李夢怡 周新林

過去30多年的腦科學(xué)研究運(yùn)用磁共振、腦電、近紅外等腦成像技術(shù)探討了大腦究竟是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的，希望通過探索大腦在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的基本規(guī)律來革新數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展。大量的腦科學(xué)研究成果證實(shí)大腦視空網(wǎng)絡(luò)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心網(wǎng)絡(luò)，相對(duì)于其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)（如語言學(xué)習(xí)）具有一定的特異性。但是，僅僅依靠大腦視空網(wǎng)絡(luò)就可以幫助我們解答千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題嗎？

最新的系列腦科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，大腦語義網(wǎng)絡(luò)也同樣是數(shù)學(xué)的重要網(wǎng)絡(luò)，包括左腦顳中回、角回、額下回等區(qū)域的大腦語義網(wǎng)絡(luò)也許是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的另一核心網(wǎng)絡(luò)，與大腦視空網(wǎng)絡(luò)一起幫助我們理解數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題。

大腦語義網(wǎng)絡(luò)是另一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心網(wǎng)絡(luò)

我們圍繞數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不同具體內(nèi)容開展了系列腦科學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)大腦語義網(wǎng)絡(luò)在數(shù)量、數(shù)學(xué)術(shù)語、算術(shù)計(jì)算、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)問題解決等需要理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)完成的數(shù)學(xué)任務(wù)中，發(fā)揮著重要的作用。

數(shù)量加工需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中我們常常會(huì)用到各種各樣的詞匯來形容數(shù)量的多少。例如“許多、少數(shù)、零星”，又如“一篇、一段、一句”等都是我們常用的數(shù)量詞。研究發(fā)現(xiàn)大腦在理解和區(qū)分這些數(shù)量詞時(shí)（例如，判斷少數(shù)和許多哪一個(gè)與零星更相似）需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)的參與，大腦語義網(wǎng)絡(luò)的腦區(qū)在分辨數(shù)量詞時(shí)與在分辨其他語言詞匯時(shí)（例如，判斷獵狗和綿羊哪一個(gè)與老虎更相似）的活動(dòng)沒有明顯的差異。

數(shù)學(xué)術(shù)語加工需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)。隨著年級(jí)的升高，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)習(xí)得越來越多的表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)的術(shù)語。例如，什么是“小數(shù)”、什么是“分?jǐn)?shù)”，它們跟“整數(shù)”具有什么樣的區(qū)別。我們還會(huì)學(xué)習(xí)“平方”是一個(gè)數(shù)的二次乘方，而“開方”卻是乘方的逆運(yùn)算。那大腦是如何理解和區(qū)分這些數(shù)學(xué)術(shù)語的呢？我們的研究發(fā)現(xiàn)，大腦在分辨這些數(shù)學(xué)術(shù)語時(shí)（例如，判斷平方和開方哪一個(gè)與乘方更相似）與分辨數(shù)量詞和分辨其他語言詞匯時(shí)相似，都需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)的參與。

算術(shù)計(jì)算需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)。估算是一種需要運(yùn)用各種各樣數(shù)學(xué)策略性知識(shí)來完成的算術(shù)計(jì)算，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用，有別于我們常說的精確計(jì)算（簡稱精算，例如16+27=43）。我們?nèi)コ匈徫飼r(shí)，在收銀員對(duì)金額進(jìn)行精確計(jì)算前，可以先通過估算判斷購買的物品是否超過100元，以控制我們的預(yù)算?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出，要培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的估算能力。因此從小學(xué)低年級(jí)開始，數(shù)學(xué)課程中就設(shè)置了多個(gè)章節(jié)運(yùn)用估算，例如四舍五入、湊十等不同的數(shù)學(xué)策略性知識(shí)來培養(yǎng)兒童的估算能力。我們的一項(xiàng)腦科學(xué)研究詳細(xì)探討了估算與精算之間的大腦活動(dòng)差異。其中估算任務(wù)是讓參與者估計(jì)49×31更接近1500還是1000等類似的題目，精算任務(wù)則是精確計(jì)算90×21等于1890還是2090等類似的題目。結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)算都需要大腦視空網(wǎng)絡(luò)的參與，同時(shí)估算任務(wù)比精算任務(wù)更依賴大腦語義網(wǎng)絡(luò)的參與。

