黃小杰 劉芝秀

【摘 要】大數(shù)據(jù)時(shí)代，不同學(xué)科的交叉綜合使得知識(shí)日新月異。因此教師在教學(xué)中應(yīng)該打破學(xué)科壁壘，以知識(shí)之間的聯(lián)系為教學(xué)內(nèi)容組織的原則與依據(jù)，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并幫助他們樹(shù)立終身學(xué)習(xí)觀，使其成長(zhǎng)為具有創(chuàng)新精神與自主學(xué)習(xí)和實(shí)踐能力的復(fù)合型人才。筆者依據(jù)STEM與自主學(xué)習(xí)的教育理念，以高等數(shù)學(xué)調(diào)和級(jí)數(shù)的教學(xué)為例，將調(diào)和級(jí)數(shù)與計(jì)算機(jī)科學(xué)、建筑學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科內(nèi)容相聯(lián)系進(jìn)行研究。經(jīng)分析調(diào)研，本文所設(shè)計(jì)的調(diào)和級(jí)數(shù)課堂教學(xué)方式在提升學(xué)生綜合能力和自學(xué)能力等方面取得了良好效果。

【關(guān)鍵詞】STEM;自主學(xué)習(xí);調(diào)和級(jí)數(shù);學(xué)習(xí)興趣

【中圖分類號(hào)】G642.45 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2020）16-0011-02

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，當(dāng)今社會(huì)已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，各種數(shù)據(jù)的融合應(yīng)用，不同學(xué)科的交叉綜合，對(duì)教學(xué)提出了更高的要求。從傳統(tǒng)的分科教學(xué)到如今強(qiáng)調(diào)學(xué)科之間的深度融合，STEM教育理念應(yīng)運(yùn)而生，解決了學(xué)科間深度融合的有效路徑問(wèn)題，它強(qiáng)調(diào)將科學(xué)（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineer）和數(shù)學(xué)（Mathematics）四個(gè)學(xué)科相融合，打破學(xué)科壁壘，基于真實(shí)世界中的問(wèn)題情境開(kāi)展教學(xué)。無(wú)論是科學(xué)教育還是數(shù)學(xué)教育，都需要學(xué)生在真實(shí)情境中，調(diào)用各類知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題[1-2]。

教師在教學(xué)中應(yīng)將知識(shí)之間的聯(lián)系作為教學(xué)內(nèi)容組織的原則與依據(jù)，同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)能力，并幫助他們樹(shù)立終身學(xué)習(xí)觀。只有樹(shù)立終身學(xué)習(xí)觀、擁有自主學(xué)習(xí)能力，學(xué)生才會(huì)不斷學(xué)習(xí)，才能適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的要求，成為具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的復(fù)合型人才[3]。高等數(shù)學(xué)課程在高校人才培養(yǎng)中起著非常重要的作用，其教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)對(duì)教學(xué)效果和人才培養(yǎng)都會(huì)產(chǎn)生較大影響，因此，它的每一堂課都值得精心設(shè)計(jì)和安排[4]。下文以高等數(shù)學(xué)調(diào)和級(jí)數(shù)的教學(xué)為例，闡述將STEM與自主學(xué)習(xí)教育理念相融合而產(chǎn)生的教學(xué)效果。

1 ? 調(diào)和級(jí)數(shù)的教學(xué)實(shí)踐內(nèi)容

調(diào)和級(jí)數(shù)是指自然數(shù)的倒數(shù)之和，即。證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散方法有很多，教師可將其作為練習(xí)題，留給學(xué)生自行完成，并根據(jù)學(xué)生完成證明的情況給出平時(shí)成績(jī)。之后，教師再對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的不同證明方法進(jìn)行對(duì)比講解。

調(diào)和級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和與的差所構(gòu)成的數(shù)列收斂，該收斂值稱為歐拉常數(shù)。利用“單調(diào)下降有下界的數(shù)列必收斂”進(jìn)行證明，并鼓勵(lì)學(xué)生課后探索新的證明方法以及調(diào)和級(jí)數(shù)的其他性質(zhì)。在完成上述基本教學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，適當(dāng)融入STEM與自主學(xué)習(xí)教育理念，在課堂上穿插兩個(gè)涉及計(jì)算機(jī)科學(xué)、建筑學(xué)、物理學(xué)等知識(shí)的實(shí)例。

1.1 ?蠕蟲橡皮筋悖論

假設(shè)一條蠕蟲沿著一條長(zhǎng)1米的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分鐘均勻伸長(zhǎng)1米。如果相對(duì)其所在的橡皮筋，蠕蟲爬行的速度是每分鐘1厘米，那么蠕蟲最終會(huì)達(dá)到橡皮筋的另一頭嗎[5]？

看似蠕蟲不可能到達(dá)另一頭，而事實(shí)卻并非如此，這便是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用。數(shù)學(xué)中稱這個(gè)問(wèn)題為“蠕蟲橡皮筋悖論”。通過(guò)這一現(xiàn)象，不僅可以加深學(xué)生對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的印象，而且可以幫助他們形成科學(xué)精神和正確的認(rèn)知觀。

教師可以順著學(xué)生的好奇心進(jìn)行解釋，當(dāng)橡皮筋伸長(zhǎng)時(shí)，蠕蟲已經(jīng)爬過(guò)的橡皮筋路段也對(duì)應(yīng)的伸長(zhǎng)，所以蠕蟲爬過(guò)的橡皮筋路段長(zhǎng)與整個(gè)橡皮筋長(zhǎng)的比是不會(huì)改變的。如1分鐘后蠕蟲爬行了1厘米，占橡皮筋總長(zhǎng)的，橡皮筋伸長(zhǎng)后所爬過(guò)的路段也伸長(zhǎng)，仍為總長(zhǎng)的。那么分鐘后，蠕蟲爬行過(guò)的距離與橡皮筋伸長(zhǎng)的總長(zhǎng)度比為。因?yàn)檎{(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，所以這個(gè)比值必定在某個(gè)時(shí)刻大于1，這就說(shuō)明蠕蟲可以到達(dá)橡皮筋的另一端。

