江蘇無錫市后宅中心小學(xué) 顧利國(guó)

數(shù)學(xué)題組，就是為達(dá)到某個(gè)教學(xué)目的，將幾道知識(shí)之間存在密切聯(lián)系、題目形式比較接近、思維方法有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)題串聯(lián)在一起構(gòu)成的一個(gè)習(xí)題組。題組與單個(gè)習(xí)題相比較，它的主要優(yōu)勢(shì)在于：能幫助學(xué)生將一些分散孤立的知識(shí)點(diǎn)整理成一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)；便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)而更深刻地理解知識(shí)、掌握解題規(guī)律；更有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、推理、歸納、綜合等能力。

一、設(shè)計(jì)拓展型題組，拓寬知識(shí)視野

教材因受篇幅限制，通常會(huì)將知識(shí)精簡(jiǎn)濃縮呈現(xiàn)。教學(xué)如果只是以本教本，學(xué)生的知識(shí)會(huì)十分狹窄，將嚴(yán)重阻礙學(xué)生的發(fā)展。教師要在幫助學(xué)生牢固掌握例題知識(shí)的前提下，積極發(fā)掘知識(shí)的內(nèi)涵深度、拓展知識(shí)的外延寬度。

拓展型題組，就是找準(zhǔn)知識(shí)的某個(gè)生長(zhǎng)方向，以幾個(gè)同類遞進(jìn)的習(xí)題，引領(lǐng)學(xué)生走向更高、更遠(yuǎn)、更廣處。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于整數(shù)筆算乘法，安排到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”就結(jié)束了。如果教師在教學(xué)時(shí)也隨著教材就此打住，這樣的教學(xué)顯然是不到位的。因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)歷了兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的學(xué)習(xí)，只要把相關(guān)算法和算理稍做遷移，就可掌握所有整數(shù)筆算乘法。所以，在學(xué)生掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法后，教師設(shè)置了以下拓展題組:

下面兩題，你會(huì)列豎式計(jì)算嗎？

在學(xué)生展示、正確敘述計(jì)算過程后，教師追問：“五位數(shù)乘五位數(shù)，六位數(shù)乘六位數(shù)會(huì)列豎式計(jì)算了嗎？”

生（興奮地）：“會(huì)！我一百位數(shù)乘一百位數(shù)都會(huì)了！”

師：“好，你來說說一百位數(shù)乘一百位數(shù)怎樣計(jì)算？”

生：“只要用第一個(gè)乘數(shù)分別與第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位、十位、百位、千位……上的數(shù)依次相乘，每次乘到哪一位，積的末尾就與那一位對(duì)齊，最后把每次的積相加?！?/p>

上面的微型題組雖然只有區(qū)區(qū)兩個(gè)算式，卻有四兩撥千斤的功效。幫助學(xué)生將所有的整數(shù)筆算乘法歸納到一個(gè)系統(tǒng)中，在腦海里建立了整數(shù)筆算乘法的通用模型，培養(yǎng)了學(xué)生的極限思想。此時(shí)，學(xué)生眼睛里看到的，不再是幾棵孤零零的樹木，而是一大片森林。

二、設(shè)計(jì)辨析型題組，防止學(xué)習(xí)錯(cuò)誤

因知識(shí)本身的難度、類比負(fù)遷移等因素，學(xué)生在學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些典型性錯(cuò)誤?！安恢我巡≈挝床　！苯虒W(xué)中，教師對(duì)典型性錯(cuò)誤要能夠敏銳地預(yù)見并盡可能地提前防范。

辨析型題組，就是針對(duì)容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，把幾個(gè)有對(duì)有錯(cuò)、似對(duì)而錯(cuò)或幾種典型錯(cuò)題放在一起，讓學(xué)生辨析，弄清錯(cuò)誤和錯(cuò)誤原因的所在，從而掌握正確知識(shí)。

學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律以后，為避免學(xué)生會(huì)不自覺地將規(guī)律遷移到除法計(jì)算中，教師在學(xué)生一致認(rèn)同除法中不存在“交換律”的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了以下題組讓學(xué)生觀察探討：除法中是否存在結(jié)合律和分配律？

通過辨析、再驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，除法沒有類似于乘法的結(jié)合律。但除法中有類似于乘法的分配律，不過，只是適用于兩個(gè)數(shù)的和（差）除以一個(gè)數(shù)，對(duì)一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的和（差）并不適用。

“除法中既然存在分配律，那為什么只有（a+b）÷c=a÷c+b÷c這一類，而沒有像乘法那樣存在a÷（b+c）=a÷b+a÷c這一類呢？”有學(xué)生提出疑問。

“因?yàn)槌朔ㄓ薪粨Q律，兩個(gè)乘數(shù)可以交換位置。除法沒有交換律，除號(hào)前面和后面的兩個(gè)數(shù)不能互換?！逼渌麑W(xué)生給出了這樣的解釋。

