面向臨近空間目標(biāo)攔截的預(yù)測命中點設(shè)計方法

尹中杰，劉 凱，朱柏羊，韋文書，安帥斌

(1. 大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024；2. 遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點實驗室，大連 116024； 3. 北京空天技術(shù)研究所，北京 100074；4.中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

近年來，隨著高超聲速技術(shù)的發(fā)展，以美俄為代表的軍事大國正在大力發(fā)展臨近空間高超聲速武器[1]。由于高超武器具有飛行速度快、機(jī)動能力強(qiáng)、穩(wěn)定跟蹤難度大的特點，導(dǎo)致防空反導(dǎo)作戰(zhàn)面臨巨大挑戰(zhàn)。因此，以美國為代表的世界大國開始聚焦高超聲速武器防御技術(shù)。2018年美國導(dǎo)彈防御局(MDA)授出21份“高超聲速防御武器系統(tǒng)概念”研究合同用于提高臨近空間防御能力[2]，其中較為引人注意的是3個基于高超聲速平臺的臨近空間目標(biāo)攔截方案，分別是波音公司的“針對高超聲速武器的超高聲速攔截器概念(HYVINT)”、通用原子電磁系統(tǒng)公司的“超高速攔截器系統(tǒng)”、德雷伯實驗室的“超高速吸氣者(HSAB)”。由于高超聲速平臺具有快速響應(yīng)、射程遠(yuǎn)以及中段機(jī)動修正能力強(qiáng)的優(yōu)勢，可有效解決傳統(tǒng)火箭動力攔截系統(tǒng)反臨近空間高超聲速目標(biāo)的瓶頸問題，是后續(xù)發(fā)展中具有潛力的一類攔截方案。

在臨近空間目標(biāo)攔截方案中，預(yù)測命中點設(shè)計問題由于因為存在可行解搜索耗時長、攔截誤差大的問題被廣泛的研究。為進(jìn)一步發(fā)揮高超攔截平臺的射程遠(yuǎn)的優(yōu)勢，需要針對作戰(zhàn)需求基于攔截平臺的動力學(xué)特性重新設(shè)計預(yù)測命中點規(guī)劃方法。

預(yù)測命中點是攻擊彈、攔截彈同時間到達(dá)的一點，預(yù)測命中規(guī)劃需要在攔截彈發(fā)射前，通過算法計算出合理的攔截點，并為攔截彈裝訂相應(yīng)的諸元，使得攔截彈準(zhǔn)時精確的飛抵預(yù)測命中點。在該方面，國內(nèi)外學(xué)者普遍針對火箭動力攔截彈設(shè)計基于標(biāo)準(zhǔn)彈道族的預(yù)測命中點規(guī)劃方法。

基于標(biāo)準(zhǔn)彈道族的預(yù)測命中點設(shè)計是指攔截方離線獲得攔截覆蓋區(qū)域得到標(biāo)準(zhǔn)彈道族，并通過調(diào)整攔截彈發(fā)射方位角形成等時間攔截曲面，并結(jié)合目標(biāo)預(yù)報彈道篩選時間相同、位置重合相遇點的方法。該計算方法可以針對不同類型的目標(biāo)飛行器快速有效地尋找準(zhǔn)確的預(yù)測命中點。

