邊界ΔV隨Jacobi常數變化的情況如圖10所示。圖11給出了不同Jacobi常數下，由拼接邊界進入相應周期準衛(wèi)星軌道，選擇T區(qū)的速度脈沖時，施加不同的ΔV所需要的轉移時間，其中沒有數值的部分表示回溯軌道穩(wěn)定于火衛(wèi)一附近或者回溯軌道與火衛(wèi)一表面相交，無法完成軌道轉移任務。

表2 入軌區(qū)P4 點入軌停泊軌道要素（相對火星）Table 2 Orbital elements of parking orbit for injection point P4（with respect to the Mars）

圖10 不同Jacobi常數下的T區(qū)窗口分布Fig.10 T window distribution with different Jacobi constants

由圖10可以看出，隨著Jacobi常數增大，T區(qū)的轉移窗口逐漸變小，直到2.999 905附近時完全關閉。在Jacobi常數介于2.999 905～2.999 933時，采取本文提出的轉移方式撞毀的風險很大，因此認為此時T區(qū)關閉。在Jacobi常數增大到2.999 933時，T區(qū)窗口重新打開，直到Jacobi常數為2.999 938時，T區(qū)窗口再次關閉。隨著Jacobi常數繼續(xù)增大，飛行器進入了十分接近火衛(wèi)一的區(qū)域，實現QSOs繞飛的難度和轉移撞擊到火衛(wèi)一上的風險都大大增加，因此T區(qū)窗口保持關閉的狀態(tài)。由此，為實現本文提出的轉移策略，應當根據任務需要選擇Jacobi常數小于2.999 905的周期準衛(wèi)星軌道，或者選擇Jacobi常數介于2.999 933～2.999938的周期準衛(wèi)星軌道。

圖11的結果顯示，當給定周期軌道時，不同的Jacobi常數下，軌道轉移時間隨著脈沖速度的增加均呈現先增大后減小的趨勢。因此，在設計特定周期軌道的轉移時，需要根據任務的約束和可以實現脈沖的精度，在保證轉移可以實現的前提下，在可選窗口中盡可能取較小值。

圖11 不同Jacobi常數下，軌道轉移時間與T區(qū)速度脈沖ΔV的關系Fig.11 Relationship between orbit transfer time and impulsive velocity ΔV with different Jacobi constants

基于上述分析可知，在本文設定的軌道轉移方式下，對應特定的周期準衛(wèi)星軌道，實現火星環(huán)繞軌道向火衛(wèi)一周期準衛(wèi)星軌道的轉移，并可對燃料消耗和轉移時間做出一定調整。

3 結 論

1）本文利用龐加萊截面方法分析火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的準衛(wèi)星軌道，發(fā)現準衛(wèi)星軌道在龐加萊截面相空間上的穩(wěn)定范圍隨Jacobi常數的減小而增大。對于控制精度有限的飛行器，應該選擇Jacobi常數較小，距離火衛(wèi)一較遠的準衛(wèi)星軌道作為任務軌道。

2）本文提出KAM環(huán)迭代法實現對周期準衛(wèi)星軌道的數值求解，給出火衛(wèi)一鄰近區(qū)域的周期準衛(wèi)星軌道族及其初始條件。

3）本文還提出一種從火星環(huán)繞軌道向火衛(wèi)一周期準衛(wèi)星軌道的轉移軌道設計方法。分析這種軌道轉移策略的時間和燃料消耗，發(fā)現周期準衛(wèi)星軌道轉移所需的速度脈沖可能存在特定的區(qū)間（T區(qū)），實現快速低能轉移。T區(qū)的大小在一定范圍內隨周期軌道Jacobi常數增大而減小，隨著Jacobi常數的增大，T區(qū)還會出現關閉的現象，但在Jacobi常數更高的區(qū)間內，當Jacobi常數處于特定的區(qū)間時，T區(qū)還會重新打開，形成新的窗口。應用本文中提出的方法，可以根據實際任務需要，設計合適的周期準衛(wèi)星軌道，并找到燃料消耗較少，轉移速度較快的轉移軌道。

在進行轉移軌道設計時，本文假設飛行器在龐加萊截面處進行軌道機動。實際上，軌道入軌點的選擇會影響到軌道轉移的能源與時間消耗。另外，飛行器在入軌點處入軌前的速度不一定相切于目標周期準衛(wèi)星軌道，入軌機動的方向也可能被作為優(yōu)化參數，用于降低整個轉移過程的時間和能量消耗。在未來的研究工作中，筆者將從這些方面對轉移軌道設計進行進一步的優(yōu)化。