許 志，史 偉，唐 碩

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安 710072)

0 引 言

臨近空間高超聲速武器具有大空域、速度快、機動性強等飛行特性，給防空系統(tǒng)的攔截中制導帶來了新的挑戰(zhàn)[1-5]，具體表現(xiàn)為：1)當?shù)退俚姆揽諏棓r截高速的臨近空間飛行器時，中-末制導交班時導彈只有處于目標的逆軌狀態(tài)時，才能有效降低末制導的需用過載[6]；2)彈-目以一定交會角碰撞可有效提高對目標的毀傷效果。同時當中-末制導交班時滿足零控攔截條件時，可有效降低末制導段的攔截難度；3)防空導彈在臨近空間飛行時可用過載有限，需要降低全程過載并保證終端過載收斂。上述特點使得防空導彈的中制導必需滿足的約束是使導引頭穩(wěn)定捕獲目標、有效降低中制導段的需用過載以及滿足逆軌攔截的要求。

目前國內(nèi)外學者多針對彈-目速度比處于優(yōu)勢條件下的中制導律研究，常用的設(shè)計方法有滑模導引律[7-8]、最優(yōu)導引律[9-12]、比例導引法及其變形[13-14]等。文獻[7]設(shè)計了一種滿足控制能量最小和中末制導交班時速度前置角最小的最優(yōu)滑模中制導律。文獻[9-10]提出了一種滿足終端位置與角度約束的中制導律，并在此基礎(chǔ)上推導出II脈沖點火時刻。文獻[13]推導了基于零控脫靶量的變系數(shù)預測比例導引法，并提出了剩余時間估計方法。上述方法主要是針對低速目標的攔截任務，臨近空間目標特性打破了防空導彈的速度、過載優(yōu)勢，極快的彈-目相對速度導致這些方法難以保證多約束條件下的過載收斂性問題。并且，按照一定交會角攔截目標保證毀傷效果，更降低了這些方法的適用性。而針對目標的精確打擊，在中-末制導交班時進入零控攔截流形，有效降低末制導的攔截難度，對中制導算法的設(shè)計具有重要價值。文獻[15-17]研究了滿足零控攔截條件下的彈-目相對運動關(guān)系，無法適用于滿足特定航跡角約束條件下的零控攔截流形解算。

本文以具有雙脈沖發(fā)動機的防空導彈攔截臨近空間高超聲速目標為攔截場景，在文獻[11]的基礎(chǔ)上改進推導了一種保證終端過載收斂的ZEM-ZEV制導律，基于文獻[15-17]設(shè)計了三維帶航跡角約束的零控攔截流形，并以此為中制導終端約束，改進了上述制導方法無法適用于對交會角的約束；通過在線動態(tài)生成的最優(yōu)初-中制導交班速度方向與II脈沖發(fā)動機開機時刻，進一步降低中制導段的需用過載，滿足飛行時間約束。

1 防空導彈多約束問題

防空導彈采用姿、軌控發(fā)動機與雙脈沖發(fā)動機的方案來提高攔截能力，典型飛行時序如圖1所示。在攻防雙方的飛行特性要求下，防空導彈中制導算法面臨新的困難與挑戰(zhàn)：

1)采用逆軌攔截的方式增加了中-末交班約束條件。由于極快的彈-目相對速度，有效攻擊區(qū)十分狹窄，需要攔截彈具備航跡角、視線角速率約束的逆軌攔截條件，大大增加了中制導技術(shù)難度。典型末制導的攔截條件如圖2所示，由于導引頭視場、機動能力等限制因素，末制導段的捕獲域急劇減小，對中-末制導交班時的速度偏差要求苛刻。因此將防空導彈導引至帶航跡角約束的零控攔截流形是最有效的中制導方式之一。

2)初-中制導交班條件約束。攔截彈采用姿、軌控發(fā)動機的方案來提高初制導轉(zhuǎn)向能力，當交班條件超出范圍時，導彈需要付出較大過載才能調(diào)整飛行狀態(tài)，這會使得攔截彈在臨近空間無法提供足夠的過載而導致脫靶。

圖1 典型防空導彈飛行時序示意圖Fig.1 Typical launch process of a interceptor

圖2 典型末制導攔截條件Fig.2 Typical terminal guidance interception condition

3)可調(diào)II脈沖發(fā)動機開機時刻成為重要的中制導設(shè)計參數(shù)之一。II脈沖發(fā)動機開機時刻決定攔截彈的動力分配，影響全段飛行時間，使攔截彈具備動態(tài)調(diào)整彈-目遭遇點的能力。