數(shù)學(xué)原理加工需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)。加法結(jié)合律、乘法交換律等都是我們最常用的數(shù)學(xué)原理，我們可以利用這些數(shù)學(xué)原理來簡化計(jì)算。我們近期的兩項(xiàng)腦科學(xué)研究探討了大腦是如何理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)原理的。第一項(xiàng)研究中我們讓參與者完成一個(gè)言語化表達(dá)的數(shù)學(xué)原理理解任務(wù)，例如，判斷“某數(shù)連續(xù)乘以幾個(gè)數(shù)，交換這幾個(gè)數(shù)的位置，結(jié)果不變”是否正確。第二項(xiàng)研究中我們則讓參與者運(yùn)用數(shù)學(xué)原理來判斷“8×（7÷5）= 8÷5×7”等符號(hào)化表達(dá)的算式是否正確。每項(xiàng)研究中參與者都需要完成一個(gè)表達(dá)形式相同的精確計(jì)算任務(wù)（例如，判斷“當(dāng)數(shù)字8除以數(shù)字4，再乘以數(shù)字3后，其結(jié)果等于數(shù)字6”或“4×（6÷2）= 8÷2×3”是否正確）。兩項(xiàng)研究的結(jié)果一致發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)原理和精確計(jì)算任務(wù)都需要大腦視空網(wǎng)絡(luò)的參與，同時(shí)無論是言語化表達(dá)的還是符號(hào)化表達(dá)的數(shù)學(xué)原理理解和運(yùn)用都比精確計(jì)算更需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)的參與。

數(shù)學(xué)問題解決需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)。我們在理解數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)原理等數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)的參與，那我們在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一系列數(shù)學(xué)問題時(shí)，是不是也需要大腦語義網(wǎng)絡(luò)發(fā)揮作用呢？答案是肯定的，我們最新的一項(xiàng)腦科學(xué)研究回答了這一問題。在這項(xiàng)研究中我們挑選出了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常出現(xiàn)的3種數(shù)學(xué)問題解決類型，包括數(shù)字系列推理、應(yīng)用題和幾何證明，同時(shí)還設(shè)計(jì)了相同形式的精確計(jì)算題目作為對(duì)比條件。在數(shù)字系列推理任務(wù)中參與者需要推理出12，13，15，18后面的數(shù)字是幾？解答這道問題需要先尋找和理解這個(gè)數(shù)列的規(guī)則為前后兩項(xiàng)之差依次遞增1，才能回答出后面的數(shù)字為22。而在相同形式的精確計(jì)算任務(wù)中我們只需要參與者計(jì)算13，18，12，15四個(gè)數(shù)字相加得幾，僅通過計(jì)算便可以得到答案為58。在應(yīng)用題任務(wù)中參與者需要回答類似于“姐姐有90個(gè)彈珠，弟弟有60個(gè)，姐姐分給弟弟多少個(gè)后就一樣多”的問題;而在相同形式的精確計(jì)算任務(wù)中只需要計(jì)算“姐姐有146個(gè)彈珠，弟弟有68個(gè)，姐姐比弟弟多多少個(gè)彈珠”。在幾何證明任務(wù)中參與者需要運(yùn)用“同一個(gè)圓中，同弧所對(duì)的圓周角是其圓心角的一半”等幾何定理來完成題目;而在相同形式的精確計(jì)算任務(wù)中只需要通過計(jì)算180°減去已知的兩個(gè)角的度數(shù)求出未知角的度數(shù)。我們的研究結(jié)果通過對(duì)比三種類型的數(shù)學(xué)問題解決和相同形式的精確計(jì)算發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題解決和精確計(jì)算也都需要大腦視空網(wǎng)絡(luò)的參與。但是兩種任務(wù)的大腦活動(dòng)也存在著很大差異，三種類型的數(shù)學(xué)問題解決都更依賴大腦語義網(wǎng)絡(luò)來幫助尋找和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。而精確計(jì)算則更依賴中央前回、輔助運(yùn)動(dòng)區(qū)等和語音加工相關(guān)的腦區(qū)，因?yàn)槲覀儠?huì)默默地通過發(fā)聲器官運(yùn)動(dòng)來輔助計(jì)算。

