妙用橢圓積分計算單擺周期

胡上東

摘 要：根據(jù)2003年頒布的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》對單擺周期公式的要求：（1）通過實驗，定性探究單擺的周期與擺長的關(guān)系;（2）知道單擺周期與擺長、重力加速度的關(guān)系。根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)，不要求對單擺的周期公式進(jìn)行推導(dǎo)。作為新課程實施教學(xué)的一線教師，對單擺周期公式的推導(dǎo)過程要知其所以然，才能對學(xué)生實施更好的教學(xué)。筆者用數(shù)學(xué)分析中的橢圓積分進(jìn)行推導(dǎo)，供大家教學(xué)中參考。

關(guān)鍵詞：新課程;單擺周期;推導(dǎo)過程;橢圓積分

山東科學(xué)科技出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《物理》選修3—4第一章“單擺”這一節(jié)中，提出了單擺的周期與擺長l的平方根成正比，與重力加速度g的平方根成反比，與振幅、擺球的質(zhì)量無關(guān)，并確定了單擺的周期公式T，這些課本只用了一句話代過，卻沒有特別地加以說明，筆者也翻閱了其他版本的教材，大部分教材都沒有對此公式進(jìn)行推導(dǎo)證明，只有一小部分輔導(dǎo)材料用了簡諧振動的微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)過程中計算相對會復(fù)雜一些，就這問題筆者用數(shù)學(xué)分析中的橢圓積分進(jìn)行推導(dǎo)，供大家教學(xué)中參考。

如圖1所示，由一根不可伸長、不計質(zhì)量的繩長為l，一端固定，另一端系質(zhì)量為m的小球組成的單擺，O點為擺的平衡位置。

為了研究擺動的一般規(guī)律，設(shè)單擺的最大擺角為α，當(dāng)擺角為θ時，速度大小為v，此時擺球的動能為，重力勢能為（取最低點O重力勢能為0），根據(jù)機(jī)械能守恒定律（不考慮空氣阻力）有：

（其中C為常數(shù)）（1）

根據(jù)邊界條件：（α為單擺的最大擺角），代入（1）式可得常數(shù)，故（1）式可轉(zhuǎn)化為

（2）

又，代入（2）中可得：

（3）

兩邊開根號可得：

又

所以：（4）

根據(jù)（4），若從平衡位置O點算起，從O點到P所需的時間t可表示為

（5）

由于θ范圍未知，可作如下代換

兩邊微分：

即（5）式可作如下轉(zhuǎn)換

（6）

（在《數(shù)學(xué)分析》中將類型的積分，稱為第一類橢圓積分）

這時候我們注意到剛才做的代換：

當(dāng)θ=α?xí)r，;當(dāng)θ=0時，φ=0;所以

所以周期公式可以表示為：

（7）

由（7）可以看出，只有當(dāng)α很小時，，

從而有：

通常說的單擺是指一般非線性擺在擺角振幅很小時的情形。等時擺，周期與振幅的大小無關(guān)，是一種理想的模型。

參考文獻(xiàn)

[1]《中學(xué)新課標(biāo)資源庫（物理卷）》，北京工業(yè)大學(xué)出版社，教育部《基礎(chǔ)教育課程》編輯部組織編寫。

[2]《數(shù)學(xué)分析》第二版，高等教育出版社，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋、金福臨、朱學(xué)炎、歐陽光中編。