馮俊生，徐 可

(1.合肥師范學(xué)院 物理與材料工程學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.湖北文理學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖北 襄陽(yáng) 441053)

隨著玻色-愛(ài)因斯坦凝聚在實(shí)驗(yàn)上的實(shí)現(xiàn)[1-3]，科學(xué)研究已經(jīng)從早期的理論預(yù)言發(fā)展到了現(xiàn)在的實(shí)驗(yàn)階段.激光冷卻技術(shù)的發(fā)展和冷原子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的出現(xiàn)，使得實(shí)驗(yàn)上容易調(diào)控冷原子系統(tǒng)所受的約束勢(shì)，為模擬各種外勢(shì)下玻色-愛(ài)因斯坦凝聚提供了可能.線(xiàn)性勢(shì)是一種形式較為簡(jiǎn)單的外勢(shì)，且在冷原子平臺(tái)下容易實(shí)現(xiàn)[4-5].對(duì)于其玻色-愛(ài)因斯坦凝聚，目前并沒(méi)有科學(xué)研究涉及.并且現(xiàn)行的統(tǒng)計(jì)物理教科書(shū)也只討論了弱簡(jiǎn)并條件下自由粒子發(fā)生玻色-愛(ài)因斯坦凝聚，其凝聚條件為nλ3≥2.612，其中n是粒子數(shù)密度，λ是德布羅意波長(zhǎng)[6-7].為加深對(duì)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚教學(xué)內(nèi)容的理解，拓展統(tǒng)計(jì)系綜理論的應(yīng)用，本文將主要討論超線(xiàn)性勢(shì)下的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚.嚴(yán)格求解外勢(shì)下的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚需要用數(shù)值重整化群方法，考慮到數(shù)值重整化群較難理解且本科生的數(shù)理基礎(chǔ)較為薄弱，因此本文擬采用平均場(chǎng)方法[6-8].理由是平均場(chǎng)近似的物理圖像清晰且數(shù)學(xué)處理相對(duì)簡(jiǎn)單，在波動(dòng)和關(guān)聯(lián)較小的情況下可以得到與數(shù)值重整化群方法定性一致的結(jié)論.因此，本文將從相空間態(tài)密度出發(fā)，研究s維超線(xiàn)性勢(shì)的態(tài)密度，發(fā)生玻色-愛(ài)因斯坦凝聚時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界溫度TC以及熱容CV.

1 超線(xiàn)性勢(shì)的態(tài)密度D(E)

考慮s維超線(xiàn)性勢(shì)下描述的玻色子，其單粒子哈密頓量H可以寫(xiě)為

其中pi是粒子的動(dòng)量，ki是線(xiàn)性勢(shì)的系數(shù)，xi是粒子的坐標(biāo)，m是粒子的質(zhì)量，s是空間維度.為簡(jiǎn)化問(wèn)題，采取平均場(chǎng)近似，從統(tǒng)計(jì)物理中的相空間態(tài)密度出發(fā)來(lái)討論玻色-愛(ài)因斯坦凝聚.

式中E>0，且0≤x1，x2，…≤E.相空間體積為(具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄)

(1)

態(tài)密度D(E)為

(2)

圖1 態(tài)密度D(E)隨能量E的變化關(guān)系

2 超線(xiàn)性勢(shì)下凝聚溫度TC

在上節(jié)獲得了s維超線(xiàn)性勢(shì)的態(tài)密度解析表達(dá)式(2)，這一節(jié)將主要根據(jù)態(tài)密度D(E)的解析表達(dá)式，推導(dǎo)相應(yīng)的凝聚溫度TC.對(duì)于3種不同的統(tǒng)計(jì)系綜分布，其統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)可以統(tǒng)一寫(xiě)成

(3)

其中，ε是粒子的能量，μ是化學(xué)勢(shì)，kB是玻爾茲曼常數(shù)，T是系統(tǒng)溫度.當(dāng)系數(shù)δ取1，0和-1時(shí)，f(ε)分別對(duì)應(yīng)于費(fèi)米-狄拉克布、玻爾茲曼分布和玻色-愛(ài)因斯坦分布.