類比遷移是一種很好的思維方式，也是一種很好的學(xué)習(xí)方式。但類比遷移具有雙刃性，可能是正遷移，也可能是負(fù)遷移。

上面的題組，與其說是在避免負(fù)遷移，不如說是在積極利用負(fù)遷移；與其說是在避免知識(shí)錯(cuò)誤，不如說是在完善思維的缺陷。

三、設(shè)計(jì)規(guī)律型題組，把握問題本質(zhì)

許多知識(shí)，看似平常，實(shí)則蘊(yùn)含著內(nèi)在的規(guī)律。教學(xué)中，教師要善于洞察規(guī)律，并通過巧妙設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，并積極探究規(guī)律背后的原理。

如果僅是一道習(xí)題，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，而通過題組呈現(xiàn)，規(guī)律就會(huì)顯而易見。

教學(xué)分?jǐn)?shù)工程問題時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)題組：

選擇條件解答。

__________，甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪需要10天，乙工程隊(duì)單獨(dú)鋪需要15天。如果兩隊(duì)合鋪，多少天能鋪完？

（1）鋪一條360米長(zhǎng)的水管；（2）鋪一條225米長(zhǎng)的水管；（3）鋪一條1080米長(zhǎng)的水管；（4）鋪一條水管。

學(xué)生們覺得，選擇條件（1）（2）（3）是可以解答的，選擇條件（4）無法解答。

教師請(qǐng)學(xué)生分別選取前三個(gè)條件中的一個(gè)解答。

匯報(bào)結(jié)果時(shí)，學(xué)生們驚奇地發(fā)現(xiàn)，結(jié)果居然都是6天。他們極為震驚，深感疑惑。

“為什么水管的長(zhǎng)度在變化，可是結(jié)果都是6天呢？” 教師利用學(xué)生的疑惑，與學(xué)生開展探討。學(xué)生明白了其中的奧妙以后，猛然發(fā)現(xiàn)，利用條件（4）同樣能解答，只要把一條水管的長(zhǎng)度看作單位“1”。

以上題組中前面三小題是一個(gè)引子，水管“具體數(shù)量”不同，結(jié)果卻相同，以此讓學(xué)生造成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究欲望?！敖Y(jié)果相同”只是本題一個(gè)表面規(guī)律，表面規(guī)律背后的道理是“不管水管的具體米數(shù)如何變化，兩個(gè)工程隊(duì)每天修水管的幾分之幾這個(gè)部分量與總量之間的關(guān)系始終不變”。學(xué)生在掌握了這這一本質(zhì)特點(diǎn)后，思維自然而然地從“具體數(shù)量”的角度轉(zhuǎn)化到了“分?jǐn)?shù)”的視角。通過打通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，有效化解了新課的難點(diǎn)。

四、設(shè)計(jì)梯度型題組，掌握思維方法

學(xué)習(xí)如果只是在基礎(chǔ)知識(shí)、淺層次思維上徘徊，學(xué)生的進(jìn)步必定是有限的。教師要經(jīng)常性地設(shè)計(jì)綜合性、挑戰(zhàn)性的習(xí)題來訓(xùn)練學(xué)生的思維。

設(shè)計(jì)有梯度的題組，將難題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，可以填補(bǔ)思維斷層，讓不同層次的學(xué)生都參與進(jìn)來，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)分析。

在學(xué)習(xí)了“圓的認(rèn)識(shí)”后，教師為了讓學(xué)生進(jìn)一步建立圓的直徑和半徑之間的關(guān)系、初步感知圓與正多邊形之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)了這樣一題：

已知圓的直徑是8厘米，求圓的內(nèi)接六邊形的周長(zhǎng)。

第一次教學(xué)時(shí)，直接出示題目，幫助學(xué)生理解題意后，讓學(xué)生獨(dú)立思考解答，效果不理想，只有個(gè)別學(xué)生能解答出來。

第二次教學(xué)時(shí)，改用題組教學(xué)，效果很好。這次題組中的問題不是教師直接給出，而是在讓學(xué)生觀察圖形、自主提問的基礎(chǔ)上整理得到：

（1）圖中的6個(gè)三角形看上去都是等邊三角形，真的是等邊三角形嗎？

（2）如果是等邊三角形，每條邊的長(zhǎng)度是多少？

（3）圖中正六邊形的周長(zhǎng)是多少？

（4）圓的周長(zhǎng)怎么算？

教師把學(xué)生的問題整理成一個(gè)序列題組，一步一步得到正六邊形的周長(zhǎng)，不僅解決了原來的問題，更讓學(xué)生在沿著“腳手架”攀爬的過程中體會(huì)到了解決較復(fù)雜問題的一般路徑與策略：通過聯(lián)想，先思考解決一些相關(guān)的簡(jiǎn)單問題，進(jìn)而解決復(fù)雜問題。學(xué)生有序思考問題、有條理分析問題的能力得到提升。

題組可以運(yùn)用在新授教學(xué)中，也可以運(yùn)用在練習(xí)、復(fù)習(xí)教學(xué)中。精心設(shè)計(jì)好題組，靈活運(yùn)用好題組，能催發(fā)深度教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量。