攪拌釜內稠密固-液混合的數值模擬

徐子龍, 孫 寧, 楊 潮, 劉寶慶, 金志江

(浙江大學 化工機械研究所, 浙江 杭州 310027)

1 前 言

固-液混合是化工領域重要的單元操作之一，其目的是將固-液兩相充分接觸，從而加快反應及傳質速率[1]。從ZWIETERING[2]提出完全離底懸浮狀態(tài)的概念以來，學者對攪拌釜內的固-液混合過程展開了大量的研究，但主要集中于探究槳葉結構、固-液相性質等因素對完全離底懸浮狀態(tài)的影響[3-4]。隨著測量水平的發(fā)展，正電子發(fā)射顆粒跟蹤技術(positron emission particle tracking，PEPT)、放射性顆粒跟蹤技術(computer-aided radioactive particle tracking，CARPT)等開始用于攪拌釜內參數的測量[5-6]，為深入研究固相懸浮特性提供了新的途徑。但是，實驗法仍具有一定的局限性，如設備價格高昂、難以獲得全面的數據等。相比于實驗研究，利用計算流體力學(computational fluid dynamics，CFD)技術可以較為便捷、直觀地獲取大量信息。

在固-液混合的數值研究中，涉及多相流模型的選擇。其中，歐拉-歐拉(Eulerian-Eulerian)模型[7-10]最為常用。但是，ALTWAY 等[11]發(fā)現在高固含率體系，歐拉-歐拉模型的結果與測量值間存在較大的偏差。其原因在于，隨著固含率的升高，固相間的碰撞與摩擦將不可忽略[12]。因此，在對稠密固-液混合體系進行數值模擬時，需要構建固相間的相互作用力模型。為此，GIDASPOW[13]于1994 年提出顆粒動力學理論(kinetic theory of granular flow，KTGF)，并建立相應的固相本構方程。WADNERKAR 等[14]將KTGF 模型與歐拉-歐拉模型相結合，并成功預測了稠密固-液攪拌釜內的固相濃度及速度分布。之后，KAZEMZADEH 等[15]、WANG 等[16]均采用了KTGF 模型進行數值研究，并得到槳葉結構、泵送模式及顆粒性質等因素對固相懸浮的影響。

本研究采用KTGF 模型對固相體積分數為23.6% 的攪拌釜進行數值模擬，并探究固相分布、固相懸浮高度及固相沉積高度隨轉速的變化規(guī)律，以期深化對稠密固-液混合特性的理解和認知。

2 模擬對象及網格劃分

模擬對象與GUIDA 等[6]的實驗對象保持一致，結構如圖1(a)所示。釜體直徑D 為288 mm，內壁面均勻布置4 塊擋板，擋板寬度為0.1D，液面高度H 與釜體直徑保持一致，攪拌槳為45°六斜葉渦輪槳，槳葉直徑及槳葉離底高度分別為0.5D 和0.25D。液相和固相的性質列于表1。

圖1 攪拌釜結構及離散化 Fig.1 Structure and mesh generation of stirred tank

表1 固液相性質表Table 1 Properties of solid and liquid phase

采用混合網格劃分法，將攪拌釜分為動、靜2 個區(qū)域，動、靜區(qū)域內的網格分別為非結構網格與結構網格。經網格獨立性檢查，所用網格單元數目為1 096 901，最大畸變率為0.81，攪拌釜的離散如圖1(b)所示。

3 數學模型

3.1 控制方程

采用歐拉-歐拉模型對攪拌釜內的固-液兩相流動進行模擬，其控制方程如下： 連續(xù)性方程：

動量方程：

液相：

固相：

式中：φ、ρ 及v 分別為體積分數、密度及速度，其下標i 為l 和s 時分別代表液相及固相；g 為重力加速度，Fls和Fsl分別為液相和固相受到的曳力，Fl,lift,td和Fs,lift,td分別為液相和固相時體積力、升力及湍流擴散力的和，p 為所有相共享的壓力，ps為固相壓力，?為哈密頓算子，lτ 和sτ 分別為液相及固相應力張量。

采用KTGF 模型描述固相間的碰撞作用，其輸運方程為

式中：Θs為顆粒溫度，I 為單位應力張量，kΘs為能量擴散系數，γΘ為碰撞引起的能量耗散，φls為固-液相間的能量交換。

當固相濃度達到臨界摩擦體積分數時，將發(fā)生持續(xù)性的接觸摩擦。為此，通過引入摩擦黏度模型對摩擦力進行考慮。所用模型中固-液相的本構關系式如表2 所示。表中：λs為固相體積黏度，μs為固相剪切黏度，μs,col、μs,kin及μs,fr分別為固相碰撞、動力及摩擦黏度，ds為固相粒徑，I2D為二次偏應力張量，φ為固相內摩擦角，ess為碰撞恢復系數，g0,ss為徑向分布函數，φs,max為固相堆積極限。

