橢圓球面波函數信號時頻分布特性研究

繆幸吉 王紅星 劉傳輝 陸發(fā)平 康家方

摘? 要： 針對橢圓球面波函數（PSWF）信號的頻率時變特性，通過引入Wigner?Ville分布時頻分析方法，在時頻域上建立PSWF信號Wigner?Ville分布與其自身特性之間的關系，重點研究了PSWF信號時頻分布特性與信號頻域區(qū)間、對應階數和時頻能量分布特性的關系。理論分析和數值分析表明，PSWF信號時頻分布特性具有良好的對稱性、時頻能量聚集性，且時頻分布的特征參量與PSWF信號頻域區(qū)間、對應階數和時頻能量分布特性密切相關。結論進一步深化了對PSWF信號時頻分布特性的認知，為下一步在時頻域上探索研究新型、高效PSWF調制信號檢測方法提供了重要的參考依據。

關鍵詞： 橢圓球面波函數; 時頻分布; 能量聚集; Wigner?Ville分布; 理論分析; 數值分析

中圖分類號： TN911.7?34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）19?0014?05

Abstract： In view of the time?varying characteristics of the frequency of PSWF （prolate spherical wave function） signal， the Wigner?Ville distribution time?frequency analysis method is introduced to establish the relationship between the Wigner?Ville distribution of PSWF signal and its own characteristics in the time?frequency domain. The relationship between the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal and signal frequency domain interval， and corresponding order and time?frequency energy distribution is emphatically studied. Theoretical analysis and numerical analysis results show that the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal have good symmetry and time?frequency energy aggregation， and the characteristic parameters of time?frequency distribution are closely related to the frequency domain interval， corresponding order and time?frequency energy distribution character of PSWF signal. The conclusion further deepens the perception for the time?frequency distribution characteristics of PSWF signal， and provides an important reference for the next step to explore and study a new and efficient PSWF modulation signal detection method in the time?frequency domain.

Keywords： prolate spherical wave function; time?frequency distribution; energy aggregation; Wigner?Ville distribution; theoretical analysis; numerical analysis

0? 引? 言

1961年，針對香農所提出的問題：一個函數能多大程度在它的頻譜限制在有限帶寬而同時又在時域上是集中分布的，貝爾實驗室的D.Slepian和O.Pollak在研究報告中給出了PSWF（Prolate Spheroidal Wave Function）這類特殊函數的集合[1]。PSWF具有完備性、雙正交性、時域奇偶性和最佳時頻能量聚集性等優(yōu)良特性[2]?；赑SWF的優(yōu)良特性，文獻[3]提出了一種基于PSWF的非正弦時域正交調制方法，有效提高了系統(tǒng)頻帶利用率。在理想信道下，基于PSWF良好的正交性可以有效分離和解調PSWF調制信號，但在惡劣信道條件下，信號間正交性被破壞，相干檢測性能急劇惡化。如何從PSWF調制信號中高效分離、檢測各路PSWF信號，是目前亟需解決的關鍵性問題。目前，現(xiàn)有檢測方法主要利用PSWF信號特性在時域或頻域的能量密度分布特征規(guī)律對信號進行檢測，而PSWF信號是典型的非平穩(wěn)信號，信號頻率分量隨時間不斷變化，PSWF信號在時頻域呈現(xiàn)什么分布特性，能否從中探索可用于信號檢測的時頻特征參量，相關研究文獻較少。充分研究PSWF信號的時頻分布特性，不僅能完善PSWF信號特性，還能為研究高效的PSWF調制信號檢測方法提供理論依據，具有十分重要的意義。

在二維時頻域研究PSWF信號時頻特性，需要選取具有較高時域和頻域分辨率的時頻分析方法[4]。根據PSWF定義可知，PSWF信號頻率會隨時間發(fā)生非線性變化，可以看作是一類特殊的非線性信號。現(xiàn)有非線性時頻分析方法主要包括：Cohen類[5]和Hilbert?Huang變換[6]等。Hilbert?Huang變換利用Hilbert變換研究由信號分解成的本征模態(tài)函數的瞬時屬性，從而得到多頻率分量信號的時頻特性，由于原理步驟的限制，利用該方法準確分析沒有閉式解析解的PSWF信號的時頻分布特性十分困難。相比之下，Cohen類時頻分析方法通過構造核函數對信號進行雙線性變換，可以避免對信號進行分解的步驟，更加適合分析PSWF信號時頻分布特性。Cohen類時頻分析方法中常用的是Wigner?Ville分布方法[7]，其中Wigner?Ville分布本質上是二維時間?頻率能量密度函數，可以將信號能量映射到二維時頻域平面，并且具有較高的時頻分辨率。