在標(biāo)準(zhǔn)彈道族設(shè)計方面，文獻(xiàn)[3-4]通過設(shè)計攻角指令設(shè)計完成了基于火箭動力的拋物線、直線標(biāo)準(zhǔn)彈道族，上述兩種彈道設(shè)計方式具有方法簡單、可行性強(qiáng)的特點。但是由于彈道的物理特性的因素，上述兩種彈道并不能很完整的囊括攔截平臺的所有攔截覆蓋范圍，存在覆蓋區(qū)域有缺失的問題。文獻(xiàn)[5]首先對攔截需求進(jìn)行分析，引入性能指標(biāo)，優(yōu)化出指標(biāo)最優(yōu)攔截彈道，組成針對不同優(yōu)化指標(biāo)的多個標(biāo)準(zhǔn)彈道族。這種設(shè)計方法可以針對不同攔截狀況，針對攔截需求選取相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)彈道族進(jìn)行更有針對性的預(yù)測命中點搜索。同時由于該方法有多個標(biāo)準(zhǔn)彈道族，可以在某一彈道族搜索失敗后，切換至另一彈道族進(jìn)行搜索，從而提高攔截成功率。并且通過彈道族疊加，在攔截覆蓋范圍上相較于文獻(xiàn)[3-4]具有一定優(yōu)勢，但是通過彈道優(yōu)化算法并不能優(yōu)化出攔截空域最大的標(biāo)準(zhǔn)彈道族，所以同樣無法克服無法囊括所有攔截覆蓋范圍的問題。

在搜索算法方面，文獻(xiàn)[6]采用迭代發(fā)射諸元的方式解算預(yù)測命中點。通過假設(shè)初始的攻角、攔截時間獲得彈道，通過位置偏差迭代攻角、時間修正量，從而逼近發(fā)射諸元正確值。這種方法采用在線求解彈道并修正誤差的方式，具有攔截誤差小的優(yōu)勢，但因為解算諸元較多存在遺漏可行解的問題。文獻(xiàn)[7-8]針對彈道導(dǎo)彈被動段攔截，假設(shè)彈目距離是單調(diào)遞減的，基于斜距迭代的方法，獲得相應(yīng)的發(fā)射諸元從而獲得攔截彈彈道。但是臨近空間高超目標(biāo)相較于彈道導(dǎo)彈具有極強(qiáng)的機(jī)動能力，能夠進(jìn)行大范圍的機(jī)動，攔截陣地與目標(biāo)的斜距可能并不單調(diào)。預(yù)報彈道上可能存在有多個斜距相同的點，會導(dǎo)致迭代出的發(fā)射諸元存在偏差，致使攔截失敗。同時由于搜索算法并未考慮標(biāo)準(zhǔn)彈道族內(nèi)各彈道之間存在的時間、空間規(guī)律，沒有設(shè)置對應(yīng)的彈道搜索區(qū)間篩選、導(dǎo)致需要對標(biāo)準(zhǔn)彈道族內(nèi)的彈道逐一搜索，導(dǎo)致計算耗時長，方法存在局限性。

針對以上問題，本文瞄準(zhǔn)基于吸氣式高超聲速平臺的臨近空間目標(biāo)攔截概念方案，開展預(yù)測命中點設(shè)計問題研究，基于攔截空域最大原則，結(jié)合吸氣式動力攔截平臺的動力學(xué)特性構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)彈道族，在對目標(biāo)預(yù)報彈道搜索區(qū)間預(yù)處理的基礎(chǔ)上，給出高超聲速攔截平臺的預(yù)測命中點高效搜索算法，快速完成預(yù)測命中點規(guī)劃。

1 方案構(gòu)想與吸氣式攔截平臺質(zhì)點動力學(xué)建模

1.1 方案構(gòu)想

新式反臨近空間目標(biāo)高超聲速導(dǎo)彈由助推器、攔截平臺、動能攔截器組成。助推器用于爬升段的助推工作，由固體火箭發(fā)動機(jī)提供動力。攔截平臺為吸氣式高超聲速飛行器，其任務(wù)是搭載一枚或多枚動能攔截器，并將其運抵至導(dǎo)引頭開機(jī)距離。攔截平臺采用軸對稱升力體構(gòu)型，動力方面采用亞燃/超燃雙模態(tài)沖壓發(fā)動機(jī)，動能攔截器采用紅外式側(cè)窗導(dǎo)引頭，具有不小于50 km的探測距離。