表2 模型中固液相的本構關系式 Table 2 Constitutive equations of solid and liquid phase in CFD model

采用標準κ -ε 混合模型描述攪拌釜內的湍流運動，并考慮了曳力、升力及湍流擴散力的作用。其中，所用曳力模型為Syamlal-O’Brien 模型[17]，升力模型為Moraga 模型[18]，湍流擴散力模型為Burns 模型[19]。

3.2 邊界條件及模擬方法

采用多重參考坐標系法(multiple reference frame, MRF)模擬槳葉的轉動，并通過交界面(Interface)邊界條件對動、靜區(qū)域間的數據進行交換。液面定義為對稱(Symmetry)邊界，槳葉、攪拌軸、釜壁及擋板定義為壁面(Wall)邊界。求解過程采用瞬態(tài)計算，時間步長為0.000 5 s，為達到穩(wěn)定狀態(tài)，計算時間設定為20 s。采用Quick 格式離散控制方程以提高計算的精度。

4 結果與討論

4.1 模型驗證

為了驗證數學模型的可靠性，對轉速n = 590 r·min-1時的工況進行模擬，并與GUIDA 等[6]實驗數據進行對比，對比結果如圖2 所示。從圖中可以發(fā)現，模擬得到的橫截面平均固相體積分數φz與攪拌釜平均固相濃度φz,ave比值隨相對軸向高度z/H 的變化趨勢與實驗結果基本一致，且能夠較好地預測出釜底的高濃度區(qū)，中間的過渡區(qū)及釜頂的低濃度區(qū)。在該工況下，模擬與實驗值的最大相對偏差點位于釜頂，其數值為33.6%，這是由該處固含率較低造成的。而大部分數據點的相對偏差均小于20%，這表明該數學模型能夠較好地用于攪拌釜內稠密固-液混合的數值研究。

4.2 固相分布

固相分布是評價攪拌釜固-液混合性能的重要指標，在不同轉速下，攪拌釜縱剖面上的固相分布如圖3 所示。從圖中可以發(fā)現，低轉速下槳葉的下方存在固相高濃度區(qū)?？蓮牧黧w流動機理對該結果進行解釋。根據流動形式的不同，可將攪拌釜分為葉輪循環(huán)區(qū)、近壁區(qū)及誘導錐形區(qū)。其中，誘導錐形區(qū)位于槳葉的下方，該區(qū)域會出現流體的反向回流，且流動速度較低，這將不利于固相的懸浮。同時，固相受到擋板、釜壁與釜底連接處的阻礙作用，也易形成堆積。隨著轉速的提高，攪拌釜底部及上部區(qū)域的固相體積分數分別降低和升高，固相在軸向的分布逐漸均勻。

圖2 不同高度處平均固含率的模擬值與實驗值比較 Fig.2 Comparison of simulated and experimental values of average solid holdup at different heights

圖3 不同轉速下的攪拌釜縱剖面固相分布 Fig.3 Solid phase distributions on the vertical plane at different impeller speeds

圖4 固相標準差隨轉速的變化 Fig.4 Variation of standard deviation of solid distribution with impeller speed

為了定量評估固相分布的均勻程度σ，采用BOHNET 等[20]提出的方法對攪拌釜內的固相懸浮狀態(tài)進行判定，其計算公式如下：

式中：φs,i及φs,ave分別為攪拌釜內的局部固相體積分數和平均固相體積分數，m 為采樣點數，其數值為626 751。模擬計算了從300～900 r·min-1共7 組轉速下的σ 值，結果如圖4 所示。從圖中可以發(fā)現，當轉速略高于450 r·min-1時，σ 降低到0.8，達到臨界離底懸浮狀態(tài)。但是，該轉速小于GUIDA 等[6]的實驗結果(590 r·min-1)。其原因在于，實驗中的臨界離底懸浮轉速是通過觀察釜底的固相堆積獲得的，固相均勻度法則考慮了整個攪拌釜內的固相分布。此外，當轉速為900 r·min-1時，攪拌釜內仍無法達到均勻懸浮狀態(tài)。