由圖2可知，防空導彈需要采取逆軌攔截方式才能保證對臨近空間高超聲速目標的攔截效果。因此本文從以下幾個方面開展工作：首先，利用最優(yōu)控制原理推導滿足多約束的中制導律；其次，設(shè)計帶航跡角約束的零控攔截流形，并作為中-末制導交班約束；最后，在剩余時間高精度估計的基礎(chǔ)上，設(shè)計防空導彈初-中制導交班條件與II脈沖發(fā)動機開機時刻的迭代邏輯，達到降低中制導段需用過載的目的。

2 多約束中制導算法

2.1 基于中-末制導交班約束的ZEM-ZEV制導算法

零控脫靶量(Zero-Effort-Miss，ZEM)定義為零過載條件下飛行器飛行至終端時的位置偏差；零控速度偏量(Zero-Effort-Velocity，ZEV)定義為零過載條件下飛行器飛行至終端時的速度偏差。基于中-末制導交班約束的ZEM-ZEV算法[11]研究制導指令與零控脫靶量、零控速度偏量的關(guān)系，具體推導如下。

在發(fā)射坐標系下的防空導彈質(zhì)心運動方程為：

(1)

式中：r和V分別為是導彈的位置矢量和速度矢量，a是除重力外的合外力T(推力及氣動力)產(chǎn)生的加速度，本文將其視為控制量。

設(shè)計帶時變權(quán)重的全程控制能量最小為性能指標，可有效降低全程過載，并保證過載的收斂性：

(2)

引入中-末制導交班的位置矢量與速度矢量約束，作為中制導終端約束：

(3)

通過求解式(4)的兩點邊值問題可得制導律，引入拉格朗日乘子將終端約束與性能指標結(jié)合，有：

(4)

由式(4)可得，該性能指標對應的哈密爾頓函數(shù)：

(5)

式中：λr，λV分別為位置速度矢量r，V對應的協(xié)態(tài)向量。由變分法求解最優(yōu)控制問題，可得：

(6)

由式(6)可得，控制量與協(xié)態(tài)向量的關(guān)系為：

(7)

式中：tgo=tf-t，表示剩余飛行時間。將式(7)得到的控制量解析模型帶入式(1)質(zhì)心運動方程，通過式(3)的終端約束可得最優(yōu)控制的解：

(8)

進一步將重力加速度簡化為常值，可得：

(9)

引入考慮重力加速度的零控脫靶量Rzem與零控速度偏量Vzev，有：

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)，可得制導指令與零控脫靶量、零控速度偏量的關(guān)系：

(11)

式(11)是基于中-末制導交班位置、速度約束的ZEM-ZEV制導算法，其核心思想是在飛行過程中修正預測位置、速度偏差來適應終端約束，是一種基于預測-校正的制導律。

2.2 帶航跡角約束的零控攔截流形

將攔截彈送入至零控攔截流形可有效降低末制導的過載，是最有效的中制導方式之一。當彈-目距離較近時，可忽略重力加速度對零控攔截流形影響較小[15-17]。

圖3 目標彈道坐標系下的彈-目運動關(guān)系Fig.3 Missile-target motion relationship in target ballistic coordinate system

滿足零控攔截條件的彈-目運動關(guān)系如圖3所示，采用目標彈道系Txyz作為參考系，引入航跡夾角Δθ與航跡偏角Δψ可將彈-目運動分解為兩個平面的運動：Tx-M組成的等效縱向平面和側(cè)向平面Tyz。

圖4 在Tx-M面下的彈-目運動關(guān)系Fig.4 Missile-target motion relationship in Tx-M surface

等效縱向平面運動如圖4所示，引入總視線角q與總彈道傾角θn可得，防空導彈的總彈道傾角為：

θn=Δθ

(12)

由彈-目運動關(guān)系可得碰撞三角形約束，可得滿足零控攔截條件的總視線角與總彈道傾角關(guān)系：

(13)

因此，保證零控攔截條件的彈-目相對位置矢量與導彈速度矢量滿足如下關(guān)系：

(14)

式(14)為Tx-M組成的等效縱向平面運動關(guān)系，保證了帶航跡夾角約束下的零控攔截分布圓條件，需要引入側(cè)向平面Tyz來描述分布圓上點的關(guān)系。

圖5 在Tyz面下的彈-目運動關(guān)系Fig.5 Missile-target motion relationship in Tyz surface

Tyz面的彈-目相對運動關(guān)系如圖5所示，彈-目相對運動在Tyz面的分量指向原點T可保證三維零控攔截條件：

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)，可得目標彈道坐標系下帶航跡角約束的零控攔截流形，將上式轉(zhuǎn)化為發(fā)射坐標系下，有：

(16)