以上研究說明各種類型的數(shù)學(xué)加工需要語義網(wǎng)絡(luò)的支持。其實(shí)，語義網(wǎng)絡(luò)并非獨(dú)立發(fā)揮作用，語義網(wǎng)絡(luò)與視空網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和加工時(shí)是協(xié)同作用的。這種協(xié)同作用表現(xiàn)為大腦語義網(wǎng)絡(luò)的顳中回腦區(qū)到大腦視空網(wǎng)絡(luò)的頂內(nèi)溝區(qū)域的功能連接。具體來說就是我們在完成算術(shù)計(jì)算、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)問題解決等任務(wù)時(shí)，大腦語義網(wǎng)絡(luò)的活動(dòng)和大腦視空網(wǎng)絡(luò)的活動(dòng)存在較高的同步性，兩種網(wǎng)絡(luò)的同步活動(dòng)幫助我們更好地解決數(shù)學(xué)問題。進(jìn)一步證明了大腦語義網(wǎng)絡(luò)和大腦視空網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用和緊密聯(lián)系。

數(shù)學(xué)教育教學(xué)需要重視大腦語義網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)中的重要作用

重視大腦語義網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)中的重要作用，就是要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，進(jìn)而科學(xué)、有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展。當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育教學(xué)常常將重點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)抽象符號(hào)、精確計(jì)算的掌握上，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)通常是采用背誦和反復(fù)練習(xí)來完成的，缺乏理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過程。過多的背誦和練習(xí)以及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏深層次的理解，不僅會(huì)增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，還會(huì)降低我們對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。針對(duì)重視語義網(wǎng)絡(luò)、強(qiáng)調(diào)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有如下兩項(xiàng)教育教學(xué)建議。

重視建立情境與符號(hào)數(shù)學(xué)之間的連接。情境數(shù)學(xué)指在具體的生活情境中解決數(shù)學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“生活化”。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們給數(shù)學(xué)問題賦予情境后，學(xué)生理解和解決起來會(huì)更加容易。例如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法時(shí)，你是否真正理解了為什么“負(fù)負(fù)得正”呢？大多數(shù)學(xué)生可能只是將它當(dāng)作數(shù)學(xué)中的基本規(guī)則之一，通過背誦的方式習(xí)得。常常因?yàn)闆]有理解其現(xiàn)實(shí)意義而在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)產(chǎn)生疑惑和困難;因此“負(fù)負(fù)得正”也成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。法國著名作家司湯達(dá)就曾因?yàn)椴荒芾斫鉃槭裁础柏?fù)負(fù)得正”而對(duì)原本至愛的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教師大失所望。美國數(shù)學(xué)史家和教育家莫里斯·克萊因（Morris.Kline）通過自然語言建立的情境解釋了“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實(shí)意義。他提出了這樣一個(gè)情境：一個(gè)人每天花費(fèi)5美元，記作-5，給定日期他花光了錢，存款變?yōu)?美元，那么3天后他將欠債15美元，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（-5）×3=-15。同樣，給定日期的3天前，他的存款應(yīng)為15美元，如果用-3表示3天前，那么3天前他的存款對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（-5）×（-3）=15。這樣的方式通過自然語言和情境幫助我們真正理解了負(fù)數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則，回答了無數(shù)人對(duì)于為什么“負(fù)負(fù)得正”的疑惑。這也提示我們在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，不能夠僅僅將數(shù)學(xué)知識(shí)通過背誦的形式灌輸給學(xué)生，更需要回答學(xué)生提出的為什么，重視學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。又例如說學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法時(shí)，比起“3÷”“有3份蛋糕，每個(gè)小朋友分份，可以分給幾個(gè)小朋友？”的情境數(shù)學(xué)更能幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的現(xiàn)實(shí)意義，更容易解決問題。這源于當(dāng)我們將數(shù)字和情境結(jié)合后，大腦語義網(wǎng)絡(luò)在其中發(fā)揮了重要作用。題目中的言語和情境會(huì)激活大腦語義網(wǎng)絡(luò)來幫助我們理解和解決其中的數(shù)學(xué)問題。而符號(hào)數(shù)學(xué)則是注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系統(tǒng)知識(shí)體系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“數(shù)學(xué)化”和“符號(hào)化”，通過符號(hào)、形狀、空間信息等來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重視大腦視空網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。情境和符號(hào)數(shù)學(xué)一直是數(shù)學(xué)教育界存在的兩種不同聲音。腦科學(xué)的研究結(jié)果表明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要多個(gè)網(wǎng)絡(luò)間的共同作用，大腦語義網(wǎng)絡(luò)和大腦視空網(wǎng)絡(luò)間的連接有利于我們更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種大腦的連接和協(xié)同作用證實(shí)在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，需要重視情境與符號(hào)數(shù)學(xué)之間的連接，兩者的融合是符合大腦活動(dòng)規(guī)律促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的方法。

