孫春紅
摘?要:翻折是初中數(shù)學(xué)??碱}型,翻折類的題目也可以有多種解法.而一題多解是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),感悟數(shù)學(xué)思想的有效途徑;通過多角度思考和挖掘解題過程不僅有利于提高學(xué)生的思考能力,更有利于實現(xiàn)知識知識內(nèi)部融會貫通,進(jìn)一步提高學(xué)生的發(fā)散思維,增進(jìn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解,感受數(shù)學(xué)的價值及知識間的內(nèi)在聯(lián)系.
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素養(yǎng);舉一反三;融會貫通
中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2020)17-0002-02
本文以蘇科版七年級下冊第42頁第七章復(fù)習(xí)題第19題為例,探索一題多解,可以提高學(xué)生的舉一反三能力,激發(fā)學(xué)生尋找最優(yōu)解的動力,可以更好地提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),有利于提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神.
題目?如圖,將△ABC紙片沿DE折疊,使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置.探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
方法一:用三角形的內(nèi)角和定理和鄰補角的知識
分析?如圖2,因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠3=∠4,∠5=∠6.要求∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系,可以從問題出發(fā),思考∠A如何表示,∠1,∠2如何表示.在△ADE中∠A=180°-(∠3+∠5),∠1=180°-(∠3+∠4),∠2=180°-(∠5+∠6).
解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠3=∠4,∠5=∠6.
設(shè)∠3=∠4=x, ∠5=∠6=y,因為在△ADE中∠A=180°-(∠3+∠5),所以 ∠A=180°-(x +y).
因為∠AEA′與∠1互補,所以∠1=180°-∠AEA′=180°-(∠3+∠4)=180°-2x.
因為∠ADA′與∠2互補,所以∠2=180°-∠ADA′=180°-(∠5+∠6)=180°-2y,即∠1+∠2=360°-2(x +y).
所以∠1+∠2=2∠A.
方法二:用三角形的外角解決問題
分析?如圖2,因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠3=∠4,∠5=∠6.因為∠BED和∠CDE分別為△ADE的外角,而且∠BED既可以用∠A和∠5表示,又可以用∠1和∠4表示;同理∠CDE可以用∠A和∠3表示,也可以用∠2和∠6表示.根據(jù)等式的性質(zhì)可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.
解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠3=∠4,∠5=∠6.
因為∠BED和∠CDE分別為△ADE的外角,所以∠BED=∠A+∠5,∠CDE=∠A+∠3.
又因為∠BED=∠1+∠4,∠CDE=∠2+∠6,所以∠A+∠5=∠1+∠4 ①,∠A+∠3=∠2+∠6 ②.
①+②得2∠A+∠5+∠3=∠1+∠4+∠2+∠6,即2∠A=∠1+∠2.
方法三:用平角和三角形的內(nèi)角和定理
分析?如圖2,因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠3=∠4,∠5=∠6.由∠AEB=180°可知∠1+∠3+∠4=180°,由△A′DE的內(nèi)角和為180°,可知∠A′+∠4+∠6=180°,再根據(jù)等式的性質(zhì),可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.
解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠A=∠A′,∠3=∠4,∠5=∠6.
因為∠AEB=180°,△A′DE的內(nèi)角和為180°,所以∠1+∠3+∠4=180°,∠A′+∠4+∠6=180°, 所以∠1+∠3=∠A+∠6. ①
同理 ∠2+∠5=∠A+∠4. ②
①+②得∠1+∠2=2∠A.
方法四:三角形內(nèi)角和定理和平角的知識
分析?如圖2,因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠3=∠4,∠5=∠6.由于△ADE的內(nèi)角和為180°,∠A可以用180°-(∠3+∠5)表示,而∠3可以用∠1的代數(shù)式表示,∠5可以用∠2的代數(shù)式表示,再經(jīng)過化簡可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.
解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠A=∠A′,∠3=∠4,∠5=∠6.
因為在△ADE中∠A=180°-(∠3+∠5),而∠3=12180°-∠1=90°-12∠1,∠5=12180°-∠2=90°-12∠2,所以∠A=180°-90°-12∠1-(90°-
12∠2),即∠A=12(∠1+∠2).
方法五:運用四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角解決問題
分析?如圖2,因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠1+∠2也在四邊形BCDE中,由四邊形BCDE的內(nèi)角和為360°,可以表示出∠1+∠2,而其中∠4+∠6和∠B+∠C又可以分別用∠A表示,再經(jīng)過化簡可以表示出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系.
解?因為三角形紙片ABC沿DE折疊,所以△ADE△A′DE,∠A=∠A′,∠3=∠4,∠5=∠6.
因為四邊形BCDE的內(nèi)角和為360°,所以∠1+∠2=360°-(∠4+∠6+∠B+∠C).
因為△ADE和△A′DE的內(nèi)角和為180°,所以∠4+∠6=180°-∠A′,∠B+∠C=180°-∠A,所以∠1+∠2=2∠A.
參考文獻(xiàn):
[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
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