模糊需求下基于CVaR的供應鏈定價與協(xié)調

許民利，王竟竟，2+

(1.中南大學 商學院,湖南 長沙 410083；2.湖南人文科技學院 數(shù)學與金融學院，湖南 婁底 417000)

0 引言

近年來，供應鏈中產品的最優(yōu)定價決策和協(xié)調機制成為研究熱點。最優(yōu)定價決策是提高供應鏈收益的重要手段，協(xié)調機制是使制造商和零售商在分散供應鏈中協(xié)調運作的有效工具。通過設計協(xié)調契約可以消除供應鏈系統(tǒng)中出現(xiàn)的雙重邊緣化問題，從而最大化供應鏈系統(tǒng)的總利潤。在獲取供應鏈最優(yōu)定價決策和設計協(xié)調機制過程中，決策者面臨的困難之一是產品市場需求的不確定性，例如2015年的宏觀經(jīng)濟萎縮使中國的重型卡車銷量大幅減少了26%[1]。傳統(tǒng)的供應鏈建模側重于采用隨機不確定性來描述市場需求[2-4]。隨機不確定的市場需求假定中隱含的假設有足夠的數(shù)據(jù)可以對需求分布進行合理地近似，然而由于市場動蕩或技術創(chuàng)新，過去的數(shù)據(jù)并不總是可用或可靠的，例如新研發(fā)的產品在進行需求預測時沒有歷史數(shù)據(jù)，很難獲得市場需求的隨機分布。另外，在當今競爭激烈的市場中，較短的產品生命周期和不斷增長的創(chuàng)新率使需求變化極大，但有用的統(tǒng)計數(shù)據(jù)較少，在這些情況下采用概率論方法建?？赡懿皇亲罴堰x擇[5-7]。事實上，此時決策者對需求的決策依賴于自身判斷、以往經(jīng)驗、主觀意愿和專家知識等人為因素。對于需求的不確定性和非精確性，通常用“某某產品的需求大概為不少于b，不超過c”的模糊術語來描述，Zadeh提出的模糊集理論能夠很好地將決策者的主觀意愿、專家的知識等人為因素和現(xiàn)有的市場數(shù)據(jù)整合起來[8]，因此采用模糊不確定理論來刻畫市場需求的變動。

已有較多學者對模糊需求下的供應鏈定價和協(xié)調進行了研究[9-20]。Yang等[9]、Sang[10]研究了模糊決策環(huán)境下綠色供應鏈的最優(yōu)定價、最優(yōu)綠色度決策模型和分銷渠道決策問題；Soleimani[11]研究了模糊環(huán)境下雙渠道供應鏈的最優(yōu)定價決策；Zhao等[12]、Wang[13]、Wei等[14]、Zhao等[15]針對模型環(huán)境下的可替代性產品供應鏈在零售商競爭、橫向和縱向競爭、共同零售商等情形下的最優(yōu)定價決策問題進行了研究；Zhao等[16]進一步對對稱和非對稱信息條件下模糊閉環(huán)供應鏈的協(xié)調機制進行了研究；王寧寧等[17]、Sang[18]、湯春華等[19]研究了模糊環(huán)境和對稱信息下的供應鏈決策模型及協(xié)調機制；劉云志等[20]構建了模糊需求下具有公平偏好供應商的供應商管理庫存(Vendor Managed Inventory, VMI)供應鏈決策模型，并探討用批發(fā)價契約協(xié)調供應鏈。然而，以上研究都假設參與者是風險中性的，沒有將參與者的風險態(tài)度整合到閉環(huán)供應鏈優(yōu)化問題中，實際上由于全球化和縱向一體化的加劇，供應鏈變得非常復雜并且可能具有潛在的脆弱性。商業(yè)實踐活動和理論研究文獻中都報告了供應鏈風險的例子，例如，Ericsson在2000年位于墨西哥的半導體供應商遭遇起火后，損失了4億歐元[21]；臺灣地震導致蘋果公司在1999年失去了許多客戶訂單。高度波動的市場需求導致決策者通常厭惡風險，已有研究表明，決策者在進行最優(yōu)決策時往往不是完全理性的[22]，而是具有風險規(guī)避特性[23]，已有文獻尚未找到模糊需求下具有風險規(guī)避成員的供應鏈定價及協(xié)調的研究成果。