式中：L(ψVT,θT)為發(fā)射系與目標彈道系的轉(zhuǎn)換矩陣。式(16)是帶航跡角約束的零控攔截流形，是防空導彈在中-末制導交班時需要滿足的條件。

3 中制導算法求解

3.1 制導參數(shù)迭代算法

以帶航跡角約束的零控攔截流形作為中制導終端約束，依靠當前飛行狀態(tài)預測終端位置、速度偏差生成制導指令，是本文所提多約束中制導的核心思想，因此需要解算三項內(nèi)容：剩余時間tgo、零控脫靶量Rzem、零控速度偏量Vzev。

圖6 ZEM-ZEV制導算法基本原理Fig.6 Basic principle of ZEM-ZEV guidance algorithm

制導參數(shù)的矢量關(guān)系如圖6所示。將式(1)簡化為關(guān)于法向過載n的攔截彈狀態(tài)微分表達式，引入軌跡預示的目標狀態(tài)微分表達式，組成彈-目運動狀態(tài)方程：

(17)

式中：XM，XT分別為導彈與目標的運動學參量。將零控條件下的狀態(tài)微分方程積分來預測未來防空導彈的飛行狀態(tài)，有：

(18)

引入導引頭探測距離R，當彈-目距離小于R時視為中-末制導交班完成。以附加零控攔截流形的目標預示信息作為時變中制導終端約束，即：

(19)

聯(lián)立式(17)，(19)，積分至防空導彈距中制導終端位置最近時，作為迭代結(jié)束標志，即：

(VT f-VMf)·(rT f+R′-rMf)=0

(20)

式中：rMf，rTf分別是彈、目終端位置矢量，VMf，VTf分別是彈、目終端速度矢量，R′是帶航跡角約束的零控攔截流形中距離矢量。由式(20)迭代終端時刻tf與當前飛行時刻t，可以得到中制導剩余時間高精度估算結(jié)果，即：

tgo=tf-t

(21)

因此，制導算法中的Rzem與Vzev分別為：

(22)

聯(lián)立式(21)和(22)，可得制導算法中的剩余時間tgo，零控脫靶量Rzem，零控速度偏量Vzev。通過引入標稱零控導彈運動模型與目標預示模型解算的制導參數(shù)，提高中制導剩余時間估計精度，保證終端偏差收斂至0。

3.2 交班參數(shù)及點火時間的計算

保證初-中制導交班平緩是降低中制導需用過載的必要條件之一。將采用直接力轉(zhuǎn)彎后的彈體轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)化為速度轉(zhuǎn)向，簡化轉(zhuǎn)彎后的初制導為零控飛行，因此初-中制導交班條件可轉(zhuǎn)化為保證交班平緩的初始速度方向優(yōu)化問題。本文根據(jù)研究對象的特性，利用具備實現(xiàn)容易、精度高、收斂快等特點的粒子群算法，設(shè)計初中制導交班點速度方向迭代邏輯。

以來襲目標的初始方向為射向，將初始彈道傾角與彈道偏角作為粒子群算法的控制量，即：

u=(θ,ψV)

(23)

引入式(11)的制導律，建立控制量與初-中制導交班處法向過載的關(guān)系：

(24)

以交班處的法向過載最小作為性能指標：

(25)

根據(jù)各個粒子的性能，計算個體最優(yōu)位置pi,j與全局最優(yōu)位置gj，根據(jù)粒子群算法進行迭代：

(26)

式中：r為更新粒子時所使用的隨機數(shù)，c為全局最優(yōu)與粒子最優(yōu)所占比重。通過上式將粒子群不斷迭代至滿足精度要求為止，即：

(27)

在設(shè)計II脈沖發(fā)動機開機時刻時，通過引入剩余時間估算方法，以全段飛行時間偏差的指標來設(shè)計II脈沖發(fā)動機開機時刻，并引入牛頓迭代法作為迭代基本方法，有：

(28)

當II脈沖開機時間迭代至滿足精度要求時，停止當前步驟迭代；當動態(tài)生成的開機時刻與飛行時間匹配時，II脈沖發(fā)動機點火。

4 逆軌攔截中制導算法的仿真驗證

本文以某臨近空間高超聲速滑翔飛行器作為攔截對象，初始位置為(300 km，60 km，0 km)，初始速度3500 m/s，初始彈道傾角、偏角為(-22°，180°)，在臨近空間作“S”形機動，飛行過程中伴隨著大幅度機動減速。