在裝備攔截平臺后，防御系統(tǒng)將大體按照如下的方式實施防御作戰(zhàn)：

1)敵方的高超聲速武器放射后，通過天基預(yù)警衛(wèi)星探測目標(biāo)，將預(yù)警信息傳送給作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)。作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)將對目標(biāo)進(jìn)行威脅評估、資源分配，并引導(dǎo)地基雷達(dá)搜索、捕獲和跟蹤目標(biāo)。作戰(zhàn)指揮系統(tǒng)制定交戰(zhàn)計劃，向作戰(zhàn)平臺發(fā)送目標(biāo)數(shù)據(jù)、彈道信息和發(fā)射指令。作戰(zhàn)平臺按照初始發(fā)射方位需求調(diào)整平臺姿態(tài)，然后實施發(fā)射高超聲速導(dǎo)彈指令，發(fā)射高超聲速導(dǎo)彈。

2)高超聲速導(dǎo)彈發(fā)射后，首先由助推火箭加速，助推到Ma4以上后，助推器分離，攔截平臺啟動吸氣式動力發(fā)動機(jī)加速飛行至指定巡航高度/速度，然后依靠吸氣式發(fā)動機(jī)高比沖優(yōu)勢的高超聲速巡航飛行。飛行過程中，地面雷達(dá)站仍然實時跟蹤來襲目標(biāo)，并據(jù)攔截平臺和來襲目標(biāo)信息實時解算新的預(yù)測命中點信息和預(yù)設(shè)彈道信息并實時發(fā)送給攔截平臺，攔截平臺按照接收信息對飛行彈道進(jìn)行修正，導(dǎo)引向新的預(yù)測命中點。

3)當(dāng)攔截平臺飛到預(yù)測命中點附近時，動能攔截器與攔截平臺分離，攔截器立即用紅外感應(yīng)、跟蹤、識別目標(biāo)，確定瞄準(zhǔn)點；在姿軌控發(fā)動機(jī)的控制下，自行接近目標(biāo)，最后通過直接碰撞攔截并摧毀目標(biāo)。

圖1 攔截流程示意圖Fig.1 Operational flow diagram

由于吸氣式攔截平臺所采用的超燃沖壓發(fā)動機(jī)與固體火箭發(fā)動機(jī)存在很大的差異，而現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)彈道族設(shè)計方法并不能有效利用超燃沖壓發(fā)動機(jī)工作特性，導(dǎo)致其無法為吸氣式攔截平臺設(shè)計出攔截空域最大的標(biāo)準(zhǔn)彈道族。除此以外，臨近空間高機(jī)動目標(biāo)相較于彈道導(dǎo)彈具有機(jī)動能力強(qiáng)的特點，傳統(tǒng)的預(yù)測命中點解算流程在攔截臨近空間高機(jī)動目標(biāo)時存在解算速度慢，預(yù)測命中點實際攔截誤差較大的問題?；诖?，這里針對攔截平臺動力學(xué)特性重新設(shè)計了標(biāo)準(zhǔn)彈道族與預(yù)測命中點規(guī)劃方法，從而為基于吸氣式高超攔截平臺的預(yù)臨近空間高機(jī)動目標(biāo)攔截任務(wù)提供相關(guān)技術(shù)途徑。

1.2 攔截平臺質(zhì)點動力學(xué)模型

模型在球形大地假設(shè)下，不考慮地球自轉(zhuǎn)、在發(fā)射坐標(biāo)系下建立質(zhì)點動力學(xué)模型，根據(jù)攔截平臺的特性完成坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化、受力分析并建立動力學(xué)方程[9]：

(1)

式中:x,y,z是發(fā)射系ox,oy,oz軸位置坐標(biāo)；Vx,Vy,Vz發(fā)射系ox,oy,oz軸速度；θ,σ是發(fā)射系下彈道傾角、彈道偏角；D,L,Z,T分別是阻力、升力、側(cè)向力、推力；Isp是比沖；Mfv是發(fā)射系與彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；Mfd是發(fā)射系與彈道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；h,r分別是高度、地心距；m為攔截彈質(zhì)量；g為地表重力加速度；Re是地球半徑。

