林偉杰
【摘要】在日常生活、工作中,我們經(jīng)常使用推理。推理能力也是中學(xué)生必須要進(jìn)一步強(qiáng)化的一種能力?!稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程,發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn),做到言之有理,落筆有據(jù)。”在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力問題上,往年的初中升高中考試題是非常好的材料,多練習(xí)和評講它們,研究幾何題目論證推理的方法,對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和提升,大有好處。
【關(guān)鍵詞】推理能力;合情推理;演繹推理;綜合法;分析法;綜合分析法
數(shù)學(xué)除了數(shù)字的加減乘除運(yùn)算以外,還包括嚴(yán)密的邏輯推理。在日常生活、工作中,我們經(jīng)常使用推理。我們早上看到公路路面潮濕想到昨晚下過一場大雨;室內(nèi)財(cái)物被盜,門窗完好無損,警方想到熟人作案,或是盜賊技術(shù)開鎖的可能性,這些都是推理能力的運(yùn)用。推理能力也是中學(xué)生必須要進(jìn)一步強(qiáng)化的能力,它對于以后工作、生活非常重要。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對推理能力作了如下闡述:“推理能力主要表現(xiàn)在:能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想,并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例;能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程,做到言之有理,落筆有據(jù);在與他人交流的過程中,能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。”
推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。它分為合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理。演繹推理是指從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。
在解決問題的過程中,合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力問題上,筆者發(fā)現(xiàn),往年的初中升高中考試的試題是非常好的材料,多練習(xí)和評講它們,對學(xué)生的推理能力的培養(yǎng)和提升,大有好處。在幾何題證明過程中,證明思路的講解是重中之重。從哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā),幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來,能夠得出什么結(jié)論?對證明的結(jié)果有什么幫助?這些都是經(jīng)常要考慮的問題。
通常情況下,運(yùn)用推理來證明,有三種方法:一種方法是從已知條件入手,思考從已知條件可以推導(dǎo)出什么結(jié)論?這樣順推直至結(jié)論成立,這就是“由因?qū)Ч? 另一種方法是從結(jié)論著手,思考要使結(jié)論成立,需要具備哪些條件?這樣逆推直到需要的條件已經(jīng)具備,這種逆推的過程中,要不斷地向已知條件靠攏,這就是“執(zhí)果索因”。也可以順推與逆推相結(jié)合,從問題和已知條件這兩端向中間靠攏,從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口,這也叫“兩頭湊”。
“由因?qū)Ч币簿褪亲C明方法中的“綜合法”,“執(zhí)果索因”也就是證明方法中的“分析法”?!皟深^湊”也就是證明方法中的“綜合分析法”。標(biāo)題中的“綜合分析法”泛指以上三種方法。
一、在證明過程中,如何運(yùn)用分析法、綜合法、綜合分析法來推理?
下面用實(shí)例來說明。
1.綜合法(由因?qū)Ч?/p>
2.分析法(執(zhí)果索因)
此題也可以通過證△ADE≌△CFE,利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明DE=EF.有興趣的朋友可以自己去證明。
點(diǎn)評:本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”的內(nèi)容。讓學(xué)生對圖形作深入細(xì)致的觀察,再對其進(jìn)行深入細(xì)致的聯(lián)想思考,以尋求它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。其次,重視一題多解,一題多變,使學(xué)生的思維充分發(fā)散開、活躍開。
點(diǎn)評:證明線段的乘積相等關(guān)系往往是證明線段所在的兩個(gè)三角形相似。找相似條件是解題的關(guān)鍵。此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)。靈活運(yùn)用這些性質(zhì),用正確的思路,就能順利解決這兩個(gè)問題。
3.綜合分析法(從已知條件和問題的兩端向中間靠攏,也叫“兩頭湊”。)
點(diǎn)評:此題是探究型證明題,掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的前題,證兩條線段相等,往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在的三角形全等,關(guān)鍵是找兩個(gè)三角形全等的條件。在第二問中也考查了通過全等找出和GE相等的線段,從而證出關(guān)系是不是成立。
在證明過程中,當(dāng)一種思路不能順利解題時(shí),需要及時(shí)轉(zhuǎn)變思路。
分析:因?yàn)锳E與CE不在同一個(gè)三角形內(nèi),所以考慮添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,通過證明兩個(gè)三角形全等進(jìn)而得到AE=CE。如何構(gòu)造才能順利解題?下圖是容易想到的輔助線添加情形,但筆者發(fā)現(xiàn),都難于證明出結(jié)論。
若通過點(diǎn)B作BF⊥CE,證明兩個(gè)三角形全等,就能得到AE=CE。
二、在日常教學(xué)中,如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力
筆者認(rèn)為:應(yīng)該從如下幾方面著手:
1.幫助學(xué)生掌握好基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。數(shù)學(xué)推理需要從基本定理定義出發(fā),頭腦中要有相關(guān)的基本知識(shí)儲(chǔ)備,才談得上靈活運(yùn)用,發(fā)展能力。
2.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的情景,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。盡量創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的、感興趣的問題情境,激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。
3.有目的、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行推理論證的訓(xùn)練,提高學(xué)生推理論證的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)?、有針對性的、有步驟地安排學(xué)生練習(xí)相關(guān)題目,學(xué)生獨(dú)立思考與小組合作討論、探究、辯論相結(jié)合,提高書寫和口頭表達(dá)能力,做到“言之有理,落筆有據(jù)”。這是提高學(xué)生推理論證的能力的主要方法。
4.重視論證推理過程的教學(xué)。老師通過證明思路的講解,使學(xué)生掌握分析法、綜合法、綜合分析法的正確應(yīng)用,解題就有了思路。老師講解題過程時(shí)應(yīng)側(cè)重于講解條件與結(jié)論之間是如何建立聯(lián)系的?“授人以魚,不如授人以漁”說的就是這個(gè)道理。
5.批改學(xué)生作業(yè)和課堂提問時(shí),注重學(xué)生推理論證的正確性評價(jià)。批改作業(yè)時(shí),應(yīng)該精批細(xì)改,這樣一方面可以從中發(fā)現(xiàn)一些差錯(cuò),幫學(xué)生改正表達(dá)方法和論證方法,另一方面可能從中發(fā)現(xiàn)一些好的論證思路。教師把這些好的論證思路再次講給學(xué)生聽,既表揚(yáng)了思路新穎的同學(xué),又讓其它同學(xué)得到啟發(fā),是一個(gè)很好的開拓思維的方式。切忌只顧對照參考答案,把本身是正確的過程改錯(cuò)了。
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