石志高

(福建江夏學(xué)院 數(shù)理教研部， 福建 福州 350108)

0 引 言

種群偏害關(guān)系是生態(tài)系統(tǒng)中種群間普遍存在的一種關(guān)系， 其主要特點是當(dāng)兩個種群生活在一起時， 一個種群對另一個種群起到抑制作用， 而自身卻不會受到影響．如胡桃樹分泌一種叫做胡桃醌的物質(zhì)， 它能抑制其他植物的生長.因此， 在胡桃樹下的土表層中是沒有其他植物的.Allee于1931年提出， 當(dāng)種群密度過低時， 生物會出現(xiàn)尋找配偶的困難， 以及其他社會功能的紊亂等， 導(dǎo)致物種的增長率下降， 這一現(xiàn)象將隨著物種種群數(shù)量的增加而逐步減緩并最終消失， 稱為Allee效應(yīng).種群的Allee效應(yīng)在很大程度上將增加種群滅絕的可能性， 會對生態(tài)學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響， 是廣大學(xué)者關(guān)注的焦點[1-7]， 但是當(dāng)前對具有Allee效應(yīng)的兩種群偏害、 偏利合作模型[8-12]的研究較少.祝占法等[8]研究了一類更為廣泛的偏害系統(tǒng)

(1)

所有參數(shù)均為正常數(shù)， 作者對系統(tǒng)(1)進(jìn)行了定性分析. Guan Xinyu[9]研究一類具有偏利共生系統(tǒng)

(2)

(3)

式中：a1,a2,b1,b2,c1,d1,y均為正常數(shù).作者研究了該系統(tǒng)的正平衡點的全局穩(wěn)定性.并指出Allee效應(yīng)不改變種群的平衡位置和穩(wěn)定性， 但沒有對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真以驗證相關(guān)結(jié)論．受上述啟發(fā)， 本文考慮一類第二種群具有Allee效應(yīng)的偏害系統(tǒng)， 探索Allee效應(yīng)對系統(tǒng)正平衡點的全局穩(wěn)定性的影響， 系統(tǒng)如下

(4)

1 主要結(jié)論

引理1

定理1系統(tǒng)(4)是持久的.

再由系統(tǒng)(4)的第一個方程

故有

系統(tǒng)(4)對應(yīng)的雅克比矩陣

J(x,y)=

故B(x*,y*)是局部漸近穩(wěn)定的.

定理3系統(tǒng)(4)的正平衡點B(x*,y*)是全局穩(wěn)定的.

證明由定理2可知正平衡點B(x*,y*)是局部漸近穩(wěn)定的， 若系統(tǒng)(4)在G={x,y|x>0,y>0}內(nèi)不存在極限環(huán)， 則該平衡點就是全局穩(wěn)定的.

由文獻(xiàn)[13]Dulac準(zhǔn)則可知， 系統(tǒng)(4)在G={(x,y)|x>0,y>0}內(nèi)不存在極限環(huán)， 所以正平衡點B(x*,y*)是全局穩(wěn)定的， 證畢.

2 數(shù)值仿真

下面通過取一組滿足系統(tǒng)(4)存在正平衡點情形的具體數(shù)據(jù)， 并通過Allee效應(yīng)中u的改變來觀察系統(tǒng)正平衡點穩(wěn)定性變化的情況， 來驗證Allee效應(yīng)對系統(tǒng)正平衡點全局穩(wěn)定的影響.取a1=2,a2=3,b1=0.5,c1=1,c2=4. 考慮系統(tǒng)

(5)

圖 1 u=0.5的數(shù)值仿真圖Fig.1 Numerical simulation when u=0.5

圖 2 u=3的數(shù)值仿真圖Fig.2 Numerical simulation when u=3

可以看出， 通過改變Allee效應(yīng)常量的值， 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的種群數(shù)量在一定時期內(nèi)發(fā)生了改變， 但隨著時間的推移， 最終都是趨于穩(wěn)定的， 即Allee效應(yīng)不會改變系統(tǒng)平衡點的全局穩(wěn)定性.從這個意義上講， Allee效應(yīng)對系統(tǒng)具有不穩(wěn)定的影響， 但這種影響是可控的.

3 結(jié) 論

本文通過對系統(tǒng)平衡點的分析發(fā)現(xiàn)， Allee效應(yīng)中的參數(shù)并不影響系統(tǒng)平衡點的存在性. 同時， 在系統(tǒng)存在全局漸近穩(wěn)定正平衡點的情形下， 對Allee效應(yīng)中的參數(shù)u進(jìn)行擾動， 數(shù)值仿真結(jié)果表明， 隨著參數(shù)u的變化，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間是不同的， 對系統(tǒng)正平衡點的最終全局穩(wěn)定性是沒有影響的， 即Allee效應(yīng)不影響種群的最終密度.