小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)實(shí)踐研究

羅妍

摘要：數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型。在教學(xué)素材梳理的基礎(chǔ)上，通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)展學(xué)生合情推理能力，借助激勵(lì)評(píng)價(jià)讓學(xué)生的合情推理能力在“合情合理”中發(fā)展;使教師樹立培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的意識(shí)和相應(yīng)的教學(xué)策略;學(xué)生運(yùn)用合情推理解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行有條理的思考，比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);推理能力;合情推理

一、問題緣起——推理能力應(yīng)當(dāng)作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)

一次區(qū)級(jí)教研活動(dòng)中，聽了《思考的力量——費(fèi)馬點(diǎn)》一課，教師的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)都很到位，但是學(xué)生的回答不盡如人意。原因是課中有很多推理，而學(xué)生不會(huì)用語言來表達(dá)推理過程。

我們知道，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型。通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系?！巴评砟芰Α笔菙?shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的八大核心概念之一，正如課標(biāo)所說的“推理能力的發(fā)展應(yīng)該貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中?！?/p>

推理能力的形成和提高作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)需要一個(gè)長(zhǎng)期的循序漸進(jìn)的過程。在“數(shù)學(xué)思考”板塊，課標(biāo)對(duì)于三個(gè)學(xué)段“推理能力”也有不同要求：第一學(xué)段中只提到“能提出一些簡(jiǎn)單的猜想”，第二學(xué)段提出“發(fā)展合情推理能力”，第三學(xué)段提出“發(fā)展合情推理與演繹推理能力”。可見，小學(xué)階段著重培養(yǎng)的推理能力應(yīng)該是合情推理能力，課標(biāo)把發(fā)展學(xué)生合情推理能力的主要任務(wù)落實(shí)在了第二學(xué)段。于是，便有了本課題的研究。

二、問題的思考——尋找第二學(xué)段教材中適合發(fā)展合情推理的教學(xué)素材

能力培養(yǎng)立足課堂，素材尋找立足教材。在教材中，涉及“四大領(lǐng)域”的教學(xué)，我們都可以找到適合發(fā)展合情推理的教學(xué)素材。

1.在“數(shù)與代數(shù)”中培養(yǎng)合情推理能力

在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，計(jì)算要依據(jù)一定的“規(guī)則”——公式、法則、定律等。因而計(jì)算中有推理，現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系往往有其自身的規(guī)律。對(duì)于代數(shù)運(yùn)算不僅要求會(huì)運(yùn)算，而且要求明白算理，能說出運(yùn)算中每一步依據(jù)所涉及的概念運(yùn)算律和法則，代數(shù)不能只重視會(huì)熟練地正確地運(yùn)算和解題，而應(yīng)充分挖掘其推理的素材，以促進(jìn)思維的發(fā)展和提高。

2.在“圖形與幾何”中培養(yǎng)合情推理能力

在“空間與圖形”的教學(xué)中，既要重視演繹推理，又要重視合情推理。課標(biāo)指出：降低空間與圖形的知識(shí)內(nèi)在要求，力求遵循學(xué)生的心理發(fā)展和學(xué)習(xí)規(guī)律，著眼于直觀感知與操作確認(rèn)，多從學(xué)生熟悉的實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生動(dòng)手做一做，試一試，想一想，認(rèn)別圖形的主要特征與圖形變換的基本性質(zhì)，學(xué)會(huì)識(shí)別不同圖形;同時(shí)又輔以適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)說明，培養(yǎng)學(xué)生一定的合情推理能力。并為學(xué)生利用直觀進(jìn)行思考提供了較多的機(jī)會(huì)。學(xué)生在實(shí)際的操作過程中，要不斷地觀察、比較、分析、推理，才能得到正確的答案。

3.在“統(tǒng)計(jì)與概率”中培養(yǎng)合情推理能力

統(tǒng)計(jì)中的推理是合情推理，是一種可能性的推理，與其它推理不同的是，由統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無法用邏輯推理的方法去檢驗(yàn)，只有靠實(shí)踐來證實(shí)。因此，“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)要重視學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出推斷和決策的全過程。如：為籌備新年聯(lián)歡晚會(huì)，準(zhǔn)備什么樣的水果才能最受歡迎？首先應(yīng)由學(xué)生對(duì)全班同學(xué)喜歡什么樣的水果進(jìn)行調(diào)查，然后把調(diào)查所得到的結(jié)果整理成數(shù)據(jù)，并進(jìn)行比較，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)做出決策，確定應(yīng)該準(zhǔn)備什么水果。這個(gè)過程是合情推理，其結(jié)果只能使絕大多數(shù)同學(xué)滿意。

