蘇州大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 徐 斌

無痕教育的基本要義是隱藏教育意圖，遵循教育規(guī)律，通過間接方式，使得受教育者在不留痕跡中得到更好的教育和發(fā)展。正如大教育家蘇霍姆林斯基所說：“任何一種教育現(xiàn)象，孩子在其中越少感覺到教育者的意圖，它的教育效果就越大。”無痕教育不僅是一種教育思想，也是一種教育方法。從理念思想到操作方法，需要策略的支撐。我們認(rèn)為無痕教育的課堂實(shí)施有四種基本策略：不知不覺中開始，潛移默化中理解，循序漸進(jìn)中掌握，春風(fēng)化雨中提升。本文以案例的方式解讀第二種基本策略。

在教育心理學(xué)界一直流傳著一句口號“為理解而教”，筆者甚為認(rèn)同?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在附錄中專門列出了描述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”。其中，“理解”是指描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。一般說來，理解有三級水平：低級水平是知覺辨認(rèn)，即“是什么”；中級水平是意義本質(zhì)，即“怎么樣”；高級水平是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，即“為什么”。雖然“理解”是一種結(jié)果性目標(biāo)，具有顯性特征，但是“理解”又是一種內(nèi)隱的心理活動，很難具體把握。因此，要讓學(xué)生真正理解，需要教師精心選擇學(xué)習(xí)素材，靈活設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過程，恰當(dāng)選擇教學(xué)方法，讓學(xué)生在潛移默化中理解知識，發(fā)展思維，感悟思想，形成素養(yǎng)。無痕教育理念觀照下的課堂實(shí)踐策略——潛移默化中理解，具體有如下四種方法：

一、在直觀操作中感知

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“孩子的智慧在他的手指尖?！毙W(xué)生的年齡特征啟示我們，活潑、好動、天真、愛玩是其顯著表現(xiàn)；小學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律告訴我們，具體形象思維是主要特征，低年級更需要動作思維，而高年級逐步過渡到邏輯思維。因此，為了幫助學(xué)生更好地理解知識，應(yīng)該更多地讓學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動，讓學(xué)生在直觀操作中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，調(diào)動多種感官功能，進(jìn)而進(jìn)行觀察、分析、抽象、概括，有效地理解概念、方法和規(guī)則，促進(jìn)數(shù)學(xué)技能的形成。

【教學(xué)片段1】認(rèn)識乘法

引入新課后，首先組織學(xué)生觀察例題圖（如圖1）。提問：要知道圖上有幾只兔和幾只雞，你有什么辦法？

圖1

預(yù)設(shè)學(xué)生回答：數(shù)兔時，是2個2個數(shù)的，因?yàn)樗鼈兪?只2只地站在一起的；數(shù)雞時，是3個3個數(shù)的，它們都是3只3只地圍在一起的。

提問：這兩道加法有什么相同的地方？

（都是幾個幾相加）

接著讓學(xué)生動手?jǐn)[小棒：先擺出4個2，再擺出2個4。

然后讓學(xué)生畫圓片：先畫出3個5，再畫出5個3。

最后讓學(xué)生拍手游戲：先拍手表示3個3，再拍手表示2個5。

乘法概念的建立首先需要理解“幾個幾”，因?yàn)椤皫讉€幾”是乘法的物化形態(tài)。而要讓學(xué)生理解“幾個幾”這一抽象知識則需要充分的直觀操作，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在指尖上跳躍。以上學(xué)習(xí)過程，從直觀的觀察出發(fā)，進(jìn)而讓學(xué)生操作小棒、畫圓片圖、拍手游戲，讓學(xué)生對奇妙的數(shù)學(xué)現(xiàn)象用眼看、用耳聽、用手做、用腦想，調(diào)動他們的多種感官參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有趣、有效、有意義，真正讓學(xué)生對“幾個幾”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象熟記于心、操作于行，學(xué)會從“幾個幾”的角度去觀察生活中特殊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)而為深入理解乘法的意義打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。這也順應(yīng)了兒童的思維特征，正如烏申斯基所說：“一般說來，兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進(jìn)行思維的。”

【教學(xué)片段2】畫線段圖解決問題

圖2

（課件逐步動態(tài)漸變顯示，教師針對性提問）

你能說出圖2中紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍嗎？為什么？

如果用兩種顏色的正方形分別表示藍(lán)花和紅花，可以看清數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

如果把這些小正方形靠近并拼接在一起，你還能看清倍數(shù)關(guān)系嗎？

如果把帶子的寬度變窄一些，長度不變，你還能看清倍數(shù)關(guān)系嗎？

如果把帶子再變一變，這就成了什么圖形？（線段圖）

第一條線段表示什么？第二條線段表示什么？

揭題：看來，用線段圖可以表示數(shù)量之間的關(guān)系，線段圖是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要幫手。今天這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)畫線段圖解決問題。