轉(zhuǎn)換矩陣具體形式如下：

(2)

(3)

式中：υ為傾側(cè)角,φ為俯仰角，ψ為偏航角，γ為滾轉(zhuǎn)角。

1.3 預(yù)測命中點規(guī)劃問題描述

預(yù)測命中點是預(yù)先計算來襲目標(biāo)和攔截彈的飛行彈道,確定出瞬時遭遇點,即預(yù)測命中點,當(dāng)預(yù)測命中點確定后，就導(dǎo)引攔截彈向其接近。基于此，預(yù)測命中點規(guī)劃問題可以描述為：結(jié)合預(yù)報彈道與標(biāo)準(zhǔn)彈道族，通過搜索算法尋找滿足時間約束、位置約束的攔截點。并為攔截彈裝訂相應(yīng)的諸元，確保其準(zhǔn)時精確到達(dá)攔截點。

約束條件如下：

(4)

式中：tf為預(yù)測飛行時間，xtf,ytf,ztf為預(yù)測命中點在發(fā)射坐標(biāo)系下的位置。

2 基于吸氣式攔截平臺的預(yù)測命中點計算方法

2.1 吸氣式攔截平臺飛行策略設(shè)計

攔截平臺發(fā)射后，共經(jīng)歷了固體火箭助推段與超燃沖壓動力巡航段兩種飛行狀態(tài)，這里重點研究巡航階段的飛行軌跡策略。

助推段設(shè)計采用單級運載火箭上升段指令生成規(guī)律進(jìn)行設(shè)計。該方法將火箭上升過程分為若干飛行階段，每段設(shè)定固定的程序角指令，這些指令由有限的參數(shù)決定，根據(jù)任務(wù)需求離線進(jìn)行優(yōu)化得到這些參數(shù)及其對應(yīng)程序指令，裝訂在助推器系統(tǒng)中，上升段飛行過程中利用姿態(tài)控制系統(tǒng)實現(xiàn)程序指令即可。為尋求彈道軌跡的快速生成，將整個上升段分為3段，包括垂直上升段(0～T1)，負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段(T1～T2)，重力轉(zhuǎn)彎段(T2～T3)。

攔截彈全程飛行攻角近似公式為：

(5)

(6)

(7)

式中： 1/v0為推重比,αm是最大負(fù)攻角幅值，tm為負(fù)攻角值最大時刻，T2為負(fù)攻角轉(zhuǎn)彎段，可以自由設(shè)置；T3為固體火箭燃料耗盡時間。

巡航飛行初始狀態(tài)為助推段的末狀態(tài)，在巡航段動力由超燃沖壓發(fā)動機(jī)提供，推力通過數(shù)據(jù)插值得到，即T=T(q,kr,Ma)，其中，q為動壓、kr為推力調(diào)節(jié)閥門開度、Ma為馬赫數(shù)。巡航段考慮攔截平臺的飛行特性，要求攔截平臺盡可能處于等高等速的飛行狀態(tài)。為滿足攔截需求，可以基于飛行高度將彈道分為平飛段與爬升段。

由于巡航速度大于助推段結(jié)束時的速度，這要求攔截平臺首先要加速至規(guī)定速度，再轉(zhuǎn)入等速飛行狀態(tài)。在加速飛行過程推力為超燃沖壓發(fā)動機(jī)所能提供的最大值，即T=Tmax。

等速飛行狀態(tài)，為使速度保持恒定，因此有

(8)

1)平飛段

h=r-Re

(9)

可以對x,y,z求導(dǎo)并再對Vx,Vy,Vz求導(dǎo)，獲得高度對攻角的二階導(dǎo)數(shù)變化率：

(10)

(11)

(12)

式中：dk是搜索方向，則令

(13)

即：

(14)

