黨麗琴，盧道明

(武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，福建 武夷山 354300)

0 引言

光場(chǎng)量子態(tài)的構(gòu)建及其非經(jīng)典效應(yīng)，如壓縮效應(yīng)、反聚束效應(yīng)、亞泊松分布等的研究是量子光學(xué)和量子信息處理領(lǐng)域中的熱門課題。目前，有關(guān)量子態(tài)構(gòu)建的理論和實(shí)驗(yàn)方案，以及它的量子特性的討論等，已有大量研究報(bào)道[1-6]。在量子態(tài)構(gòu)造方面，利用算符作用在參考態(tài)上產(chǎn)生新的量子態(tài)是一種有效的方法。該方法，最早于1991年，由Agarwal和Tara[3]提出。近年來(lái)，研究者們已提出許多利用該方法產(chǎn)生新的量子態(tài)的方案[7-15]。例如，Xu等[7]引入了雙模激發(fā)相干態(tài)，并討論了它的壓縮效應(yīng)。Zhang等[8]構(gòu)建了雙模激發(fā)糾纏相干態(tài)。孟祥國(guó)等[9]討論了增光子奇偶相干態(tài)的Wigner函數(shù)。實(shí)驗(yàn)上，Zavatta等[16]成功制備了單光子激發(fā)相干態(tài)。據(jù)查閱資料，到目前為止，對(duì)光子增壓縮真空態(tài)的壓縮效應(yīng)，反聚束效應(yīng)和亞泊松統(tǒng)計(jì)性質(zhì)等量子特性的研究，還未見(jiàn)報(bào)道。為此，我們利用產(chǎn)生算符作用在壓縮真空態(tài)上，構(gòu)建了m-光子增壓縮真空態(tài)，導(dǎo)出其歸一化系數(shù)，并采用數(shù)值計(jì)算方法討論了算符作用次數(shù)和壓縮參數(shù)對(duì)其量子特性的影響，旨在為實(shí)驗(yàn)研究提供參考。

1 m-光子增壓縮真空態(tài)的構(gòu)建

將壓縮參數(shù)為λ的單模壓縮算符

(1)

式中a+(a)是玻色產(chǎn)生(湮沒(méi))算符，作用在真空態(tài)|0〉上，得到單模壓縮真空態(tài)Insechλ

|φ(0)〉=S(λ)|0〉。

(2)

再將產(chǎn)生算符a+m次重復(fù)作用在|φ(0)〉上，構(gòu)建m-光子增壓縮真空態(tài)(PASVS)。它表示為

|φ〉m=Nma+mS(λ)|0〉,

(3)

式中Nm為歸一化常數(shù)。利用單模壓縮變換

S+(λ)a+S(λ)=a+coshλ-asinhλ,

(4)

和算符公式[17]

(5)

式中Hm是m階厄密多項(xiàng)式,它產(chǎn)生函數(shù)表達(dá)式為

(6)

那么

(7)

式中x=cothλ,結(jié)合勒讓德多項(xiàng)式表示式

求得歸一化系數(shù)為

(8)

2 壓縮效應(yīng)

光場(chǎng)的壓縮效應(yīng)可用2個(gè)正交分量的漲落來(lái)描述。為此，定義光場(chǎng)的2個(gè)正交分量為

(9)

它們滿足對(duì)應(yīng)關(guān)系

(10)

(11)

那么，Yi<0(i=1,2)表示Fi分量被壓縮。利用(3)式，求得

〈a〉=〈a+〉=0，

tanh2λ)-3/2]|x=-1

〈a2〉=〈a+2〉。

(12)

在上式的計(jì)算過(guò)程中，已利用積分公式

(13)

積分收斂條件Re(λ+f+g)<0或Re(λ-f-g)<0。

產(chǎn)生算符作用次數(shù)m分別取1，2，3，4，5，6時(shí)，壓縮參量Y1隨壓縮參數(shù)λ的演化曲線如圖1所示。從圖1中可見(jiàn)，壓縮參數(shù)λ大于閾值后，Y1分量才展示出壓縮效應(yīng)，并且隨壓縮參數(shù)增大壓縮效應(yīng)增強(qiáng)。隨算符作用次數(shù)m增大，Y1分量最大壓縮深度逐漸增大。m分別取1，2，3，4，5，6時(shí)，在λ為[0,1]的數(shù)值區(qū)間內(nèi)，Y1分量最大壓縮深度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果分別為：-0.148 5，-0.151 21，-0.158 8，-0.163 09，-0.165 36和-0.166 67。這表明增加算符作用次數(shù)對(duì)壓縮效應(yīng)有利。