弗賴登塔爾曾經(jīng)指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個再創(chuàng)造的過程。在這一過程中，學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)的獲得、個性特點(diǎn)的發(fā)展和教學(xué)能力的形成，都來自學(xué)生在教學(xué)活動中的積極參與，而參與程度卻與學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否感興趣有著密切的聯(lián)系。為此，從生活現(xiàn)象中抽取結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生帶著對未知的探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)現(xiàn)之旅，才能激發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生潛移默化地形成對新知的理解。線段圖對于三年級學(xué)生來說是比較抽象的，要讓學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知和直觀感知中逐步了解線段圖的來源和含義。上述教學(xué)過程中，通過“超級變變變”的直觀游戲，讓學(xué)生逐步理解線段圖的意義。課始，設(shè)計(jì)了紅花和藍(lán)花之間的倍數(shù)關(guān)系實(shí)物圖，接著過渡到正方形圖，然后漸變?yōu)闂l形圖，再改變寬度不改變長度，進(jìn)而抽象為線段圖。這樣的設(shè)計(jì)，符合兒童的認(rèn)知規(guī)律，展現(xiàn)了直觀到抽象的發(fā)展過程，使學(xué)生對線段圖的產(chǎn)生和意義有了本源性認(rèn)識，為接下來畫圖和分析數(shù)量關(guān)系做好鋪墊。

二、在對比分析中過渡

對比是一種重要的教學(xué)思想。俗話說，沒有對比就沒有鑒別。在對比中可以厘清數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在要素，可以區(qū)分不同方法的差異，可以促進(jìn)兒童思維從初級階段向高級階段過渡。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時，應(yīng)特別注重讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，暴露學(xué)生的思維過程，理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)和思想方法，幫助學(xué)生理清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，完成從知識向能力的轉(zhuǎn)化。

【教學(xué)片段3】一位數(shù)乘兩位數(shù)

提問：如圖3，兩只猴子一共采了多少個桃子？怎樣列式解答呢？（列出乘法算式14×2）

（1）動手實(shí)踐，自主探索算法。（略）

（2）展示計(jì)算過程，形成初步豎式。

圖3

（3）對比分析，過渡到簡化豎式。

組織學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用初步豎式計(jì)算13×2，11×7，32×3。（指名三個學(xué)生板書）

師（提問）：這些算式有什么共同的地方？

生1：第一次乘的得數(shù)都是一位數(shù)。

生2：第二次乘的得數(shù)都是整十?dāng)?shù)。

生3：在加的時候個位都是加0，得數(shù)十位上的數(shù)也是一樣的，寫了兩次。

師（提問）：像這樣寫豎式你有什么感覺和建議？

生1：感覺有點(diǎn)煩！

生2：一個數(shù)加0得數(shù)不變，可以不用加。

生3：得數(shù)十位完全可以只寫一次。

生4：把第二次算的得數(shù)直接寫在上面得數(shù)十位上。

生5：下面那條橫線也可不畫。

師：是呀！這樣就可以變得簡便了。

（學(xué)生和原先板書的學(xué)生修正豎式，例題也相應(yīng)轉(zhuǎn)變成簡便寫法）

乘法豎式的算理和算法是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是學(xué)生理解的難點(diǎn)。教師利用主題圖，幫助學(xué)生直觀形象地領(lǐng)悟了豎式的算理之后，首先讓學(xué)生在直觀的基礎(chǔ)上來理解算理，學(xué)生很容易就能掌握豎式的“初步”形式。而簡便豎式的教學(xué)也不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，是在師生的共同計(jì)算、觀察、比較的基礎(chǔ)上自然生成的。教師在教學(xué)完乘法豎式的計(jì)算步驟之后，并沒有立刻把算法進(jìn)行簡化，而是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用這種方法做題，促使學(xué)生自己親身體驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)：“初步”豎式雖然清楚，但“有點(diǎn)煩”。通過這一引導(dǎo)，“把豎式進(jìn)行簡化”這一想法呼之欲出，成了全體學(xué)生的追求方向，水到渠成地“創(chuàng)造”出了更簡便的豎式寫法。在這里，過程是學(xué)生親身經(jīng)歷的，方法是大家在充分研究的基礎(chǔ)上生成的，充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性，把主導(dǎo)和主體有機(jī)地結(jié)合在一起，給了學(xué)生足夠的探討空間去體驗(yàn)、去創(chuàng)造、去領(lǐng)悟，充分地相信學(xué)生的能力，尊重學(xué)生的感悟，達(dá)到了真正理解的目的。

三、在變式舉例中內(nèi)化

變式是通過變更對象的非本質(zhì)特征而突出對象的本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式。中國的數(shù)學(xué)雙基教學(xué)具有四個方面的經(jīng)驗(yàn)：記憶通向理解，速度贏得效率，嚴(yán)謹(jǐn)形成理性，重復(fù)依靠變式。鄭毓信教授曾經(jīng)指出，數(shù)學(xué)教師有三項(xiàng)基本功：善于舉例、善于提問、善于優(yōu)化。因此，在學(xué)生理解知識的關(guān)鍵時候，教師需要從教材呈現(xiàn)的素材例子出發(fā)，通過變式舉例，讓學(xué)生在變化中尋找不變，在不變中內(nèi)化認(rèn)知，在提問中達(dá)到思維優(yōu)化。

