為什么使用弧度制

在初中數(shù)學(xué)中，我們用“度”數(shù)來表示兩條直線之間夾角的大小，比如，360度表示圓周角，180度表示平角，90度表示直角，諸如此類.進(jìn)入高中階段后，我們把角的單位，由“度”換成了“弧度”.這時，圓周角表示為2π，平角表示為π，直角表示為[π2].那么，我們?yōu)槭裁匆牖《饶兀?/p>

一、簡約的要求

角度制在初等數(shù)學(xué)及各種實(shí)用幾何中應(yīng)用較為廣泛.在高等數(shù)學(xué)中，運(yùn)用弧度制，會給我們計算面積、弧長以及解決微積分中的有關(guān)三角函數(shù)問題等帶來便利.

從圖1的極限函數(shù)圖象中，我們不難看出，只有弧度制才滿足極限[limx→0sinxx=1].假如用角度來表示的話，那么[limx→0sinxx=π180]，看起來不夠簡潔.而且只有滿足[limx→0sinxx=1]這個條件，才會有[（sinx）′=cosx，] [（cosx）′=-sinx]這樣更簡潔的公式出現(xiàn).就因?yàn)橛辛诉@樣的簡潔公式，正（余）弦函數(shù)才能有更簡單的表達(dá)形式：[sinx=x-x33！+x55！-…]，才會有如此簡潔的歐拉公式：[eiθ=cosθ+isinθ]，然后才會產(chǎn)生各種偉大的數(shù)學(xué)成果.如果我們用角度單位表示的話，那么[（sinx）=π180cosx，（cosx）′=-π180sinx].運(yùn)用這樣的公式進(jìn)行計算或表示太過復(fù)雜，會給我們帶來很多的困擾.所以，為了使這些公式和算式的形式更加簡潔，我們必須選擇弧度制.

二、使描述統(tǒng)一

事實(shí)上，使用弧度制的另外一個原因在于方便測量以及對與角相關(guān)理論的延伸和推廣.我們平時所說的角，一般是指平面角，就是兩條同源射線的張開程度.怎么測量這個張開的程度呢？我們可以先把一個圓周角分為360份，每一份叫作1°，然后再進(jìn)行細(xì)分，將1°分成60份，每一份叫作1′，將1′分成60份，每一份叫作1″.于是有了1°=60′，1′=60″這樣的變換法則.這個變換法則很容易讓我們認(rèn)為“度”是一個實(shí)在的單位，用物理學(xué)的語言說，角度具有量綱.但事實(shí)上，角度是沒有量綱的，它不像長度、時間那樣具有實(shí)在的單位.我們所說的度、分、秒是人為給定的，不能反映其物理的實(shí)在意義.其實(shí)，表示兩條射線的張開程度，不一定需要用上面的“度”，只需要長度之比就可以將其表示出來.比如說，在一條射線上任取一點(diǎn)，往另外一條射線上作高，構(gòu)成一個直角三角形，其高與斜邊之比，也就是[sinθ]的值，它就代表了這個張開的程度.但在這里，[sinθ]是不隨[θ]的勻速變化而勻速變化的（不成線性關(guān)系），這樣用起來很不方便.后來，數(shù)學(xué)家從一個新的角度巧妙地定義角度：如圖2，以角的交點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑作一個單位圓，那么這個角所截的弧的長度就是角的大小.因此，角實(shí)際上是弧長與半徑之比，既然它是一個比值，自然就沒有量綱了！我們知道，運(yùn)用弧度制，弧長[l=Rθ]，這就是弧度的定義！

這個從新的角度給出的角的定義，很容易讓我們將其推廣到“立體角”的概念：從一點(diǎn)引出三條或三條以上的射線，并且以這點(diǎn)為球心作單位球，這些射線在單位球上截出的球面多邊形的面積，就是這個立體角的大小，如圖3.這樣的推廣顯然是成立的，也是很有用的.

利用弧度制，不僅可以用更簡潔的方式將數(shù)學(xué)式子表示出來，而且讓角有了統(tǒng)一的描述，有了更加科學(xué)的定義.弧度制充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)體系的一致性和簡約性.不得不說，弧度制是人類取得的一個偉大成果.