“深”一題 “度”一類
——一道簡單數(shù)列不等式試題的深度探究

沈海全 田曉敏

(1.浙江省紹興市越州中學(xué) 312000;2.浙江省麗水市縉云縣工藝美術(shù)學(xué)校 321400)

原本祥和、安寧的春節(jié)被一場突如其來的疫情打亂. “抗疫”成了2020年新春的主題詞.在這場緊張的戰(zhàn)“疫”斗爭中，老師們積極響應(yīng)號召，在全民抗擊疫情的斗爭中貢獻(xiàn)力量. 筆者也積極投入到“停課不停教，停課不停學(xué)”的工作中. 一次在對一道簡單數(shù)列不等式試題的網(wǎng)課教學(xué)中和學(xué)生無意間擦出了思維的火花，覺得有必要寫出來，意在拋磚引玉.

一、一題“二引申”

引例已知數(shù)列{an}和{bn}滿足b1=2，b2=4，2an+1=an+an+2，且數(shù)列{anbn}的前n和為(n-1)·2n+1+2,n∈N*.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；

解(1)因?yàn)閿?shù)列{anbn}的前n和為(n-1)·2n+1+2，所以當(dāng)n=1時(shí)，a1b1=2；

當(dāng)n≥2時(shí)，anbn=((n-1)·2n+1+2)-((n-2)·2n+2)=n·2n，由b1=2，b2=4，可解得a1=1，a2=2，又因?yàn)?an+1=an+an+2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=n，從而bn=2n.

(2)因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立.

引申1解法一當(dāng)n=1,2時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)n≥3時(shí)，

引申1解法二當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.

引申2解法一易知n≤5時(shí)不等式成立，當(dāng)n≥6時(shí)，

引申2解法三

二、一題“七變式”

我們發(fā)現(xiàn)引例第一問解得的結(jié)果為我們最熟悉的等差、等比數(shù)列，由等差an構(gòu)造了第二問，那么能否由an，bn再發(fā)散一些新的問題呢？下面請看

評注變式1由an構(gòu)造了帶根式的通項(xiàng)，熟悉的類型直接可以疊加相消求和后證明. 變式2是在變式1的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，發(fā)現(xiàn)可以放縮為變式1，從而證得結(jié)果.

評注變式3是由bn構(gòu)造成了指數(shù)型可裂項(xiàng)相消求和的通項(xiàng)，變式4是在變式3的基礎(chǔ)上，拓展為帶根式的指數(shù)型疊加相消問題. 但變式3、4都能直接求和.

解當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；當(dāng)n≥2時(shí)，

解法二當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；當(dāng)n≥2時(shí)，

證明因?yàn)?/p>

評注變式5到變式6是模仿了變式1到變式2的過程，解法一放大為指數(shù)型裂項(xiàng)相消，解法二放大為“等比型”求和. 變式7在變式6的基礎(chǔ)上加進(jìn)根式型.

一題“二引申”、“七變式”促成“深”一題，“度”一類. 若我們數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中能夠引導(dǎo)學(xué)生階梯式的、促進(jìn)式的“深度”學(xué)習(xí)，我們的數(shù)學(xué)課堂會更高效、更有思維深度，學(xué)生的知識體系、思想方法體系會更系統(tǒng)，從而幸福的數(shù)學(xué)課堂不再是夢想.