這里：

2)爬升段

爬升段是指攔截平臺爬升至指定高度的一段飛行過程，可以細(xì)分為定攻角爬升段、直線爬升段、平滑過渡段三個部分。

首先，攔截平臺在定攻角爬升段通過大攻角增加升力改變彈道傾角，從而使得攔截平臺具有爬升能力。當(dāng)彈道傾角達(dá)到預(yù)設(shè)值后，通過直線爬升的方式爬升至一定高度。為使攔截彈道保持直線爬升，需要彈道傾角變化率恒為0°/s，彈道傾角變化率表達(dá)式為：

(15)

可以設(shè)置攻角的迭代初值α0,通過牛頓迭代，即：

(16)

最后通過平滑過渡段，通過以飛行高度為自變量，彈道傾角為因變量的過渡函數(shù)，獲得彈道傾角的程序指令。

φ(h)=

(17)

θd(h)=φ(h)θ1+(1-φ(h))θ0

(18)

式中：hmax為攔截高度，hmin為指定的平滑段起始高度，h為實際高度，θ0為平滑段起始彈道傾角，θ1為期望彈道傾角，由于等高等速的設(shè)計需求，在平滑末端在彈道坐標(biāo)系下期望彈道傾角θ1=0，彈道傾角指令可以簡化為：

θd(h)=(1-φ(h))θ0

(19)

為了將彈道坐標(biāo)系下的彈道傾角指令轉(zhuǎn)化為發(fā)射系下的彈道傾角指令，需要通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，通過轉(zhuǎn)化獲得：

(20)

(21)

式中：δd為彈道系下彈道偏角，由于攔截空域是由一束存在于同一平面內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)彈道族通過旋轉(zhuǎn)發(fā)射方位角的方式獲得，所以υ≡0°。獲得在發(fā)射坐標(biāo)系下的彈道傾角θ′后，通過與當(dāng)前實際的發(fā)射坐標(biāo)系彈道傾角θ相減做差，基于迭代步長Δt，可以得到彈道傾角的變化率：

(22)

發(fā)射坐標(biāo)系下彈道傾角變化率還可以表示為：

(23)

即可通過彈道傾角變化指令完成攻角的迭代。

2.2 攔截平臺標(biāo)準(zhǔn)彈道族設(shè)計

高超攔截平臺采用火箭助推垂直發(fā)射，按照相應(yīng)的攻角指令完成助推段飛行。助推段結(jié)束后，通過超燃沖壓發(fā)動機(jī)加速至指定速度并達(dá)到指定高度。

巡航式攔截器射表由兩種不同的彈道族組成，分別是巡航彈道族與爬升彈道族。

巡航彈道族是指助推段結(jié)束后，通過超燃沖壓動力直接加速至指定速度，爬升至攔截高度，并在攔截高度上等高等速飛行，并由不同攔截高度的巡航彈道完成巡航彈道族。該彈道族的初始高度變化率為攔截平臺允許的最大高度變化率，所以能在最短的時間到達(dá)指定攔截高度，所以在初期有較大的攔截空域，但是在后期，由于爬升時間過早，導(dǎo)致部分彈道高度過高，比沖較低，存在攔截航程較小的問題，所以單一由巡航彈道所組成的標(biāo)準(zhǔn)彈道族不能很好的覆蓋攔截平臺所有的攔截空域，可以通過引入采用其他飛行策略的標(biāo)準(zhǔn)彈道族組成標(biāo)準(zhǔn)彈道族群，從而彌補(bǔ)巡航彈道族未覆蓋的攔截空域。

為彌補(bǔ)巡航彈道族在攔截高度較高時攔截航程較小，無法覆蓋全部的攔截區(qū)域的問題，引入了爬升彈道族。爬升彈道在助推段結(jié)束后，首先在燃料最省的基準(zhǔn)彈道飛行，在某一時刻爬升，當(dāng)高度滿足攔截高度再進(jìn)行等高飛行。并由不同爬升時刻、不同攔截高度的爬升彈道組成爬升彈道族。爬升彈道利用基準(zhǔn)彈道比沖大的特點，可以獲得較大的航程。