言語化數(shù)學(xué)有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)理解能力。盡管數(shù)學(xué)腦和語言腦在大腦視空網(wǎng)絡(luò)的頂內(nèi)溝區(qū)域有分離。但是最新的腦科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)在理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題時(shí)也依賴大腦語義網(wǎng)絡(luò)的參與，同時(shí)這種數(shù)學(xué)中的大腦語義網(wǎng)絡(luò)和自然語言中的大腦語義網(wǎng)絡(luò)是高度重合的。這提示我們需要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的言語表達(dá)，通過自然語言，即言語化數(shù)學(xué)來促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的語義理解。同時(shí)這種言語化數(shù)學(xué)還可以作為情境和符號(hào)數(shù)學(xué)的中介，來調(diào)和三者之間的相互轉(zhuǎn)化和相互補(bǔ)充，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用。我們的一項(xiàng)教育實(shí)踐研究檢驗(yàn)得出，這種以言語化數(shù)學(xué)為主的干預(yù)訓(xùn)練可以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)困生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績。在這項(xiàng)研究中，我們根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績從4所小學(xué)中挑選出共142名成績?yōu)榘嗌虾?0%的五年級(jí)學(xué)生。之后將這些數(shù)學(xué)學(xué)困生隨機(jī)分為兩組，一組為訓(xùn)練組，一組為對(duì)照組。訓(xùn)練組的學(xué)生要求在家中使用我們的在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)，接受言語化數(shù)學(xué)訓(xùn)練，主要訓(xùn)練內(nèi)容為言語表達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)理解題目，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理的理解、記憶和運(yùn)用。每次最少學(xué)習(xí)15分鐘，每周最少一次，持續(xù)一個(gè)半月的時(shí)間。對(duì)照組則不接受訓(xùn)練。我們的研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，訓(xùn)練組學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績在訓(xùn)練后得到提高，且顯著高于對(duì)照組。并且學(xué)生使用在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)的時(shí)間長短與提升的班級(jí)排名呈正相關(guān)，也就是說學(xué)生使用在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)的時(shí)間越長，他提升的班級(jí)排名越多。這項(xiàng)研究進(jìn)一步證實(shí)了言語化數(shù)學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)理解和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用。

總的來說，大腦語義網(wǎng)絡(luò)和大腦視空網(wǎng)絡(luò)是數(shù)學(xué)的兩大核心網(wǎng)絡(luò)，共同促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力發(fā)展。根據(jù)大腦語義網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)中的作用，需要我們更加重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)理解，這對(duì)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革具有重要意義。