摘 要：不等式證明由于方法多樣，技巧性強(qiáng)，證明不等式一般無固定規(guī)律可循，有一定難度.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于：理解不等式證明中所需的思想方法，熟練運(yùn)用不等式的性質(zhì)，對(duì)于有些不等式的證明，通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)元、構(gòu)造、拆分，再結(jié)合重要不等式進(jìn)行證明，如：平均值不等式，柯西不等式，排序不等式等，便可找到簡單的證明途徑.本文以一道題為例，用多種解法體會(huì)不等式證明中所蘊(yùn)含的思想方法.

關(guān)鍵詞：設(shè)元;構(gòu)造;拆分

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0047-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：李寧英（1971.11-），女，新疆克拉瑪依人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

題目 已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，求證：x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤34.

方法1 恰當(dāng)設(shè)元后利用平均值不等式進(jìn)行證明.

評(píng)析 方法1利用平均值不等式證明的關(guān)鍵是分拆和轉(zhuǎn)化，直接不好分拆時(shí)考慮重新設(shè)元，將分母設(shè)元后，將分母變簡單，拆項(xiàng)后利用均值不等式，注意均值不等式等號(hào)成立的條件.

方法2 恰當(dāng)設(shè)元后將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化.

原不等式得證.

評(píng)析 方法2通過觀察原式的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行設(shè)元，將原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，將要證的不等式變得簡潔，然后再利用柯西不等式進(jìn)行證明.

方法3 利用調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系證明.

評(píng)析 方法3巧妙利用調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題目中有關(guān)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，將原式代數(shù)變形后，為運(yùn)用調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系創(chuàng)造條件，算術(shù)-調(diào)和平均值不等式的變形：1a+b≤14（1a+1b），在許多不等式證明中都有著廣泛的應(yīng)用.

方法4 構(gòu)造兩組數(shù)，利用排序不等證明.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立.

所以x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤34 得證.

評(píng)析 應(yīng)用排序不等式，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)便于排序的數(shù)組是關(guān)鍵，一般都采用“不防設(shè)”的技巧進(jìn)行排序，借助這種大小順序進(jìn)行適度的“放縮”，再利用不等式的性質(zhì)從而得證.

方法5 巧妙拆分后利用柯西不等證明

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立.

評(píng)析 根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，觀察左邊每一項(xiàng)分子、分母關(guān)系，進(jìn)行拆分，約掉分子、分母的共同因式，然后再利用柯西不等式進(jìn)行證明.

通過不等式證明的五種方法，希望對(duì)不等式證明中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法加以梳理，從而找到解決不等式證明的一般方法，大家在今后處理類似問題時(shí)加以運(yùn)用和體會(huì).

參考文獻(xiàn)：

＼[1＼]安振平.證明不等式不妨從排序方法開始＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2015（06）：58-61.

[責(zé)任編輯：李 璟]