由于巡航式高超攔截平臺具有寬速域特性，可以選擇不同的速度進(jìn)行飛行。那么在同一個攔截點，采用不同飛行速度的攔截平臺將有不相同的攔截時間?；诖丝梢栽O(shè)計出多個不同飛行速度的標(biāo)準(zhǔn)彈道族組成標(biāo)準(zhǔn)彈道族群，通過擴(kuò)大搜索范圍的方式提高攔截成功率。

圖2 攔截示意圖Fig.2 Interception diagram

2.3 攔截搜索區(qū)間計算

為提高搜索算法的運算效率，需要基于吸氣式攔截平臺動力學(xué)特性進(jìn)行有針對的減小搜索范圍，同時為保證攔截器處于逆軌攔截狀態(tài)，且不存在不同時間、航程相同的問題，需要對目標(biāo)飛行器進(jìn)行攔截區(qū)域劃分，并分段討論。

首先，獲得航程與時間的關(guān)系，篩選出目標(biāo)—陣地航程單調(diào)遞減區(qū)間，確定一定時間內(nèi)的航程極值點個數(shù)n與相對應(yīng)的時間tn，由此將攔截時間分為n+1段，單調(diào)時間段為t∈[ti-1,ti],i∈[0,n+1]，由此確保在規(guī)定時間段內(nèi)，航程變化是單調(diào)的，不存在航程相同的可能。

由于預(yù)測命中點存在時間與空間上的約束，結(jié)合預(yù)測命中點規(guī)劃需求，可以將其轉(zhuǎn)化為帶有航程約束、高度約束的攔截時間與發(fā)射方位角求解。則可以尋找在攔截時間段內(nèi)滿足航程約束的彈道集合，再從彈道集合中篩選出滿足高度約束的彈道，從而根據(jù)滿足航程、高度約束的攔截點位置計算出攔截時間與攔截平臺發(fā)射方位角。

圖3 時間預(yù)劃分示意圖Fig.3 Time division diagram

由于攔截平臺動力學(xué)特性與標(biāo)準(zhǔn)彈道族構(gòu)成方式，同一速度下標(biāo)準(zhǔn)彈道族內(nèi)各條彈道，在相同時間航程差較小。而基準(zhǔn)彈道(燃料最省彈道)又具有最遠(yuǎn)的航程，可以覆蓋本彈道族內(nèi)在規(guī)定時間區(qū)間所有彈道的航程區(qū)間。

所以可以判斷在某一區(qū)間段內(nèi)目標(biāo)航程—時間與基準(zhǔn)彈道航程—時間曲線是否存在交點，若存在交點，可以認(rèn)為在標(biāo)準(zhǔn)彈道族中存在滿足航程約束的多條彈道，具有篩選到滿足高度約束的預(yù)測命中點的可能性。

交點解算流程如下：

1)判斷基準(zhǔn)彈道與目標(biāo)彈道在某一時間區(qū)間t∈[ti-1,ti],i∈[0,n+1]有沒有航程重疊的區(qū)域。

如果：

R1

(24)

則兩個區(qū)間沒有交點，搜索結(jié)束。其中R1指基準(zhǔn)彈道的航程最大值，R2指目標(biāo)的距離陣地航程最小值。

否則，找出兩者的航程重疊區(qū)域

tqj=[t2(R1),t2(R2)]∩[t1(R2),t1(R1)]

(25)

式中：t2(R)是指目標(biāo)航程為R的時間，t1(R)是指攔截平臺航程為R的時間，tqj為篩選后精簡的時間區(qū)間。

ΔR=Rgj(tqj)-Rlj(tqj)

(26)

式中：Rlj(tqj)指攔截平臺在時間區(qū)間tqj內(nèi)的航程區(qū)間，Rgj(tqj)指目標(biāo)在時間區(qū)間tqj內(nèi)的航程區(qū)間，ΔR為相對距離。