為彌補以上理論空白，本文研究模糊需求下具有風險規(guī)避成員的供應鏈定價及協(xié)調問題。風險規(guī)避的決策者面臨的一個關鍵因素是如何度量決策者的風險規(guī)避程度，在隨機需求供應鏈中，學者們大多選用風險價值(VaR)和條件風險價值(CVaR)來度量風險規(guī)避程度。風險價值存在沒有對尾部風險進行度量，不能滿足一致性公理的缺陷，而條件風險價值在理論上更為完善，因此大多學者選取條件風險價值作為風險分析工具[24-26]。例如簡惠云等[24]將條件風險價值作為風險度量準則，對風險規(guī)避型供應鏈決策模型進行了實證研究；陳宇科等[25]、代建生[26]基于隨機需求，將均值—條件風險價值作為風險度量準則，研究供應鏈協(xié)調機制。因此，本文考慮風險規(guī)避的制造商和零售商，選擇條件風險價值作為風險度量準則。另外，為使制造商和再制造商能夠基于自己的貢獻來獲得更加公平的收益，Jena等[27]設計了權重Shapley值的契約機制來協(xié)調閉環(huán)供應鏈中兩個制造商之間的渠道合作。不同于傳統(tǒng)的平均分配，Shapley值是根據(jù)盟員的貢獻對利益進行分配，比任何一種僅按資源投入價值、資源配置效率及將二者相結合的分配方式都更具合理性和公平性，本文在制造商和零售商之間設計了一個基于Shapley值的收益共享契約來協(xié)調供應鏈。

綜上所述，在已有文獻中尚未找到在模糊需求下具有風險規(guī)避成員的供應鏈定價及協(xié)調的研究成果。本文利用模糊變量來刻畫產品需求的不確定性，以條件風險價值為風險測量工具，分別建立了分散決策和集中決策下具有風險規(guī)避成員供應鏈的最優(yōu)價格決策模型，分析了風險規(guī)避系數(shù)和模糊市場參數(shù)對最優(yōu)決策和期望收益的影響，并設計了基于Shapley值的收益共享契約下的供應鏈協(xié)調機制。

1 問題描述與符號定義

(1)考慮由制造商和零售商構成的供應鏈，制造商生產產品的單位成本為cs，批發(fā)產品的批發(fā)價格為w。零售商銷售產品的零售價格為p，零售商扣除批發(fā)價格后的邊際單位產品成本(包括運輸費、庫存費等)為cr。

(2)假設產品的市場需求是模糊不確定的，D=A-Bp，其中A,B為梯形模糊數(shù)，A=(a1,b1,α1,β1)，B=(a2,b2,α2,β2)，由模糊數(shù)的運算法則有D=(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)。若模糊數(shù)A的隸屬函數(shù)為

(1)

則稱A為梯形模糊數(shù)，此處梯形模糊數(shù)的左寬度用α1表示，右寬度用β1表示，梯形模糊數(shù)的容許區(qū)間用[a1,b1]表示，并用A=(a1,b1,α1,β1)表示梯形模糊數(shù)。

(3)假設采取訂單生產制，零售商按照需求確定訂單，且在期末無存貨；制造商按照訂單進行生產，且其生產能力沒有限制。

(4)由梯形模糊數(shù)的運算法則，下標s,r,sc分別表示制造商、零售商、供應鏈，則制造商、零售商及供應鏈收益函數(shù)分別為：

πs(D)=(w-cs)D=(w-cs)

(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)；

(2)

πr(D)=(p-w-cr)D=(p-w-cr)

(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)；

(3)

πsc(D)=(p-cs-cr)D=(p-cs-cr)

(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)。

(4)

(5)

(6)CVaR又稱為條件風險價值，由Rockfellar等[30]提出，CVaR度量了低于η分位數(shù)的平均收益，能夠克服VaR度量風險的一些缺陷。根據(jù)CVaR的一般化定義[30-31]，若決策者關于需求D的利潤函數(shù)為π(D)，則決策者關于利潤函數(shù)的風險度量值CVaR為

(6)

式中：η∈(0,1]是分位數(shù)，為決策者的風險規(guī)避系數(shù)，η越小，決策者的風險規(guī)避程度越大，特別地，η=1表示決策者是風險中性的；E為期望算子。

2 模糊需求下基于條件風險價值的供應鏈定價策略

2.1 分散決策模型

在分散決策時，制造商和零售商遵從Stackelberg博弈，主導者為制造商，跟隨者為零售商，決策順序為：①制造商確定產品的批發(fā)價格；②零售商根據(jù)制造商的批發(fā)價格確定產品的最優(yōu)零售價格。

