強(qiáng)化思想意識(shí) 指引解題方向
——例談解三角形中的取值范圍與最值問(wèn)題的求解

吳利華 朱賢良

(安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) 246700)

解三角形問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的必考點(diǎn)，在解三角形的背景下，設(shè)置與邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)、面積等相關(guān)的取值范圍與最值問(wèn)題，成為十分常見(jiàn)的命題角度，受到命題者的青睞.這類(lèi)問(wèn)題注重與函數(shù)、不等式和幾何等知識(shí)的交匯融合，涉及的知識(shí)面廣，靈活性大，綜合性強(qiáng)，求解時(shí)需要充分利用正余弦定理、面積公式、三角形的內(nèi)角和定理，并結(jié)合平面幾何、基本不等式以及函數(shù)值域與最值等知識(shí)來(lái)實(shí)現(xiàn)破解.本文結(jié)合典型例題，對(duì)解三角形中的取值范圍與最值問(wèn)題的求解思路做一梳理與歸納，供讀者朋友研讀與參考.

一、函數(shù)思想

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想強(qiáng)調(diào)通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，是一種用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維策略，它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn).函數(shù)思想堪稱(chēng)是破解取值范圍與最值問(wèn)題的神兵利器，最具普適性與有效性.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用函數(shù)思想解決此類(lèi)問(wèn)題有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是合理選擇自變量以建立函數(shù)關(guān)系，二是準(zhǔn)確求解函數(shù)值域或最值.

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

(2)根據(jù)三角形面積公式，可得

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+c2-a2-ab有唯一零點(diǎn)，則c2-a2-ab=0，結(jié)合余弦定理整理得a=b-2acosC，再結(jié)合正弦定理變形得sinA=sinB-2sinAcosC，即sinA=sin(A+C)-2sinAcosC，即sinA=sin(C-A)，故A=C-A，即C=2A.

由正弦定理，有

注意到△ABC為銳角三角形，則

二、基本不等式

點(diǎn)評(píng)先根據(jù)正弦定理化角為邊，再利用余弦定理和均值不等式，求得cosC的最小值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

例5 (2014年高考全國(guó)Ⅰ卷·理16)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___.

再由基本不等式，bc=b2+c2-a2≥2bc-4，故bc≤4.

點(diǎn)評(píng)本題的實(shí)質(zhì)是將“由bc=b2+c2-4求取bc的最大值”這一基本不等式問(wèn)題完美鑲嵌入解三角形問(wèn)題之中，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的原則.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=1，求b的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)第(2)問(wèn)也可以利用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理將b轉(zhuǎn)化為角A或C的三角函數(shù)求得取值范圍，還可以借助a+c=1將b2=1-3ac轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊a或c的函數(shù)表達(dá)式求得值域.

三、解不等式(組)

在求解某些解三角形中的取值范圍問(wèn)題時(shí)，可以先考慮根據(jù)題設(shè)中的限制條件，等價(jià)地列出邊與角等變量所滿足的不等式(組)，再解之即得對(duì)應(yīng)變量的取值范圍.需要注意的是，在羅列不等式或不等式組時(shí)，應(yīng)該使之與題設(shè)互為充要條件，否則會(huì)誤將取值范圍放大或是縮小.

例7 已知1,3,a為鈍角三角形的三邊之長(zhǎng)，則a的取值范圍是____.

點(diǎn)評(píng)列不等式組時(shí)，要充分考慮1,3,a圍成三角形(任意兩邊之和大于第三邊)，且是鈍角三角形(最大角為鈍角).

點(diǎn)評(píng)借助三角形兩邊之和大于第三邊，進(jìn)而列出關(guān)于q的不等式組是解題的重要一步.

四、軌跡思想

正是由于動(dòng)點(diǎn)的存在，讓三角形中的邊長(zhǎng)、角度具有不確定性.如果能夠弄清楚動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，厘清變量與動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)動(dòng)規(guī)則，則能為問(wèn)題的解決提供新的思路.換而言之，在某些解三角形問(wèn)題中，抓住動(dòng)點(diǎn)軌跡，從軌跡的角度著手，可以實(shí)現(xiàn)巧妙求解.

圖3

點(diǎn)評(píng)本題看似與解析法無(wú)關(guān)，實(shí)則暗藏了動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)乾坤挪移、移花接木.運(yùn)用解析法來(lái)求解這類(lèi)問(wèn)題，可以避免繁瑣的三角計(jì)算，簡(jiǎn)潔明了地獲得問(wèn)題的答案.

例10(2015年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷·理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

分析作為一道解三角形問(wèn)題，首要的問(wèn)題是弄清“三角形”在哪里，即解哪一個(gè)三角形，故考慮連接四邊形的任一對(duì)角線.如圖4，在△ABC中，BC=2，∠B=75°，利用解三角形知識(shí)與函數(shù)思想可求AB的取值范圍.

換個(gè)角度，我們也可以嘗試從畫(huà)圖的角度來(lái)確定AB的變化規(guī)律.如圖5，先畫(huà)定線段BC=2，繼而以BC為公共邊作∠B=∠C=75°，再在∠B的另一邊上選一點(diǎn)A，作∠BAD=75°交∠C另一邊于點(diǎn)D，即得與題意相符的四邊形ABCD.顯然點(diǎn)A在線段A1A2上運(yùn)動(dòng)(不含兩端點(diǎn)).

解法一如圖4，連接AC，設(shè)∠BAC=θ，則∠ACB=105°-θ.

圖4 圖5

解法二如圖5，作CA1∥DA交AB于點(diǎn)A1，延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)A2，則點(diǎn)A在線段A1A2上運(yùn)動(dòng)(不含A1,A2)，即A1B

點(diǎn)評(píng)取值范圍與最值問(wèn)題最普遍的求解方法是利用函數(shù)思想，如解法一，關(guān)鍵在于合理選擇自變量，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，解法厚重而大氣.解法二從運(yùn)動(dòng)的角度入手，著重理清點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀而輕盈.