圖1 Y1隨壓縮參數(shù)λ的演化(a) m=1, 2, 3, 4; (b) m=5, 6Fig.1 The evolution of Y1 with squeezing parameter λ

3 反聚束效應(yīng)

在量子理論中，光場(chǎng)的反聚束效應(yīng)可通過(guò)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)來(lái)描述。它定義為

(14)

若G=g2-1<0，則稱光場(chǎng)呈現(xiàn)出反聚束效應(yīng)。利用a+2a2=a2a+2-4aa++2，求得

(15)

依據(jù)(8)、(14)和(15)式，m取不同值時(shí)，二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G隨壓縮參數(shù)λ的演化描繪于圖2所示。圖2(a)對(duì)應(yīng)m取1，2，3，4的情況，圖2(b)對(duì)應(yīng)m=5的情況。從圖2可見(jiàn)：隨產(chǎn)生算符作用次數(shù)增大，G的負(fù)值深度減小，反聚束效應(yīng)減弱。另一方面，圖2顯示隨壓縮參數(shù)增大，曲線上升，G值不斷增大，當(dāng)壓縮參數(shù)大于一定值后，G>0，反聚束效應(yīng)消失。這表明隨壓縮參數(shù)增大，反聚束效應(yīng)逐漸減弱，直至消失。

圖2 G隨壓縮參數(shù)λ的演化(a)m=1, 2, 3, 4; (b) m=5Fig.2 The evolution of G with squeezing parameter λ

4 光場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

通常利用MandelQ參量來(lái)描述光場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，它定義為

(16)

Q=0，Q>0，Q<0分別表示光子統(tǒng)計(jì)分布處于泊松分布、超泊松分布和亞泊松分布。結(jié)合(15)式和(16)式，對(duì)應(yīng)不同m值時(shí)，MandelQ參量隨壓縮參數(shù)λ的演化曲線如圖3所示。從圖3(a)可見(jiàn)：隨產(chǎn)生算符作用次數(shù)增加，曲線重心下移，出現(xiàn)負(fù)值的區(qū)域增大。這表明隨算符作用次數(shù)增大，光場(chǎng)的亞泊松分布性質(zhì)增強(qiáng)。圖3(b)展示了m=4和5的情況。為了使圖形更加清楚，圖中3(b)中m=5的曲線是對(duì)應(yīng)Q+0.5隨壓縮參數(shù)的演化曲線。圖3(b)顯示出m=4和m=5的曲線差別較小，光場(chǎng)的亞泊松分布性質(zhì)基本一致。另一方面，隨壓縮參數(shù)增大，曲線上升。λ大于一定值后，Q>0，亞泊松分布性質(zhì)消失。這表明，隨壓縮參數(shù)增大，亞泊松分布性質(zhì)減弱。

圖3 Q隨壓縮參數(shù)λ的演化Fig.3 The evolution of Q with squeezing parameter λ

5 結(jié)論

將產(chǎn)生算符作用在真空態(tài)上，構(gòu)建了光子增壓縮真空態(tài)，導(dǎo)出了它的歸一化系數(shù)。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，研究了該量子態(tài)的壓縮效應(yīng)、反聚束效應(yīng)、亞泊松分布等性質(zhì)，討論了壓縮參數(shù)和算符作用次數(shù)對(duì)量子特性的影響。計(jì)算結(jié)果表明：壓縮參數(shù)大于一定值后，Y1出現(xiàn)負(fù)值，光子增壓縮真空態(tài)才展示出壓縮效應(yīng)，隨算符作用次數(shù)增加壓縮效應(yīng)增強(qiáng)；隨算符作用次數(shù)增加，以及壓縮參數(shù)增大，態(tài)的反聚束效應(yīng)減弱；隨壓縮參數(shù)增大，亞泊松分布性質(zhì)減弱。另一方面，隨算符作用次數(shù)增大，Q的演化曲線重心下移，出現(xiàn)負(fù)值的區(qū)域增大。這表明隨算符作用次數(shù)增大，光場(chǎng)的亞泊松分布性質(zhì)增強(qiáng)。