本文首先從PSWF定義出發(fā)，給出了基帶、帶通PSWF信號的求解方法;其次，引入Wigner?Ville分布時頻分析方法，圍繞PSWF信號頻域區(qū)間、對應階數和時頻能量分布特性三個方面，對PSWF信號時頻分布特性進行研究，并通過理論分析和數值分析，結合時頻分布的特征參量，給出PSWF信號時頻分布特性。

1? PSWF定義

故帶通PSWF信號本質上可通過基帶PSWF信號分別與正余弦信號相乘運算后得到，即[n]階基帶PSWF信號分別乘正、余弦信號可得到[2n]和[2n+1]階帶通PSWF信號。

2? PSWF信號時頻分布特性

Wigner?Ville分布是典型的時頻聯(lián)合分析方法，用于分析非平穩(wěn)信號幅頻特性隨時間的變化情況。信號[s（t）]的Wigner?Ville分布定義如下：

式中，信號[s（t）]為任意非平穩(wěn)信號，通常式（4）也被稱為信號[s（t）]的自Wigner?Ville分布。該方法是利用時間?頻率聯(lián)合函數分析非平穩(wěn)信號的方法，其主要思想是通過設計時間和頻率的聯(lián)合函數，同時描述信號在不同時間、頻率的能量密度，其本質就是將信號能量分布映射到時頻平面，反映信號在二維時頻能量域的能量密度分布。

本節(jié)根據基帶、帶通PSWF信號自身特性不同的特點，從信號在時域、頻域的能量密度分布特性兩個方面出發(fā)，分別建立基帶、帶通PSWF信號在時域和頻域的能量密度分布特性與信號性質之間的關系，進而分析PSWF信號的時頻分布特性。

2.1? 基帶PSWF信號時頻域能量密度分布

由于PSWF是帶限時限信號，其時域區(qū)間為[[-T2，T2]]，頻域區(qū)間為[[-Ω，Ω]]，第[i]階基帶PSWF信號[ψit]的Wigner?Ville分布為：

由于Wigner?Ville分布為二維時間?頻率能量密度函數，對其進行頻域積分便可得到時域能量密度分布函數。對式（5）進行頻域積分得到基帶PSWF信號時域能量密度分布為：

由式（6）可知，基帶PSWF信號時域能量密度分布為其瞬時能量，其能量峰值個數與信號階數有關，且峰值位置關于時域中心時刻呈現(xiàn)偶對稱。結合第2.1節(jié)可知，0階基帶PSWF信號在時域區(qū)間[[-T2，T2]]內能量聚集性最優(yōu)，隨著信號階數的增加，時域能量聚集性逐漸降低。

對基帶PSWF信號的Wigner?Ville分布進行時域積分便可得到頻域能量密度分布。將式（5）進行時域積分得到基帶PSWF信號時域能量密度分布為：

由式（7）可知，基帶PSWF信號頻域能量密度分布為其自功率譜，其中心頻率為[ψit]的中心頻率，信號在頻域的能量密度分布呈現(xiàn)偶對稱，其能量峰值位于中心頻率。

2.2? 帶通PSWF信號時頻域能量密度分布

結合式（3）和式（5）可知，相鄰兩階帶通PSWF信號的Wigner?Ville分布表達式如下：

與基帶PSWF信號時頻域能量密度分布分析相同，結合式（3），式（7）和式（8）可知，相鄰兩階帶通PSWF信號時頻域能量密度分布分別為：

由于[n]階基帶PSWF信號分別乘正、余弦信號可得到[2n]和[2n+1]階帶通PSWF信號，因此，與基帶PSWF信號時頻分布特性類似，0階帶通PSWF信號在時域區(qū)間[[-T2，T2]]內能量聚集性最優(yōu)，隨著信號階數的增加，時域能量聚集性逐漸降低。能量峰值個數與其所對應的基帶PSWF信號階數有關，且峰值位置關于時域中心時刻呈現(xiàn)偶對稱，能量峰值中心頻率為[ψDnt]的中心頻率，在頻域的能量密度分布呈現(xiàn)偶對稱。

由上述分析可知，第[2n]和[2n+1]階帶通PSWF信號對應的能量峰值個數都與第[n]階基帶PSWF信號[ψnt]一致，從而導致無法直接利用能量峰值個數區(qū)分相鄰兩階帶通PSWF信號。因此，這里通過引入瞬時頻率對信號進行分析[8]，瞬時頻率作為瞬時物理量之一，能在非平穩(wěn)信號分析中起到重要作用，PSWF信號瞬時頻率為：

式中：下標[i]代表瞬時;[ψ′Dnt]表示第[n]階帶通PSWF信號的解析信號，瞬時頻率本質是解析信號[ψ′Dnt]的相位的導數。由于帶通PSWF信號本質上是基帶PSWF信號通過正余弦信號相乘得到，相鄰兩階帶通PSWF信號的相位差異必然導致其瞬時頻率不同。因此，通過將瞬時頻率作為特征參量，能夠有效區(qū)分出相鄰兩階帶通PSWF信號。

