葉倩玉，武全勝，王福忠，姚 波

（1.沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧沈陽 110034；2.朝陽師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)計算機(jī)系，遼寧朝陽 122000；3.沈陽工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧沈陽 110136）

在現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中，安全關(guān)鍵系統(tǒng)（如航天系統(tǒng)、鐵路系統(tǒng)等）一旦發(fā)生故障，便會造成不可估量的損失。因此，可靠控制問題越來越多地吸引了研究人員的關(guān)注[1-5]。在實(shí)際的系統(tǒng)中，由于部件老化等原因，可能造成傳感器或執(zhí)行器發(fā)生故障，且傳感器故障可能會導(dǎo)致更嚴(yán)重的情況[6]。因此，為了提高系統(tǒng)的安全性，已開發(fā)出廣泛的可靠控制技術(shù)，這些技術(shù)可補(bǔ)償傳感器故障并保持閉環(huán)系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[7]采用矩陣的奇異值分解方法，以線性矩陣不等式的形式給出了基于觀測器的H∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件及設(shè)計問題。然而狀態(tài)反饋控制器在實(shí)際控制工程中，往往不能直接測量，即使采用觀測器的形式也不能獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)進(jìn)行有效控制是難以實(shí)現(xiàn)的。那么，考慮輸出反饋對系統(tǒng)進(jìn)行控制，其中動態(tài)輸出反饋控制有消耗過多資源的弊端[8]，而靜態(tài)輸出反饋控制可直接獲取準(zhǔn)確的輸出數(shù)據(jù)，不用建立新系統(tǒng)而耗費(fèi)過多的資源。所以，靜態(tài)輸出反饋控制具有更為實(shí)際的研究意義?；贖∞控制理論的靜態(tài)輸出反饋控制是有效控制策略，廣泛應(yīng)用在飛行器和工業(yè)控制過程中[9-11]。此外，為了獲得精準(zhǔn)且快速的調(diào)節(jié)控制，區(qū)域極點(diǎn)配置的方法在實(shí)際工程中也是至關(guān)重要的。文獻(xiàn)[12-14]運(yùn)用極點(diǎn)配置的方法將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到某些特定的區(qū)域內(nèi)，保證了良好的瞬態(tài)性能。

本文將極點(diǎn)約束在特定的圓盤區(qū)域內(nèi)，以獲得良好的瞬態(tài)性能；利用凸組合方法處理傳感器單故障模型，減小了只從多故障角度設(shè)計控制器的保守性；通過有界實(shí)引理把結(jié)論轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式組（LMIs）的形式，運(yùn)用LMI 工具箱求解線性矩陣不等式組（LMIs），獲得可行解，得到靜態(tài)輸出反饋可靠H∞控制器存在的充要條件。無論是否發(fā)生傳感器故障，系統(tǒng)都可以獲得期望的閉環(huán)極點(diǎn)，達(dá)到給定的H∞性能指標(biāo)并保持漸近穩(wěn)定。

1 問題描述

考慮線性定常系統(tǒng)：

式中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；y(t)∈Rm為系統(tǒng)的測量輸出變量；u(t)∈Rp為系統(tǒng)的控制輸入變量；ω(t)∈RL為外部有界干擾輸入；A、B1、C為適維矩陣；B2為適維列滿秩矩陣。

傳感器連續(xù)增益單故障矩陣模型為

式中，y(t)∈Rm為傳感器正常信號向量；yf(t)∈Rm為考慮傳感器單故障的信號向量；Fs為傳感器單故障矩陣，其形式為

式中，fsi為第i條傳感器通道上的增益值，且滿足

考慮傳感器故障的信號向量yf(t)就可以表示為

這種故障形式稱為傳感器任意單一故障，具有2 個特點(diǎn)：①在m個傳感器通道中，任意一個傳感器都可能出現(xiàn)故障；②最多只有一個傳感器出現(xiàn)故障。

2 故障處理（凸組合法）

考慮傳感器單故障，設(shè)