2)計算交點處飛行時間，令：

a=sgn(ΔR)′

(27)

由于ΔR是彈目的相對距離，sgn(ΔR)=1表示該時刻彈目相對接近，sgn(ΔR)=-1表示該時刻彈目相對遠(yuǎn)離，則在預(yù)測命中點ΔR的符號應(yīng)該發(fā)生切換，sgn(ΔR)導(dǎo)數(shù)的幅值變化±2為即：

(28)

(29)

(30)

[t0,R]=(A/B)′

(31)

式中：t0為交點處的時間，R為交點處的航程。

通過以交點處的時間t0作為時間迭代的初始值，并通過將t∈[t0-Δtm,t0+Δtm]與單調(diào)區(qū)間取交集的方式獲得搜索區(qū)間，Δtm為可設(shè)置的預(yù)估時間。

2.4 基于射程迭代的發(fā)射諸元解算

標(biāo)準(zhǔn)彈道族由兩種彈道組成，其中全部的等高巡航彈道可以看作一束彈道，二次爬升時刻tmin為0 s；而爬升彈道中，相同爬升時刻tmin的彈道亦可以看為一束彈道。

在一束彈道中，由于爬升時刻相同，速度相同，在相同時間飛行高度最低的彈道航程最遠(yuǎn)，飛行高度最高的彈道航程最近。則基于這一特性，由最低端的彈道開始，向最高彈道逐一搜索，以爬升起始時間tminlj，燃料耗盡時間tmaxlj_i為攔截區(qū)間ti∈[tminlj,tmaxlj_i]，將攔截區(qū)間ti∈[tminlj,tmaxlj_i]與搜索區(qū)間取交集為t∈[tmin,tmax_i]，如果t∈[tmin,tmax_i]為非空集，并且：

(32)

式中：Rgj為目標(biāo)與攔截陣地的航程，Rlj為攔截平臺與攔截陣地的航程。通過迭代的方式搜索Rgj=Rlj的時間，即：

F0=Rgj(tmin)-Rlj(tmin)

(33)

F1=Rgj(tmin+Δt)-Rlj(tmin+Δt)

(34)

(35)

滿足|(Rgj(t0)-Rlj(t0))|><ΔL，可獲得攔截時間t0。

由于目標(biāo)的航程在搜索區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而一束彈道內(nèi)相同時間高度越高，航程越短，則在下一搜索過程tmin=t，并重復(fù)上述過程，若：

Rgj(tmin)

或

Rlj(tmax)

則結(jié)束在這一束彈道的搜索。

獲得滿足航程約束的攔截彈道后，可基于目標(biāo)預(yù)報彈道中的高度信息篩選出符合攔截要求，并且距離誤差最小的攔截點作為預(yù)測命中點，并計算發(fā)射諸元，發(fā)射諸元包括飛行速度V,發(fā)射方位角Af,攻角α。發(fā)射方位角解算流程如下：

B=arccos(sinλ0sinφf+cosφ0cosφfcos(λf-λ0))

(36)

A1=(sinφf-cosBsinφ0)/(sinBcosφ0)

(37)

A2=(sin(λf-λ0)cosφf)/sinB

(38)

(39)

式中：λ0,φ0是攔截陣地經(jīng)緯度，λf,φf是預(yù)測命中點經(jīng)緯度。

除了發(fā)射方位角Af，為確保攔截平臺能夠滿足約束，還需要基于離線獲得的標(biāo)準(zhǔn)彈道族中，距離預(yù)測命中點最近的攔截彈道獲取攔截爬升時間、攔截高度信息。從而獲得每一時刻的攻角信息，從而為攔截平臺裝訂發(fā)發(fā)射諸元完成預(yù)測命中點規(guī)劃。