(1)為了得到Stackelberg均衡，求出零售商的反應函數(shù)，由條件風險價值的定義可得模糊需求下零售商的條件風險價值模型為

(7)

式中η1為供零售商的風險規(guī)避系數(shù)。

命題1在條件風險價值的度量準則下，制造商和零售商的二階段Stackelberg博弈模型中，風險規(guī)避型零售商的最優(yōu)零售價格決策為：

(8)

證明見附錄。特別地，當η1=1時，為風險中性時零售商的最優(yōu)零售價格決策。

(2)根據(jù)零售商的最優(yōu)價格p*求解最優(yōu)批發(fā)價格。在分散決策時，用η2表示制造商的風險規(guī)避系數(shù)，模糊需求下制造商的條件風險價值模型為

(9)

命題2在條件風險價值的度量準則下，分散決策下風險規(guī)避型制造商的最優(yōu)批發(fā)價格決策為：

(10)

特別地，當η1=η2=1時，為風險中性時制造商的最優(yōu)批發(fā)價格決策，將最優(yōu)零售價格和批發(fā)價格代入后可得制造商的期望收益為

2(b2+a2)p*-α1+β1+(α2-β2)p*)；

(11)

零售商的期望收益為

2(b2+a2)p*-α1+β1+(α2-β2)p*)。

(12)

由命題2可知，風險規(guī)避制造商的最優(yōu)批發(fā)價格除受模糊需求參數(shù)、制造商風險規(guī)避系數(shù)和成本參數(shù)的影響外，還與零售商的風險規(guī)避系數(shù)有關，當零售商和制造商的風險規(guī)避程度很強時，制造商進行決策極端保守，總是在最低可能需求基礎上進行價格決策；只要制造商或者零售商的風險規(guī)避程度不是很強，制造商進行價格決策時會考慮最低可能需求和最高可能需求，即作為渠道的領導者，制造商進行價格決策會同時考慮自身和參與者的風險規(guī)避程度。另外，由于最優(yōu)批發(fā)價格的表達式較復雜，本文將通過數(shù)值模擬來分析各參數(shù)對最優(yōu)批發(fā)價格的影響。

推論1在條件風險價值度量準則下，分散決策時有以下結論成立：

2.2 集中決策模型

在集中決策時，零售商和制造商的風險規(guī)避程度會對整個供應鏈的風險規(guī)避系數(shù)產生影響，供應鏈風險規(guī)避系數(shù)的具體表達式在不同文獻中有不同的表述，林強等[32]將供應鏈的風險規(guī)避系數(shù)表示為供應鏈系統(tǒng)中各成員風險規(guī)避系數(shù)的加權平均值，權重由各成員在供應鏈系統(tǒng)中的影響力決定，本文也采用該方法，并用η3表示供應鏈系統(tǒng)的風險規(guī)避系數(shù)，重點考慮供應鏈風險規(guī)避情形下的最優(yōu)價格決策。模糊需求下供應鏈系統(tǒng)的條件風險價值為

(13)

命題3在條件風險價值度量準則下，集中決策下供應鏈系統(tǒng)的最優(yōu)零售價格決策為：

(14)

特別地，當η3=1時，為集中決策下風險中性時的最優(yōu)零售價格決策，供應鏈的風險規(guī)避程度滿足η3=(1-λ)η1+λη2，其中λ由制造商和零售商在供應鏈中的影響力決定，λ∈[0,1]。供應鏈總的期望收益為

2(b2+a2)p*-α1+β1+(α2-β2)p*)。

(15)

由命題3可知，集中決策下，最優(yōu)零售價格受供應鏈的風險規(guī)避系數(shù)、模糊需求參數(shù)和成本參數(shù)的影響，命題1～命題3分別給出了分散決策和集中決策下最優(yōu)價格的封閉形式解，決策者可以輕松地計算出最優(yōu)價格決策，還可以分析模型參數(shù)對其最優(yōu)價格和期望收益的影響，決策者可以更好地了解供應鏈中不同因素對決策的影響情況，且有以下結論成立：

推論2在條件風險價值度量準則下，集中決策下有如下結論成立：

推論2說明，η1,η2,η3越小，p*越小。即η1,η2,η3越小，供應鏈的風險規(guī)避程度越大，決策者的決策會更加保守，因此決策者會降低產品的零售價格，使得市場需求增加，最終增加收益。

