師東生 石煒

摘? 要： 文中構(gòu)建了一個(gè)新的五維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)在[x?z]方向和[x?w]方向上均具有四翼特征。通過(guò)在Lyapunov指數(shù)、龐加萊截面圖、分岔圖以及頻譜圖等方面的仿真與分析，確定具有四翼吸引子的超混沌系統(tǒng)具有更高的Lyapunov指數(shù)。迭代生成的序列值分布更為均勻、離散，表明新構(gòu)建的超混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，擁有更寬的頻譜帶寬，在通信、信息安全等領(lǐng)域具有更為廣闊的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞： 高維超混沌系統(tǒng); 動(dòng)力學(xué)行為; 四翼吸引子; Lyapunov指數(shù)分析; 龐加萊截面分析; 功率譜分析

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.7?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)： 1004?373X（2020）19?0010?04

Abstracts： A new five?dimensional hyperchaotic system is constructed in this paper. The system has four?wing characteristics in both [x?z] and [x?w] directions. By simulation and analysis of Lyapunov exponent， Poincare section， bifurcation diagram and frequency spectrum， it is determined that the hyperchaotic chaotic system with four?wing attractor has higher Lyapunov exponents， and the sequence values generated by iteration are more uniform and discrete. The analysis results show that the newly?constructed hyperchaotic system has more complex dynamic behavior and broader spectrum bandwidth， and has a wider application prospect in communication， information security and other fields.

Keywords： high?dimensional hyperchaotic system; dynamic behavior; four?wing attractor; Lyapunov exponent analysis; Poincare section analysis; power spectrum analysis

0? 引? 言

自1963年美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)三維混沌系統(tǒng)——Lorenz系統(tǒng)以來(lái)，諸多學(xué)者致力于混沌系統(tǒng)的研究，并相繼推出了許多著名的混沌系統(tǒng)，如：Chen系統(tǒng)、Sprott系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)等。由于混沌系統(tǒng)具有遍歷性、有界性、初值敏感性等特點(diǎn)[1]，因而被廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、信息安全、生物技術(shù)等領(lǐng)域。近幾年來(lái)，學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)：低維（三維及以下）的混沌系統(tǒng)由于大都具有少而偏低的Lyapunov指數(shù)，從而容易導(dǎo)致混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為過(guò)于簡(jiǎn)單，在信息安全領(lǐng)域會(huì)導(dǎo)致密鑰空間偏小、周期窗穩(wěn)定等缺陷[2?5];高維混沌系統(tǒng)（五維及以上）由于正的Lyapunov指數(shù)多于2個(gè)，因而復(fù)雜性更高、魯棒性更強(qiáng)，在信息安全領(lǐng)域具有更高的可靠性。而具有四翼蝴蝶混沌吸引子的混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，在信息安全方面具有更高的安全性，于是更多的四翼混沌系統(tǒng)應(yīng)運(yùn)而生并得到廣泛應(yīng)用，如：三維四翼混沌系統(tǒng)[6?8]、四翼超混沌系統(tǒng)[9?13]、分?jǐn)?shù)階四翼混沌系統(tǒng)等[14?15]。

本文構(gòu)建了一個(gè)新的五維超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)在[x?z]以及[x?w]方向上均具有四翼特征，通過(guò)對(duì)Lyapunov指數(shù)、分岔圖、龐加萊截面和功率譜等方面的仿真研究，確定該超混沌系統(tǒng)具有較高的Lyapunov指數(shù)和更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

1? 新五維超混沌系統(tǒng)

新五維超混沌系統(tǒng)如式（1）所示：

式（1）部分三維相圖和平面相圖如圖1所示，圖2為時(shí)間序列圖。

2? 動(dòng)力學(xué)行為分析與仿真

2.1? 耗散性

2.2? 平衡點(diǎn)分析

2.3? Lyapunov指數(shù)與分岔圖

Lyapunov指數(shù)刻畫(huà)了在相空間里系統(tǒng)兩條相鄰的軌道之間收斂和發(fā)散的平均指數(shù)率[16]。正的Lyapunov指數(shù)是引起混沌吸引子局部不穩(wěn)定的根源，它導(dǎo)致兩個(gè)初始值所產(chǎn)生的兩條軌道隨時(shí)間以指數(shù)方式分離，由于系統(tǒng)是耗散的，所以混沌系統(tǒng)會(huì)變得局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定[17]。

從圖4～圖6中可見(jiàn)，當(dāng)參數(shù)[a∈][20，60），具有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)為超混沌狀態(tài);當(dāng)[a∈][60，85）時(shí)，有1個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)為混沌狀態(tài);當(dāng)[a∈][85，100]時(shí)，最大的Lyapunov指數(shù)為0，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)[c∈][6，20]時(shí)，具有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，為超混沌狀態(tài)。當(dāng)[d∈][2，26]時(shí)，具有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，為超混沌狀態(tài);當(dāng)[d∈][27，30]時(shí)，只有1個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，為混沌狀態(tài)。

分岔圖用來(lái)表示當(dāng)某一參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)隨之發(fā)生變化的圖示。從圖4～圖6可見(jiàn)，當(dāng)具有正的Lyapunov指數(shù)時(shí)，分岔圖也隨之呈密集分布狀態(tài)，與式（1）的混沌或超混沌狀態(tài)相吻合。

2.4? 龐加萊截面分析

當(dāng)龐加萊截面上出現(xiàn)[k]個(gè)離散的點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)是[k]周期運(yùn)動(dòng)的;當(dāng)截面出現(xiàn)一條封閉曲線時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)是擬周期運(yùn)動(dòng)的;當(dāng)截面出現(xiàn)成片、并具有分形特征的大量截點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖7為[x?z]方向和[x?w]方向的龐加萊截面圖，截面圖上均出現(xiàn)了由大量截點(diǎn)構(gòu)成的具有分形結(jié)構(gòu)的葉片，這些葉片穿越上下吸引界限，從而形成四翼混沌吸引子。

2.5? 頻譜分析

功率譜是將Fourier變化應(yīng)用到相空間的坐標(biāo)中得到的系統(tǒng)二維圖形表述。若系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)，則呈現(xiàn)連續(xù)的譜線，同時(shí)可看到噪聲背景和寬峰，并會(huì)觀測(cè)到尖峰[16]。

圖8為關(guān)于[x]，[y]分量的功率譜圖，可見(jiàn)式（1）的頻譜帶寬明顯寬于三維Chen系統(tǒng)和三維Lorenz系統(tǒng)的頻譜帶寬，此特性非常有利于在信息加密等領(lǐng)域的應(yīng)用。

3? 結(jié)? 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)新構(gòu)建的五維超混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真測(cè)試，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在[x?z]方向和[x?w]方向上均具有四翼特征，而且具有較高的Lyapunov指數(shù)，說(shuō)明該系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為;其時(shí)間序列圖也表明了該系統(tǒng)迭代生成的值分布均勻而密集，離散性強(qiáng);功率譜圖也展示了其具有更為寬厚的頻譜帶寬，說(shuō)明該系統(tǒng)在信號(hào)處理、信息安全等方面具有更為良好的應(yīng)用前景。

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