(4)

同理，系統(tǒng)能量E可以表達(dá)為

(5)

設(shè)開(kāi)始凝聚對(duì)應(yīng)的臨界溫度為T(mén)C，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的化學(xué)勢(shì)μ=0，則式(4)變?yōu)?/p>

(6)

其中ζ(x)是黎曼函數(shù).根據(jù)式(6)，可以求得發(fā)生玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的臨界溫度為

(7)

當(dāng)s取1，2和3時(shí)，分別得到一維、二維和三維的凝聚溫度，即

凝聚溫度TC和粒子數(shù)N的關(guān)系如圖2所示.可以看出，對(duì)于稠密體系，低維體系的凝聚溫度隨粒子數(shù)增加而迅速增加，而高維體系變化緩慢.當(dāng)溫度低于TC繼續(xù)下降時(shí)，停留在基態(tài)上的粒子數(shù)N0(T

(8)

3 超線(xiàn)性勢(shì)下的熱容量

對(duì)于玻色-愛(ài)因斯坦凝聚而言，發(fā)生凝聚時(shí)開(kāi)始發(fā)生相變.這類(lèi)相變是典型的λ相變，屬于連續(xù)相變.λ相變伴隨著熱容CV的突變，即在凝聚相和非凝聚相有所不同.需要注意的是：在凝聚相時(shí)系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)μ=0，在非凝聚相時(shí)化學(xué)勢(shì)μ≠0.下面分兩個(gè)溫度區(qū)間討論相應(yīng)的熱容.

3.1 低于臨界溫度(T

根據(jù)式(5)，系統(tǒng)的能量E為

(9)

則能量對(duì)溫度的一階導(dǎo)數(shù)即為熱容

利用式(7)臨界溫度TC的表達(dá)式，則可以得到熱容CV的表達(dá)式

(10)

可以看出，在凝聚相的時(shí)候熱容隨溫度的增加而增加.同樣熱容CV與N0/N的關(guān)系為

(11)

隨著溫度的降低，粒子趨于有序，導(dǎo)致凝聚在基態(tài)的粒子數(shù)增加，從而熱容CV減?。辉诮^對(duì)零度時(shí)熱容CV為零，與理論預(yù)期一致.

3.2 高于臨界溫度(T>TC，μ≠0)

(12)

(13)

根據(jù)表達(dá)式(4)，可知在化學(xué)勢(shì)μ不為零的情況下，出現(xiàn)了一個(gè)弱簡(jiǎn)并相互作用，因此在臨界點(diǎn)TC附近有一個(gè)有限的引力.注意在上面處理過(guò)程中，采用了平均場(chǎng)近似[6-8]，忽略了化學(xué)勢(shì)隨溫度的變化.由于系統(tǒng)總粒子數(shù)不變，因此有

圖4 不同維度熱容隨溫度變化示意圖

根據(jù)凝聚相和非凝聚相對(duì)應(yīng)的熱容式(10)和(13)，可以得到超線(xiàn)性勢(shì)的熱容CV隨溫度變化的關(guān)系，如圖4所示.可以看出，對(duì)于二維和三維體系，熱容隨著溫度的下降而下降，在臨界點(diǎn)處突然上升，表現(xiàn)出一個(gè)λ突變，對(duì)應(yīng)的是λ相變.需要特別說(shuō)明的是，對(duì)于一維情況，與重整化理論預(yù)期不符(一維不存在玻色愛(ài)因斯坦凝聚).這是因?yàn)橥ǔＧ闆r下，平均場(chǎng)近似與數(shù)值重整化結(jié)論定性是一致，但對(duì)于某些特定情況會(huì)出現(xiàn)與精確解不相符的結(jié)論[8].

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)平均場(chǎng)近似，將統(tǒng)計(jì)系綜理論應(yīng)用到s維超線(xiàn)性勢(shì)玻色子系統(tǒng)，并研究了超線(xiàn)性勢(shì)下的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚.對(duì)于二維和三維線(xiàn)性勢(shì)的情況，得到了與連續(xù)相變一致的結(jié)論，且維度越高，凝聚溫度越高.玻色-愛(ài)因斯坦凝聚是典型的連續(xù)相變，熱容在相變點(diǎn)出現(xiàn)一個(gè)λ突變.在課堂教學(xué)中將超線(xiàn)性勢(shì)引入玻色-愛(ài)因斯坦凝聚，不僅豐富了學(xué)生的統(tǒng)計(jì)物理知識(shí)，培養(yǎng)其探索意識(shí)，而且給學(xué)生提供了一個(gè)從書(shū)本知識(shí)到科學(xué)研究的范例.

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