表時最優(yōu)零售價格決策與參數(shù)的關系

表2 ≤η3≤1時最優(yōu)零售價格決策與參數(shù)的關系

3 模型拓展——模糊需求下基于條件風險價值的供應鏈協(xié)調

通過數(shù)值模擬可知，相比分散決策情形，集中決策下有更高的供應鏈期望收益，因此設計收益共享契約機制來協(xié)調供應鏈。在收益共享中，制造商將產品以價格w*批發(fā)產品，完成銷售后，制造商和零售商共享收益，設共享系數(shù)為φ，表示制造商共享收益的比例，本文用Shapley值確定系數(shù)φ。Shapley值進行聯(lián)盟成員利益分配是基于各盟員對聯(lián)盟總目標的貢獻程度，能夠避免分配上的平均主義，比任何一種僅按資源投入價值、資源配置效率及將二者相結合的分配方式都更具合理性和公平性。由Shapley值的定義有

?i∈N。

(16)

局中人集合為{制造商，零售商}，制造商的貢獻值為E(πs(D))，零售商的貢獻值為E(πr(D))，總的貢獻值為E(πsc(D))，則由上述定義可得制造商分配利益的Shapley值為φ1[v]=0.5E(πs(D))+0.5(E(πsc(D))-E(πr(D)))，基于Shapley值確定的制造商收益共享系數(shù)為

(17)

命題4分散決策下，實行收益共享契約{φ,w*}的供應鏈系統(tǒng)要達到協(xié)調，其共享系數(shù)為

(18)

式中w*=φ(p*-cr)+(1-φ)cs。

證明求解E(πs(D))=φE(πsc(D))即可。

命題4表明，在收益共享契約{φ,w*}下，供應鏈能夠協(xié)調，通過簽訂契約，制造商以較低的批發(fā)價將產品批發(fā)給零售商，零售商將產品銷售給消費者后獲得產品收益，制造商和零售商共享產品收益，使供應鏈總體收益達到集中決策時的期望收益，而且制造商和零售商都獲得高于分散決策的期望收益，達到雙贏。

4 數(shù)值算例

設a1=600,b1=605,a2=15,b2=16,cs=9,cr=2。

(1)產品模糊市場需求的模糊程度對最優(yōu)決策和收益的影響

由D=(a1-b2p,b1-a2p,α1+β2p,β1+α2p)知，增加α1,β2使模糊需求的左寬度增加，而增加α2,β1使模糊需求的右寬度增加，因此對市場需求的模糊參數(shù)進行敏感性分析時，主要考慮α1,β2同時增加和α2,β1同時增加兩種情形。

1)假設制造商和零售商對風險的規(guī)避程度均較大，即η1=0.25,η2=0.25,而η3=(1-λ)η1+λη2，λ由雙方在整個供應鏈系統(tǒng)中的影響力決定，λ∈[0,1]，不失一般性，取λ=0.5，結果如表3所示。

表3 η1=η2=0.25時市場需求的模糊程度對最優(yōu)決策和收益的影響

續(xù)表3

從表3可以看出，當制造商和零售商對風險的規(guī)避程度較大時：①隨著α1,β2的增加，分散決策下，制造商會降低批發(fā)價格，零售商會降低零售價格，從而緩解雙重邊際效應，提高產品的市場需求，增加制造商和零售商的收益；集中決策下，產品的零售價格也會降低，但由于市場需求減少的可能性增加，使供應鏈整體收益減少，供應鏈協(xié)調下制造商和零售商的收益都會減少。②隨著α2,β1的增加，由于風險規(guī)避的決策者在規(guī)避風險的同時也犧牲了可能獲得的高收益，此時無論是分散決策還是集中決策，最優(yōu)價格決策都不會發(fā)生變化，然而，此時高需求出現(xiàn)的可能性增加，因此供應鏈及其成員的收益都會增加。

2)假設制造商和零售商對風險的規(guī)避程度較小，即η1=0.75,η2=0.75,而η3=(1-λ)η1+λη2，λ由雙方在整個供應鏈系統(tǒng)中的影響力決定，λ∈[0,1]，不失一般性，取λ=0.5。結果如表4所示。

