例談高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的解題思路

姚柯帆

摘 要：函數(shù)貫徹整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，因題型復(fù)雜多變，較為抽象，解題難度較大，是各類測(cè)試中失分較嚴(yán)重的題型。教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)通過(guò)講解具體例題，傳授不同函數(shù)題型的解題思路，幫助學(xué)生迅速找到解題突破口，提高函數(shù)題型的解題水平與效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù);解題思路

高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路較多，包括分離參數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合法。為使學(xué)生靈活應(yīng)用這些解題方法，順利、正確解答高中函數(shù)試題，提高函數(shù)試題解題能力，教師應(yīng)詳細(xì)列出相關(guān)題型的解題步驟，使學(xué)生深刻感受、領(lǐng)悟，徹底掌握。

1.分離參數(shù)法解題

解答函數(shù)恒成立試題時(shí)，部分題型可將參數(shù)分離出來(lái)，而后求解另一邊函數(shù)式的最大值或最小值，此時(shí)要想恒成立，則需滿足參數(shù)小于函數(shù)式的最小值或大于函數(shù)式的最大值即可。

例1：已知f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x4。如果f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]上恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為_(kāi)____。

分析：解答該題目時(shí)需要利用已知條件，將函數(shù)中的“括號(hào)”去掉，而后通過(guò)分離參數(shù)法進(jìn)行求解，具體解題過(guò)程為：

∵當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x4，即，在（0，+∞）上單調(diào)遞增

又∵f（x）為R上的奇函數(shù)，因此，f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)。

又∵4f（x）=f（x），即，f（x+t）≤4f（x）等價(jià)于f（x+t）≤f（x）

則只要求出x+t≤x，在x∈[1，16]上恒成立即可。分離參數(shù)得t≤（-1）x

顯然只要t小于等于（-1）x的最小值即可，顯然當(dāng)x=1時(shí)（-1）x取得最小值-1，因此，t的最大值是-1。

2.換元法解題

通過(guò)換元可將復(fù)雜的函數(shù)式化成簡(jiǎn)單的參數(shù)，不僅更加容易利用所學(xué)，而且計(jì)算的復(fù)雜度大大降低，明顯提升解題效率，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)注重?fù)Q元法的應(yīng)用講解，使學(xué)生徹底掌握，靈活應(yīng)用。

例2：已知函數(shù)f（x）=4x-m·2x+1，若存在實(shí)數(shù)x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___。

分析：解答該題時(shí)，先根據(jù)函數(shù)表達(dá)式代入實(shí)數(shù)x0，而后研究代入x0后的表達(dá)式，采用換元法最終求解。

假設(shè)存在實(shí)數(shù)x0，滿足f（-x0）=-f（x0）成立則

因此，+4x0=2m（+2x0），令t=2x0（t>0），則+t2=2m（+t）令λ=+t（λ≥2），因此，2m=λ-，令g（λ）=λ-，分析得知g（λ）在[2，+∞）為增函數(shù)，則2m≥g（2）=1，因此，m≥。

3.數(shù)形結(jié)合法解題

解答高中函數(shù)試題時(shí)，借助相關(guān)圖形，可直觀的觀察出參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算便可得出正確結(jié)果，解題效率明顯提高，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)結(jié)合法解題，使學(xué)生養(yǎng)成使用數(shù)形結(jié)合法解答函數(shù)試題的良好習(xí)慣。

例3：已知函數(shù)f（x）滿足f（x）1=，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x。若在區(qū)間（-1，1]上g（x）=f（x）-mx-2m的圖像和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為：____。

分析：解答該題目時(shí)，根據(jù)已知條件求解出f（x）的表達(dá)式，而后利用數(shù)形結(jié)合法，得出函數(shù)圖像間的關(guān)系，經(jīng)過(guò)分析便可得出結(jié)果。

∵-1

則f（x+1）=x+1，即，f（x）=-1=-1

因此，f（x）=

令g（x）=f（x）-mx-2m=0，則f（x）=mx+2m

畫(huà)出如圖1所示的圖

由圖形易知m∈（0，]。

4.結(jié)論

高中數(shù)學(xué)函數(shù)題目復(fù)雜多變，部分題目解答時(shí)需要一定的技巧，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高，因此，教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)通過(guò)講解經(jīng)典例題，使學(xué)生掌握不同題型的解題方法，掌握函數(shù)試題的解題規(guī)律，迅速找到解題思路，高效解題。

參考文獻(xiàn)

[1]王振新.高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路教學(xué)探究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2018（09）：114.

[2]孫金君.高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路探究[J].數(shù)理化解題研究，2018（12）：8-9.

[3]任博洋.高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的解題思路初探[J].考試周刊，2018（16）：84.