例談解答幾何體外接球問題的方法

谷凌云

有關(guān)幾何體的外接球問題是近幾年來高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.解答這類問題，需要靈活運(yùn)用幾何體的性質(zhì)，射影定理，球的體積公式、表面積公式等知識(shí).下面，我們通過幾個(gè)例題來探討一下解答有關(guān)幾何體外接球問題的方法.

例1.已知正三棱錐P—ABC的4個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上且PA= ，AB=2.求球O的半徑.

解析：本題主要考查了正三棱錐的定義與性質(zhì)以及正三棱錐外接球半徑的求法. 一般地，若正棱錐底面外接圓的半徑為r，高為P =h，其外接球的球心為O、半徑為R，由正棱錐的性質(zhì)可得O點(diǎn)在射線P 上，則 .我們可以利用該思路來解題.

解：如圖1，分別取BC、AC的中點(diǎn)D、E，連接AD、BE交于 ?，則 為正三角形ABC的外心，連接P .

P—ABC是正三棱錐，由正棱錐的性質(zhì)和射影定理可得外接球的球心 O 在射線P 上，

AD= AB= ， A = ，令A(yù)O=R，O =|R- |，A = ，由勾股定理可得 = + ， ?= + ， R= .

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?   ? 圖3

例2.在三棱錐P-ABC中，已知PA 平面ABC， BAC= ，PA=AB=AC=2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為多少.

解析：本題主要考查了三棱錐的性質(zhì)以及三棱錐外接球半徑的求法.我們可以根據(jù)三棱錐的性質(zhì)作出相應(yīng)的輔助線，利用球的表面積計(jì)算公式來求得該球的表面積.

解：如圖2，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，延長AD到 ，使D =AD，過 作E ?平面ABC于 ， 設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O，連接OA，設(shè)外接球的半徑為R，

是 ABC外接圓的圓心，在Rt A O 中，AO=R，

ABC是等腰三角形， BAC= ，

O = PA=1，A =AC=2， = + ，

=1+4， R= ， ?=4 ?=4 5 = 20 .

求解有一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐外接球的半徑，常規(guī)方法有兩種：

方法一：設(shè)椎體的高為h，由幾何體的性質(zhì)和射影定理可得外接球的球心O在過底面外接圓的圓心 和底面垂直的射線上，且O = ，令椎體的底面外接圓半徑為r、外接球半徑為R，則有 ;方法二：將該幾何體補(bǔ)成直棱柱，運(yùn)用直棱柱的性質(zhì)來解題.

例3.已知在三棱錐A-BCD中，AB=CD= ，AC=BD= ，AD=BC= ，求三棱錐A-BCD的外接球直徑.

解：因?yàn)槿忮FA-BCD三組對棱的棱長分別相等，故可以將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)長方體，設(shè)長方體的棱長分別為a，b，c，

則 ，

所以長方體對角線的平方為 ，設(shè)長方體的外接球半徑為R，所以其外接球直徑

總之，解答有關(guān)幾何體外接球問題的基本思路是：①根據(jù)幾何體底面的幾何圖形，確定底面多邊形外接圓的圓心 ;②過底面外接圓的圓心作底面的垂線，在所作垂線上確定幾何體外接球的球心O;③構(gòu)造以外接球半徑為斜邊、O 為一直角邊的直角三角形;④在構(gòu)造的直角三角形中求出外接球的半徑R;另一種方法就是補(bǔ)形法，將幾何體補(bǔ)成我們所熟悉的正方體或長方體，利用正方體或長方體的體對角線求幾何體外接球的直徑.

（作者單位：安徽省蚌埠市固鎮(zhèn)縣第一中學(xué) ）