圖4 程序框圖Fig.4 Program chart

3 仿真分析

3.1 仿真輸入

考慮攔截方利用探測系統(tǒng)提供的彈道數(shù)據(jù)預(yù)報了未來600 s的攻擊彈彈道，結(jié)果如圖5所示。

表1 仿真輸入數(shù)據(jù)Table 1 Chemical composition of experimental alloy

圖5 目標(biāo)預(yù)報軌跡Fig.5 Target prediction trajectory

圖6 目標(biāo)距離攔截陣地航程Fig.6 Target and intercept position range

由圖6可知目標(biāo)距離攔截陣地的斜距先變小，再變大，再變小，考慮到攔截器僅具有逆軌攔截能力，所以搜索區(qū)間為兩個航程—時間成反比的區(qū)間，即t1∈[0,440],t2∈[459,600]。

3.2 標(biāo)準(zhǔn)彈道族設(shè)計仿真分析

針對高超攔截平臺，這里基于沖壓發(fā)動機(jī)特性設(shè)計了包含巡航彈道與爬升彈道的標(biāo)準(zhǔn)彈道族。

為驗證包含巡航彈道與爬升彈道的標(biāo)準(zhǔn)彈道族是否具有覆蓋所有攔截區(qū)域的能力，這里引入直線彈道。通過設(shè)置固定攔截高度，對比航程與爬升至指定高度的時間，驗證標(biāo)準(zhǔn)彈道族設(shè)計的正確性。

假設(shè)攔截高度為29.5 km，攔截平臺飛行速度1800 m/s，直線爬升彈道的彈道傾角為0.4°。

圖7 航程—時間曲線Fig.7 Range VS time

圖8 高度—時間曲線Fig.8 Height VS time

通過對比圖7和圖8發(fā)現(xiàn)，巡航彈道在攔截初期能夠較早的爬升至預(yù)設(shè)攔截高度，而爬升彈道具有航程上的優(yōu)勢。直線彈道在航程與爬升至攔截高度的時間上均無優(yōu)勢，這也從側(cè)面說明了采用兩種彈道相組合的標(biāo)準(zhǔn)彈道族能夠有效的擴(kuò)展攔截空域。

圖9 覆蓋空域示意圖Fig.9 Dchematic diagram of covered airspace

3.3 預(yù)測命中點規(guī)劃仿真分析

攔截平臺為巡航式飛行器，由超燃沖壓發(fā)動機(jī)提供動力，飛行攻角范圍為α∈[-4°,6°]，為確保發(fā)動機(jī)正常工作，需要動壓滿足約束q∈[30 kPa, 70 kPa]。結(jié)合攔截平臺的飛行速度約束V∈[1800 m/s, 2100 m/s]，攔截高度被限制為H∈[26 km, 30 km]。

基于以上限制，假設(shè)前期獲得4個攔截射表，飛行速度分別為1800 m/s,1900 m/s,2000 m/s,2100 m/s，最大攔截允許誤差為1 km，并設(shè)置搜索區(qū)間為t1∈[0 s,440 s],t2∈[459 s,600 s]。

在t1∈[0 s,440 s]區(qū)間，沒有搜索到可行解。在t2∈[459 s,600 s]區(qū)間，搜索到可行解。采用速度1800 m/s標(biāo)準(zhǔn)彈道族，攔截時間為503 s，發(fā)射方位角-19°，采用爬升彈道，切換時間為400 s，距離誤差146 m，搜索時間小于0.1 s，如圖10所示。

圖10 軌跡示意圖Fig.10 Track diagram

4 結(jié) 論

本文瞄準(zhǔn)基于吸氣式高超聲速平臺的臨近空間目標(biāo)攔截概念方案。結(jié)合吸氣式動力飛行策略構(gòu)建高超聲速攔截平臺的標(biāo)準(zhǔn)彈道族；通過將多約束攔截預(yù)測命中點設(shè)計問題分解為基于航程約束的攔截時間迭代計算問題和滿足高度約束的攔截點的高效篩選問題，從而完成預(yù)測命中點規(guī)劃，為下一代反導(dǎo)攔截系統(tǒng)提供潛在的技術(shù)途徑。