4.1 標稱條件下多彈攔截機動目標仿真校驗

本文通過設(shè)置不同飛行時間與航跡角約束的飛行任務來校驗算法對終端任務的適應性。假設(shè)目標軌跡預示準確，設(shè)計標稱條件下的多彈組網(wǎng)攔截場景：三枚防空導彈相隔4 s發(fā)射，全程飛行時間88 s，按照不同航跡角進行組網(wǎng)攔截。同時引入預測比例導引法(PPN)與本文所提方法進行對比。

表1 標稱條件下機動目標多彈攔截仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of maneuverubf target mutielastic intercept under nominal conditions

圖7 機動目標無偏攔截飛行參數(shù)曲線Fig.7 Maneuvering target interception flight parameter curve under unbiased condition

標稱條件下各項飛行參數(shù)的仿真曲線如圖7所示。圖7(a)飛行軌跡曲線中，兩種算法的中-末制導交班點重合，但本文所提算法的脫靶量更小，表明本文所提算法保證將防空導彈送入零控攔截流形中，可有效降低末制導過載；圖7(b)、(c)彈道方向與過載曲線中，設(shè)計的初始速度方向保證了初-中制導平緩交班，在降低全程過載的同時能夠使過載具有收斂性，對比預測比例導引法具有明顯優(yōu)勢；圖7(d)預測飛行余時間與真實飛行時間重合，表明本文提出的剩余時間求解算法高精度地估算出中制導段飛行時間，根據(jù)攔截任務在線動態(tài)生成II脈沖發(fā)動機開機時刻。根據(jù)表1給出時間偏差、視線角速率、零控脫靶量等仿真結(jié)果可知，本文所提方法能夠同時滿足終端位置、速度方向與飛行時間約束，進而將導彈導引至帶航跡角約束的零控攔截流形中，在有效降低中制導段需用過載的同時，保證了過載的收斂性。對比預測比例導引法，由于無法引入速度方向約束，會引起較大的脫靶量。

4.2 偏差條件下算法魯棒性驗證

為檢驗本文所提制導方法的制導精度及魯棒性，針對防空導彈總體參數(shù)的偏差散布(如表2所示)進行Monte Carlo打靶方法仿真檢驗。引入偏差條件下的攔截場景：10 s時攔截彈按照解算的初始速度方向(53.56°，-17.38°)發(fā)射，以預定終端航跡角(10°,90°)攔截目標，通過動態(tài)調(diào)整Ⅱ脈沖發(fā)動機開機時刻來滿足全程任務飛行時間(80 s)。

表2 防空導彈總體參數(shù)偏差配置表Table 2 Air defense missile overall parameter deviation configurationTable

圖8 偏差條件下機動目標攔截飛行參數(shù)曲線Fig.8 Maneuvering target interception flight parameter curve under biased condition

偏差條件下各項飛行參數(shù)的仿真曲線如圖8所示，不同偏差散布下算法通過動態(tài)調(diào)節(jié)II脈沖發(fā)動機的開機時刻，保證飛行時間約束。由圖8(b)、(c)可以看出在初-中制導交班點等典型飛行時刻的過載曲線出現(xiàn)較大階躍，這是由于存在總體參數(shù)偏差，使用標稱值解算制導參數(shù)時會帶來額外的機動，但仍保證了在全程過載較小的前提下的終端過載收斂；圖8(d)中制導預測飛行時間散布在±2 s以內(nèi)，參數(shù)偏差降低中制導預測時間的精度，影響II脈沖開機時刻，但預測飛行時間偏差散布較小，仍舊具備重要的應用價值。

由表3給出統(tǒng)計結(jié)果可知，本文所提中制導算法對總體參數(shù)偏差具有強魯棒性、制導精度高，在偏差條件下完成預定攔截任務。

5 結(jié) 論

1) 本文基于最優(yōu)控制理論，推導滿足中-末制導交班位置、速度方向約束與過載收斂的最優(yōu)中制導律，設(shè)計帶航跡角約束的零控攔截流形作為中制導終端約束；

表3 攔截任務與蒙特卡洛仿真統(tǒng)計結(jié)果表Table 3 Intercept task and Monto Carlo simulation statisticsTable

2) 通過引入彈-目軌跡預示信息，采用剩余時間高精度估計方法，實時迭代中制導律相關(guān)參數(shù)；根據(jù)初-中制導平緩與飛行時間約束，動態(tài)生成初始速度方向與II脈沖發(fā)動機的點火時間，提高算法對不同任務的適應性；

3) 通過蒙特卡洛仿真，檢驗了本文所提出的中制導算法魯棒性好、精度高，具備重要的研究意義與應用價值。但由于本文所提方法引入了目標軌跡預示的信息，未來將結(jié)合軌跡預示方法，對該制導算法做進一步的優(yōu)化設(shè)計，以驗證算法對預示偏差的適應能力。