到底要多久才可以到達(dá)呢？教師可以讓學(xué)生在課后使用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行計(jì)算，有的學(xué)生用Python編程進(jìn)行計(jì)算，雖然程序正確，卻無(wú)法得出結(jié)果。實(shí)際上值非常大，約為，即使用現(xiàn)今最快的計(jì)算機(jī)也無(wú)法在有效的時(shí)間內(nèi)循環(huán)完上述次數(shù)。因此，可以借此引導(dǎo)學(xué)生去了解計(jì)算機(jī)科學(xué)中可計(jì)算與實(shí)際可計(jì)算的概念和計(jì)算機(jī)算法時(shí)間復(fù)雜度的概念[6]。

讓學(xué)生估算，一來(lái)可以使學(xué)生借此熟悉調(diào)和級(jí)數(shù)的性質(zhì)，二來(lái)可以幫助學(xué)生去了解計(jì)算機(jī)科學(xué)的一些重要概念和思想。

1.2 ?“比薩斜塔”會(huì)倒塌嗎

著名的比薩斜塔會(huì)倒塌嗎？這是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，用單方面的知識(shí)是無(wú)法得出確切答案的?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生聯(lián)想阿聯(lián)酋首都阿布扎比的“首都門”、浙江錢江綠色建筑科技館、哥本哈根貝拉空中酒店等建筑，讓他們思考這些建筑的頂部都傾斜凸出到地基之外而不倒塌，其中的數(shù)學(xué)道理是什么。

探求這些建筑中的數(shù)學(xué)原理，要考慮將多塊質(zhì)量均勻的磚塊疊在一起，并使得每塊磚較其下面的磚凸出一定的長(zhǎng)度，是否可以使某塊磚完全在最下面一塊磚之外？換言之，是否可以找到一塊磚使其在水平面上的垂直投影與最下面的一塊磚無(wú)重疊[7]？

堆磚的方式很重要，一堆剛好平衡的磚是指對(duì)于任意一層磚，在其之上的磚堆的質(zhì)心恰好落在其邊緣。新添加的磚不能置于其上方，否則會(huì)使得質(zhì)心向右偏移而倒塌，應(yīng)該堆在整堆磚之下，并使得原有磚堆的質(zhì)心剛好落在新磚的最右端，這樣原來(lái)的磚就不會(huì)倒塌，見(jiàn)下圖。由此引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中質(zhì)量和質(zhì)心的概念，以及杠桿原理和計(jì)算質(zhì)心的辦法。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨設(shè)每塊磚的長(zhǎng)度為1，磚的指標(biāo)數(shù)從上往下而定，最上面的磚記為第1塊，第1塊下面緊鄰的磚記為第2塊，依此類推。

如下圖，是第塊磚的質(zhì)心到第塊磚的右邊緣的距離，是第塊磚右邊緣到第塊磚右邊緣的距離。顯然，由第塊磚杠桿平衡可知，解得。

按上面的擺法，若堆疊了塊磚，那么最頂層和最底層磚右端的水平距離是，因?yàn)檎{(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，所以當(dāng)磚塊數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，水平距離也可以到達(dá)無(wú)窮，即可以找到一塊磚，使其在水平面上的垂直投影與最下面的一塊磚無(wú)重疊，甚至可以間隔無(wú)窮大。

2 ? 結(jié)束語(yǔ)

在介紹調(diào)和級(jí)數(shù)時(shí)，穿插講解“蠕蟲橡皮筋悖論”和“比薩斜塔問(wèn)題”等涉及計(jì)算機(jī)、物理、建筑等多方面知識(shí)的問(wèn)題，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自由探索和自主學(xué)習(xí)。這樣學(xué)生不僅可以學(xué)習(xí)和鞏固調(diào)和級(jí)數(shù)方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也能探索和學(xué)習(xí)到其他知識(shí)。經(jīng)過(guò)課堂反饋、測(cè)試、課后調(diào)研發(fā)現(xiàn)，融合STEM與自主學(xué)習(xí)教育理念所設(shè)計(jì)的調(diào)和級(jí)數(shù)課堂教學(xué)內(nèi)容在提升學(xué)生的綜合能力和自學(xué)能力等方面取得了良好效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳曉慧，徐彬，張哲等.STEM教育研究與實(shí)踐的理念與路徑——訪不列顛哥倫比亞大學(xué)科學(xué)教育專家Samson Nashon教授[J].中國(guó)電化教育，2019（387）.

[2]王志強(qiáng).美國(guó)高校創(chuàng)客教育與STEM教育的融合：理念、路徑、啟示[J].復(fù)旦教育論壇，2016（4）.

[3]何思穎，何光全.終身教育百年：從終身教育到終身學(xué)習(xí)[J].現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育研究，2019（1）.

[4]徐利治.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教育與教學(xué)改革的看法及建議[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（2）.

[5]甘志國(guó).蠕蟲爬橡皮繩問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（11）.

[6]薩特吉·薩尼.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法與應(yīng)用：C++語(yǔ)言描述[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2015.

[7]英子.意大利的比薩斜塔[J].世界文化，2012（6）.

【作者簡(jiǎn)介】

黃小杰（1983～），男，漢，江西南昌人，博士，講師。研究方向：數(shù)學(xué)及其教育。

劉芝秀（1982～），女，漢，四川榮縣人，碩士研究生，講師。研究方向：數(shù)學(xué)及其教育。