4.3 固相沉積高度

在較低的轉速下，釜底會出現固相沉積，這將對攪拌釜內的反應及傳質產生不良的影響[21]。為了在數值模擬中獲得固相的沉積區(qū)域，認為若單元內的固相體積分數達到固相堆積密度，則該單元內的固相處于沉積狀態(tài)。在不同轉速下，攪拌釜內的固相沉積分布如圖5 所示。從圖中可以發(fā)現，固相的沉積區(qū)域主要位于槳葉下方、釜壁與釜底的連接處，且隨轉速的增加而不斷縮小。相同地，ZHU 等[22]在實驗中也發(fā)現，檔板附近、釜底中心或邊緣處的小部分固相較難懸浮。當轉速達到590 r·min-1時，槳葉下方的固相沉積區(qū)域消失，但釜壁與釜底的連接處仍存在固相沉積。這表明相比于槳葉的下方區(qū)域，釜壁與釜底連接處的固相更難懸浮。為此，可通過移除擋板或采用橢圓形封頭來提高攪拌釜的固相懸浮效率，但同時要避免形成漩渦并協(xié)同考慮制造成本的因素。

圖5 不同轉速下固相沉積分布 Fig.5 Distribution of solid sedimentation at different impeller speeds

在固相沉積高度法[23]中，將固相沉積高度Hb為0 時的狀態(tài)作為臨界離底懸浮狀態(tài)。從300～900 r·min-1共7 組轉速下的固相沉積高度如圖6 所示。從圖中可得到，當轉速大于670 r·min-1時，固相沉積高度將減小到0，該數值略高于GUIDA 等[6]的實驗結果。

圖6 固相沉積高度隨轉速的變化 Fig.6 Variation of sedimentation bed height with impeller speed

4.4 固相懸浮高度

和稀疏固-液混合體系不同，當固相濃度較高時，攪拌釜下部的固相富集區(qū)域及攪拌釜上部的清液區(qū)域間會有分界層的出現，從釜底至分界層的距離即為固相懸浮高度Hs。在數值模擬中，固相懸浮高度可通過給定固相體積分數等值面的閾值獲得。本研究將攪拌釜的平均固相體積分數作為固相體積分數等值面的閾值，不同轉速下的固相體積分數等值面如圖7所示。從圖中可以發(fā)現，固相懸浮高度隨轉速呈現出先快速增長，后基本維持不變的變化趨勢，這與KASAT 等[24]的結論一致。當轉速為300 r·min-1時，固相懸浮高度很低，攪拌釜內出現了大面積的清液區(qū)域，而這會對混合產生不利的影響。隨著轉速的逐漸增加，固相懸浮高度快速升高，清液區(qū)域的體積隨之縮小，但當轉速達到590 r·min-1后，固相懸浮高度隨轉速基本不變。

圖7 不同轉速下固相體積分數等值面分布 (φs = 23.6%) Fig.7 Iso-surface of solid volume fraction at different impeller speeds (φs = 23.6%)

圖8 固相懸浮高度隨轉速的變化 Fig.8 Variation of suspended solid height with impeller speed

固相懸浮高度是判定攪拌釜內固相懸浮狀態(tài)的重要指標之一，KRAUME[25]提出將固相懸浮高度達到90%液面高度時的狀態(tài)定義為臨界離底懸浮狀態(tài)。從300～900 r·min-1共7 組轉速下的固相懸浮高度如圖8 所示。從圖中可得，在轉速達到520 r·min-1時，固相懸浮高度已滿足90%固相懸浮高度準則，但該轉速小于GUIDA 等[6]的實驗結果。造成偏差的原因主要包括2 個方面：首先，固相體積分數等值面的閾值與固相懸浮高度直接相關，但閾值的取值仍存在爭議；此外，固相體積分數等值面并非平整而是波動的，固相懸浮高度位置的選取也會對結果產生影響。

5 結 論

采用KTGF 模型對攪拌釜內的稠密固-液混合進行數值模擬，得到的結論如下：

(1) KTGF 模型預測的攪拌釜內固相分布與實驗數據吻合較好，且大部分數據點相對偏差小于20%，說明該模型適用于攪拌釜內稠密固-液混合的數值研究；

(2) 當采用六斜葉渦輪槳時，在較低的轉速下，釜底的固相濃度較高，槳葉下方、釜壁與釜底的連接處易形成固相的沉積，且攪拌釜上方也會出現大面積的清液區(qū)域。隨著轉速的增加，固相在軸向分布逐漸均勻，固相沉積區(qū)域逐漸縮小，但相比于槳葉的下方區(qū)域，釜壁與釜底的連接處的固相更難懸浮。此外，固相懸浮高度隨轉速呈現出先快速增長、后基本維持不變的變化趨勢；

(3) 分別采用固相均勻度法、固相沉積高度法及固相懸浮高度法對模擬工況的臨界離底懸浮轉速進行預測。與實驗測量值相比，固相均勻度法、固相懸浮高度法的預測值往往偏小，而固相沉積高度法的預測結果則偏大。