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，在教學(xué)中學(xué)生將結(jié)合具體實(shí)例，通過擲硬幣、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤、摸球、計(jì)算器（機(jī)）模擬等大量的實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)概率的某些基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單的概率模型，加深對(duì)其合理性的理解。

三、問題的實(shí)踐——教學(xué)中并重發(fā)展學(xué)生合情推理能力的三種基本形式

歸納、類比、猜想是合情推理能力的主要形式，在教學(xué)中我們要并重發(fā)展這三種基本的合情推理能力，當(dāng)然某些時(shí)候解決問題時(shí)這三種基本形式并不是獨(dú)立運(yùn)用，而是綜合運(yùn)用的。

1.從特殊到一般，發(fā)展學(xué)生的歸納推理能力

把某類事物中個(gè)別事物所具有的規(guī)律作為該類事物的普遍規(guī)律，這種思維過程中由特殊到一般的推理稱為歸納推理或稱歸納法。這是一種從個(gè)別到一般、從實(shí)驗(yàn)事實(shí)到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的手段。波利亞盛贊歐拉“是數(shù)學(xué)研究中善于用歸納法的大師，使用歸納法，也就是說，他憑觀察、大膽猜測(cè)和巧妙證明得出了許多重要的發(fā)現(xiàn)?！备咚挂苍f他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)。

在教學(xué)法則、定律、公式、結(jié)語及解題時(shí)經(jīng)常要進(jìn)行歸納推理，而且一般用的是不完全歸納法，用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定正確，還有待嚴(yán)格的證明。但是，不完全歸納法比較適合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，易于接受。

2.從特殊到特殊，發(fā)展學(xué)生的類比推理能力

類比推理是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象的某些方面（如特性、屬性、關(guān)系等）相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频乃季S形式，它是思維進(jìn)程中由特殊到特殊的推理。這也是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段。

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，類比的表現(xiàn)形式是多種多樣的。通?？煞譃楹?jiǎn)單的類比與復(fù)雜的類比兩類。簡(jiǎn)單的類比即形式的類比。如由“在除法算式中，除數(shù)不能為零”，類比推出“分?jǐn)?shù)的分母不能為零”和“比的后項(xiàng)不能為零”。復(fù)雜的類比即實(shí)質(zhì)的類比，這種類比能拓寬學(xué)生的知識(shí)面，引導(dǎo)他們挖掘數(shù)量間隱藏著的內(nèi)在聯(lián)系，掌握數(shù)量間可能引起的變化規(guī)律。

3.從聯(lián)想到驗(yàn)證，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪胗质呛侠硗评碜钇毡椤⒆钪匾囊环N，歸納也好、類比也好都包含猜想的成分。為了發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師應(yīng)該教給學(xué)生思維方法，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)具體問題和具體教材進(jìn)行分析，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，不僅有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，滿足學(xué)生的求知欲望，而且學(xué)會(huì)探求知識(shí)的方法。

數(shù)學(xué)猜想是運(yùn)用非邏輯手段得到的一種數(shù)學(xué)假設(shè)，它是人在探索數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)的一種策略。數(shù)學(xué)猜想不是胡思亂想，而是合理猜想，著名的歌德巴赫猜想就是經(jīng)過合理猜想而獲得的。既是猜想，不可能都是正確的，但是畢竟向真理逼近了一步。

四、問題的再思考——讓學(xué)生的合情推理能力在“合情合理”中發(fā)展

順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，讓他們知曉合情推理能力的重要性，進(jìn)而可以有效激發(fā)合情推理的熱情，促進(jìn)合情推理能力的形成。