【教學(xué)片段4】認(rèn)識倍

（學(xué)習(xí)例題，學(xué)生初步認(rèn)識倍的含義之后進(jìn)行兩次變式）

1.第一次變式。（例題是2朵藍(lán)花與8朵紅花）

如果藍(lán)花2朵，紅花變成10朵，紅花朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？（10÷2＝5）

如果藍(lán)花的朵數(shù)不變，紅花變成12朵呢？（12÷2＝6）

如果藍(lán)花2朵，紅花變成4朵，紅花朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？（4÷2＝2）

如果藍(lán)花朵數(shù)不變，紅花有2朵呢？（2÷2＝1）

（通過“1倍”這一特例，讓學(xué)生理解此時即兩種花同樣多）

2.第二次變式。（在例題2朵藍(lán)花與6朵黃花的基礎(chǔ)上）

如果藍(lán)花變成3朵，依舊要使黃花朵數(shù)是藍(lán)花的3倍，可以怎么辦？

如果藍(lán)花變成4朵，依舊要使黃花朵數(shù)是藍(lán)花的3倍，可以怎么辦？

如果藍(lán)花變成1朵，依舊要使黃花朵數(shù)是藍(lán)花的3倍，可以怎么辦？

3.歸納小結(jié)。

逐步讓學(xué)生理解：“把一個數(shù)量看作一份，另一個數(shù)量有這樣的幾份，就是它的幾倍。”

變式是為了尋找不變。對概念含義的理解除了需要模仿與重復(fù)，還需要變式訓(xùn)練。上述教學(xué)片段設(shè)計(jì)了兩次變式：第一次變式，藍(lán)花不變，紅花從8朵變?yōu)?0朵、12朵、4朵、2朵等，通過改變份數(shù)，讓學(xué)生熟練掌握用除法計(jì)算倍數(shù)的方法；第二次變式，倍數(shù)不變，改變一份的數(shù)量（從 2朵變?yōu)?朵、4朵、1朵等），從而幾份的數(shù)量相應(yīng)改變，讓學(xué)生理解倍的本質(zhì)含義。在變式訓(xùn)練中，還專門設(shè)計(jì)了“1倍”這一特例，回到兩個數(shù)量比較的出發(fā)點(diǎn)——同樣多，把“倍比”與“差比”進(jìn)行了溝通與關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性。歸納小結(jié)則幫助學(xué)生對知識的理解從具體逐步轉(zhuǎn)為抽象，把倍的概念與“幾個幾”以及“份數(shù)”關(guān)系進(jìn)行了溝通，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

四、在板書提煉中建構(gòu)

板書是教師智慧的結(jié)晶，更是課堂教學(xué)的線索，是學(xué)生理解知識的腳手架。“好的板書可以突出新授知識的組織結(jié)構(gòu)，可以彌補(bǔ)學(xué)生從聽覺渠道接收信息的缺陷，如短時記憶容量的限制?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“教學(xué)建議”中也特別指出：“必要的板書有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)生的思維與教學(xué)過程同步，有助于學(xué)生更好地把握教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)?！币虼耍薪?jīng)驗(yàn)的教師總會精心設(shè)計(jì)板書，通過板書的形成過程引領(lǐng)學(xué)生回顧與反思，總結(jié)學(xué)習(xí)過程與經(jīng)驗(yàn)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。

【教學(xué)片段5】解決問題的策略：列表

教師結(jié)合學(xué)生整理的信息逐步板書（圖4左圖）：

圖4

提問：為什么選擇把小明的情況列到表里面？（小明的信息比較齊全）

追問：要求小軍買了多少本，你能選擇有關(guān)的條件填表、列算式嗎？（板書圖4右圖）

提問：這兩個表有什么共同的地方？這兩個表格也可以合并起來。（板書變成圖5）

圖5

圖6

提問：如果去掉表格線，甚至去掉姓名，你還能看清數(shù)量之間的關(guān)系嗎？（板書變化成圖6）觀察這個箭頭圖，你發(fā)現(xiàn)什么在變化？什么沒有變化？

要讓學(xué)生真正理解策略內(nèi)涵并形成策略意識，需要讓學(xué)生經(jīng)歷策略的形成過程并體驗(yàn)策略的獨(dú)特價值。上述板書的逐步結(jié)構(gòu)化，不僅使學(xué)生了解列表的內(nèi)在需要和基本方法，而且通過表格的合并和簡化感受列表策略的價值。前兩個表格的合并，本來各有兩行，但合并后因?yàn)槎加行∶鞯男畔?，因此只需要三行，使學(xué)生體驗(yàn)到列表整理信息的簡潔和有序；然后去掉表格線和姓名，使得表格進(jìn)一步簡化，凸顯了列表策略對于數(shù)量關(guān)系分析的作用，發(fā)展了一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。