顯然，集合θs有2m個元素。

設(shè)集合

這樣描述的傳感器單故障矩陣Fs∈Λs，存在正整數(shù)i使得Fs=Fsi。顯然，F(xiàn)si是在θsi1和θsi2為頂點(diǎn)構(gòu)成的凸集合中。因此，總可以找到αsij≥0,j=1、2，滿足=1，使得

以上描述的傳感器單故障矩陣集合可以推廣到任意傳感器多故障矩陣集合中。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器從單一故障到多故障均可采用此方法設(shè)計可靠控制器，很大程度上減小了只從多故障角度設(shè)計控制器的保守性。

引理1：已知S是n×n正定矩陣，B是n×m列滿秩矩陣（m≤n），則矩陣BTSB可逆。

證明：若BTSB不可逆，則BTSBX=0 有非零解。

∴XTBTSBX=0有非零解。

∴(BX)TS(BX)=0有非零解。

∵S是n×n正定矩陣。

∴BX=0有非零解。

∴BTBX=0有非零解。

又∵B是列滿秩矩陣。

∴BTB為可逆矩陣。

∴BTBX=0只有零解，矛盾。

∴BTSB可逆。

引理2[15]：矩陣A的所有特征值均在半徑為r，圓心為(-q,0)的圓盤中的充分必要條件是存在正定矩陣P，使得

引理3[15]（有界實(shí)引理）：設(shè)常數(shù)γ＞0，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且＜γ的充分必要條件是存在一個正定矩陣P＞0，滿足

3 主要結(jié)論

3.1 基于圓盤約束的線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計

對線性系統(tǒng)（1）引入靜態(tài)輸出反饋控制器：

由此得到閉環(huán)系統(tǒng)：

定理1：對于閉環(huán)系統(tǒng)（3），存在靜態(tài)輸出反饋H∞控制器（2），使所有特征值均在半徑為r，圓心為(-q,0)的圓盤中的充分必要條件是對于正定矩陣P和矩陣U,W使得下列線性矩陣不等式組（LMIs）：

存在可行解。若可行解為(P,U)，則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器增益矩陣為K=W-1U，W可以由PB2=B2W求得。

證明：由引理2可知，存在正定矩陣P使閉環(huán)系統(tǒng)（3）的極點(diǎn)配置在特定的圓盤區(qū)域內(nèi)必須滿足

根據(jù)有界實(shí)引理，閉環(huán)系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的且滿足H∞性能指標(biāo)‖Gωy∞‖＜γ的充分必要條件是存在正定矩陣P，使得

令PB2=B2W，WK=U，則式（6）和（7）分別為

下證W可逆：

由B2為列滿秩矩陣，對等式PB2=B2W兩邊左乘以B2T得B2TPB2=B2TB2W，則W=(B2TB2)-1B2TPB2，即證B2TPB2可逆。

由引理1可知B2TPB2可逆，故W可逆。

對于給定的γ＞0，滿足

綜上，定理得證。

3.2 基于圓盤約束的線性系統(tǒng)傳感器故障的靜態(tài)輸出反饋可靠H∞控制器設(shè)計

當(dāng)線性系統(tǒng)發(fā)生傳感器故障，對系統(tǒng)（1）引入靜態(tài)輸出反饋控制器：

由此得到閉環(huán)系統(tǒng)：

定理2：對于閉環(huán)系統(tǒng)（9），存在靜態(tài)輸出反饋可靠H∞控制器（8），使所有特征值均在半徑為r，圓心為(-q,0)的圓盤中的充分必要條件是對于正定矩陣P和矩陣U，W使得下列線性矩陣不等式組（LMIs）：

存在可行解。如果可行解為(P,U)，則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器矩陣增益K=W-1U，W可以由PB2=B2W求得。