1.讓學(xué)生知曉合情推理能力的重要性

（1）故事講述生活中運(yùn)用合情推理的好處

合情推理和論證推理一樣在數(shù)學(xué)和生活中都有廣泛的應(yīng)用。在社會(huì)生活中，醫(yī)生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰(zhàn)爭(zhēng)，人際交往等都應(yīng)用合情推理。一些科學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維，也主要是合情推理：量子力學(xué)方程是猜出來的;球體公式是阿基米德“稱”出來的;而現(xiàn)代仿生學(xué)則是類比推理在科技中應(yīng)用的杰出成果。

（2）運(yùn)用實(shí)例讓學(xué)生感受合情推理的優(yōu)勢(shì)

根據(jù)小學(xué)生年齡特征和認(rèn)識(shí)規(guī)律（動(dòng)作感知——建立表象——形成概念），我們應(yīng)積極創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對(duì)猜想進(jìn)行推理證明前所進(jìn)行的必要步驟。

如學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生提出“被除數(shù)變大后，除數(shù)不變，商也變大”等猜想，可以引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證“你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是不是在除法運(yùn)算中真的成立呢？”學(xué)生通過舉例、驗(yàn)證，有些表示贊同，有些甚至?xí)翢o疑問，但當(dāng)有一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)9÷3=3? 10÷3=3……1商并沒有變時(shí)，引起了激烈爭(zhēng)論：當(dāng)場(chǎng)就有一名學(xué)生提出反駁，“有了余數(shù)，就說明結(jié)果變大了”。學(xué)生在爭(zhēng)論操作感知時(shí)，對(duì)商不變性質(zhì)有了更深刻的體驗(yàn)，合情推理能力也得到了培養(yǎng)。

2.為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合情推理的民主氛圍

（1）建立融洽民主的師生關(guān)系

無論是概念教學(xué)、規(guī)則教學(xué)、還是技能教學(xué)、問題解決的教學(xué)都應(yīng)該堅(jiān)持“學(xué)生為中心”的教學(xué)設(shè)計(jì)理念。一個(gè)教師主宰的課堂是難以形成合情推理的氛圍。師生感情融洽也是參與教學(xué)的感情保證，而“知識(shí)情感”則是學(xué)生參與教學(xué)的“認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力”，教師要把學(xué)生的情感調(diào)整到樂于研究、探索問題上，讓學(xué)生在“尋找回來的世界中”動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口去探索猜測(cè)（要積極鼓勵(lì)各種猜測(cè)，不能只限定在教師的猜想中），在親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程中，提高應(yīng)用合情推理的技能。

（2）運(yùn)用激勵(lì)表揚(yáng)的言語誘導(dǎo)

教學(xué)中經(jīng)常結(jié)合教學(xué)內(nèi)容采用“你們覺得”“膽子大一點(diǎn)，猜猜看”等提問語以及“很不錯(cuò)，有自己的觀點(diǎn)”等鼓勵(lì)語往往可以激發(fā)學(xué)生合情推理并采用“我覺得”、“我認(rèn)為”等語言表述自己的觀點(diǎn)。這些有意識(shí)的言語誘導(dǎo)可能促進(jìn)學(xué)生自覺形成合情推理的意識(shí)。

3.引導(dǎo)學(xué)生在反思評(píng)價(jià)中培養(yǎng)合情推理能力

對(duì)學(xué)生合情推理的能力的培養(yǎng)與提高離不開學(xué)生對(duì)其“提出猜想——檢驗(yàn)”;“修正猜想——驗(yàn)證、證明”這一學(xué)習(xí)過程的反思。無論是提出猜想的過程、修正猜想還是驗(yàn)證猜想的過程都必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆此迹ㄟ^反思可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)猜想的提出必須要有合理性且充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受驗(yàn)證和證明的必要。反思也是提高學(xué)生提出猜想的質(zhì)量，修正猜想的能力和驗(yàn)證猜想的能力必不可少的重要一環(huán)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的必要條件。

總之，在學(xué)生進(jìn)行合情推理的過程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指導(dǎo)者，必須對(duì)學(xué)生的合情推理進(jìn)行積極地評(píng)價(jià)，尤其對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)體會(huì)教師要進(jìn)行及時(shí)的、有效的分析和概括，幫助學(xué)生對(duì)解決問題的方法進(jìn)行提煉和哲學(xué)思考。

四川師范大學(xué)