表4 η1=η2=0.75時市場需求模糊程度參數(shù)對最優(yōu)決策及收益的影響

從表4可以看出，當制造商和零售商對風險的規(guī)避程度較小時：①隨著α1,β2的增加，模糊市場需求的左寬度增加時，無論是分散決策還是集中決策，產品的零售價格和批發(fā)價格都會降低，供應鏈整體收益和供應鏈成員的收益都會減少；②隨著α2,β1的增加，模糊市場需求的右寬度增加時，無論是分散決策還是集中決策，產品的零售價格和批發(fā)價格，以及供應鏈整體收益和供應鏈成員的收益都會增加。此時，市場需求模糊程度對最優(yōu)決策和期望收益的影響與文獻[33]考慮風險中性的制造商和零售商的結論一致。

(2)η1對最優(yōu)決策和期望收益的影響

取α1=2,β1=2,α2=0.2,β2=0.2,λ=0.5,η2=0.25,結果如圖1和圖2所示。

由圖1可以看出，隨著η1的減少，產品的最優(yōu)零售價格減少，最優(yōu)批發(fā)價格增加，與推論1結論一致。由圖2可以看出，隨著η1的減少，供應鏈和零售商的期望收益減少，制造商的期望收益增加；相比分散決策情形，收益共享契約下，制造商和零售商都會獲得更高的期望收益而達到雙贏，但η1對制造商和零售商期望收益的影響與分散決策情形時一致。

模糊需求下只考慮零售商的風險規(guī)避行為時，Ye等[34]指出，隨著零售商對風險規(guī)避程度的增加，制造商的期望收益會減少;而本文研究表明，若制造商本身對風險的規(guī)避程度也比較高，則隨著零售商對風險規(guī)避程度的增加，制造商會提高批發(fā)價格來規(guī)避風險，故其期望收益會增加。因此，對制造商來說，若其本身對風險的規(guī)避程度大，則應選擇風險規(guī)避程度大的零售商進行交易。

(3)η2對最優(yōu)決策和期望收益的影響

取α1=2,β1=2,α2=0.2,β2=0.2,λ=0.5,η1=0.25,結果如圖3和圖4所示。

由圖3可以看出，隨著η2的減小，最優(yōu)批發(fā)價格和零售價格都減小，與推論1結論一致。由圖4可以看出，隨著η2的減少，供應鏈和制造商的期望收益減少，零售商的期望收益增加，因此對零售商來說，若其本身對風險的規(guī)避程度大，則應選擇風險規(guī)避程度大的制造商進行交易；相比分散決策情形，收益共享契約下，制造商和零售商都會獲得更高的期望收益而達到雙贏，但η2對制造商和零售商期望收益的影響與分散決策情形時一致。

5 結束語

本文基于模糊需求，利用模糊條件風險價值風險度量準則，探討了風險規(guī)避的制造商和零售商的最優(yōu)價格決策及協(xié)調機制，得到以下研究結果：

(1)當市場需求的模糊程度發(fā)生變化時，不同于風險中性的制造商和零售商，若制造商和零售商對風險的規(guī)避程度較大，則隨著低需求出現(xiàn)的可能性增加，最優(yōu)價格決策會降低，隨著高需求出現(xiàn)的可能性增加，最優(yōu)價格決策會保持不變；風險規(guī)避程度較大的制造商和零售商規(guī)避風險的同時會喪失在市場需求可能增加情形下通過提高價格而獲得高收益的機會。

(2)模糊需求下，最優(yōu)價格受供應鏈成員風險規(guī)避程度的影響為：零售商的風險規(guī)避程度增加，最優(yōu)零售價格減少，最優(yōu)批發(fā)價格增加；制造商的風險規(guī)避程度增加，最優(yōu)零售價格減少，最優(yōu)批發(fā)價格減少。

(3)模糊需求下，不同于僅考慮風險規(guī)避零售商的情形，若制造商本身對風險的規(guī)避程度也較高，則零售商對風險的規(guī)避程度增加，制造商的收益會增加。對制造商來說，若其本身的風險規(guī)避程度大，則應選擇風險規(guī)避程度大的零售商進行交易；同理，對零售商來說，若其本身的風險規(guī)避程度大，則應選擇風險規(guī)避程度大的制造商進行交易。

(4)通過制造商和零售商之間簽訂基于Shapley值的收益共享契約，供應鏈能夠達到協(xié)調，相比分散決策情形，此時制造商和零售商都會獲得更高的期望收益而達到雙贏。

本文研究能夠讓管理者從需求為模糊不確定的角度認識到風險規(guī)避和市場模糊程度對最優(yōu)價格決策的影響。當然，未來還有很多問題有待進一步研究，例如模糊需求和模糊產量下的供應鏈問題，模糊需求和模糊質量下的供應鏈決策問題等。