證明：由引理2可知，存在正定矩陣P使閉環(huán)系統(tǒng)（9）的極點(diǎn)配置在指定的圓盤區(qū)域內(nèi)必須滿足

根據(jù)有界實(shí)引理，閉環(huán)系統(tǒng)（10）是漸近穩(wěn)定的且滿足H∞性能指標(biāo)‖Gωy‖∞＜γ的充分必要條件是存在對稱正定矩陣P，使得

令PB2=B2W，WK=U，則式（12）和（13）可化為式（14）和（15）：

存在正整數(shù)i使得Fs=Fsi，存在αsij≥0,j=1、2，滿足=1，使得Fsi=所以式（14）和（15）可分別表示為

故有

下證W可逆：（與定理1相同，故省略）

對于給定的γ＞0，滿足

綜上，定理得證。

4 數(shù)值仿真

本文首先考慮正常的線性系統(tǒng)在無故障的情況下，通過設(shè)計靜態(tài)輸出反饋H∞控制器使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定并使極點(diǎn)配置在特定的圓盤區(qū)域內(nèi)；再考慮正常的線性系統(tǒng)發(fā)生傳感器連續(xù)增益單故障，系統(tǒng)部分極點(diǎn)跳出圓盤區(qū)域，系統(tǒng)不能達(dá)到給定的H∞性能指標(biāo)；最后通過設(shè)計可靠H∞控制器，使極點(diǎn)全部配置在特定的圓盤區(qū)域內(nèi)，使系統(tǒng)達(dá)到給定的H∞性能指標(biāo)并保持穩(wěn)定。

考慮系統(tǒng)：

開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為λ={0.7321,-2.0000,-2.7321}，可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，其中極點(diǎn)0.7321 不在半徑為r=4，中心為(5,0)的圓盤中。

先考慮系統(tǒng)在無故障情況下，把系統(tǒng)極點(diǎn)配置在半徑為r=4，中心為(-5,0)的圓盤中，令式（4）中γ=1.3，設(shè)計一個滿足H∞性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋控制器，其中增益矩陣為K=此時系統(tǒng)傳遞函數(shù)范數(shù)為1.058 9，如圖1所示。

圖1 極點(diǎn)配置在圓盤區(qū)域內(nèi)

再考慮傳感器發(fā)生單故障F=diag(fs1,fs2)，其中0.67 ≤fs1≤1.3,0.3 ≤fs2≤1.6，在原有反饋控制器的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)部分極點(diǎn)跳出圓盤區(qū)域，如圖2所示，不再達(dá)到給定的H∞性能指標(biāo)，傳遞函數(shù)范數(shù)圖像如圖3所示。

在F=diag(fs1,fs2)，0.67 ≤fs1≤1.3,0.3 ≤fs2≤1.6的單故障前提下，重新設(shè)計帶有H∞性能指標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋可靠控制器。帶有可靠H∞控制器的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了期望的閉環(huán)極點(diǎn)，如圖4所示；且滿足H∞性能指標(biāo)，傳遞函數(shù)范數(shù)圖像如圖5所示。

圖2 部分極點(diǎn)跳出圓盤區(qū)域

圖3 傳遞函數(shù)H∞范數(shù)隨增益變化曲線

圖4 帶有可靠H∞控制器的圓盤區(qū)域

圖5 傳遞函數(shù)H∞范數(shù)隨增益變化曲線

5 結(jié)論

針對線性系統(tǒng)，本文研究了具有傳感器連續(xù)增益單故障的情況下，采用線性矩陣不等式（LMI）的處理方法，結(jié)合對連續(xù)增益故障模型凸組合處理，給出了閉環(huán)系統(tǒng)在圓盤約束下的可靠H∞控制器的設(shè)計方案。數(shù)值仿真結(jié)果說明帶有可靠H∞控制器的系統(tǒng)，分別在第一通道和第二通道出現(xiàn)傳感器故障時，閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)均在圓盤區(qū)域內(nèi)，所有傳遞函數(shù)H∞范數(shù)均小于給定的γ=1.3。這說明在在受到一定外界影響時，可靠H∞控制器優(yōu)于正常H∞控制器。