3? 數值分析

由于PSWF信號無閉式解析解，無法通過理論完全準確地分析PSWF信號的時頻分布特性。因此，本節(jié)借助計算機數值計算，對理論分析進行仿真驗證，證明理論分析的正確性。同時，利用仿真結果進一步探索PSWF信號的時頻分布特性。

3.1? 仿真條件

為了深入分析PSWF信號的時頻分布特性，利用Wigner?Ville分布方法分別對基帶PSWF信號和帶通PSWF信號進行時頻分析，驗證理論分析的正確性。仿真的PSWF信號參數設置如表1所示。

3.2? 仿真結果與分析

3.2.1? 基帶PSWF信號時頻分布特性

圖1為前4階基帶PSWF信號的Wigner?Ville分布圖。從圖1中可知：

1） 0階基帶PSWF信號時域能量聚集性最佳，能量集中在中心時刻，隨著信號階數的增加，信號能量峰值逐漸向邊緣時刻漂移，能量峰值位置在時域上分布跨度逐漸增加，且靠近中間時刻的能量峰值逐漸降低，導致信號時域能量聚集性不斷降低。例如，0階信號時域能量峰值位于時刻為1 s時，1階信號時域能量峰值分別位于時刻為0.5 s和1.5 s時，2階信號時域能量峰值分別位于時刻為0.25 s，1 s和1.75 s時，3階信號時域能量峰值分別位于時刻為0.125 s，0.75 s，1.25 s和1.75 s時。

2） 基帶PSWF信號頻域能量峰值位于中心頻率處，且頻域能量分布關于中心頻率對稱，0階基帶PSWF信號頻域能量聚集性最佳，隨著信號階數的增加，頻域能量分布區(qū)域逐漸擴大，集中程度不斷降低，進而導致頻域能量聚集性不斷降低。例如，基帶PSWF信號能量峰值點都位于0 Hz，0階信號頻域能量分布在[-1.5 Hz，1.5 Hz]，1階信號頻域能量分布在[-1.65 Hz，1.65 Hz]，2階信號頻域能量分布在[-1.8 Hz，1.8 Hz]，3階信號頻域能量分布在[-2.2 Hz，2.2 Hz]。

3） 基帶PSWF信號時頻平面能量密度分布分別關于時間、中心頻率呈現(xiàn)偶對稱特性，能量峰值都位于信號中心頻率處，且其個數[n]與信號階數[i]相關，滿足[n=i+1]。例如，0階、1階、2階和3階基帶PSWF信號分別有1，2，3，4個能量峰值點。

3.2.2? 帶通PSWF信號時頻分布特性

圖2為前四階帶通PSWF信號的Wigner?Ville分布圖。從圖2中可知：

1） 0階帶通PSWF信號時域能量聚集性最佳，能量集中在中心時刻，隨著信號階數的增加，信號能量峰值逐漸向邊緣時刻漂移，能量峰值位置在時域上分布跨度逐漸增加，且靠近中間時刻的能量峰值逐漸降低，導致信號時域能量聚集性不斷降低，與基帶PSWF信號一致。例如，0階和1階帶通PSWF信號時域能量峰值位于時刻為2 s時，2階和3階帶通PSWF信號時域能量峰值分別位于時刻為1.25 s和2.75 s時。

2） 帶通PSWF信號頻域能量峰值位于中心頻率處，且頻域能量分布關于中心頻率對稱，0階帶通PSWF信號頻域能量聚集性最佳，隨著信號階數的增加，頻域能量分布區(qū)域逐漸擴大，集中程度不斷降低，進而導致頻域能量聚集性不斷降低。例如，帶通PSWF信號能量峰值點都位于0 Hz，0階信號頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 300 Hz，4 700 Hz]，1階頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 300 Hz，4 700 Hz]，2階頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 200 Hz，4 800 Hz]，3階信號頻域能量分布在頻域區(qū)間[3 200 Hz，4 800 Hz]。

3） 帶通PSWF信號時頻平面能量密度分布分別關于時間、中心頻率呈現(xiàn)偶對稱特性，能量峰值都位于信號中心頻率處，且能量峰值點個數[n]與帶通PSWF信號階數[i]相關，滿足[n=i2+1]。例如0階、1階帶通PSWF信號由0階基帶PSWF信號產生，2階和3階分別由1階基帶PSWF信號產生，0～4階帶通PSWF信號分別有1，1，2，2個能量峰值點，與對應的基帶PSWF信號能量峰值點個數一致。

4） 觀察圖2a）中2階和3階信號，可以發(fā)現(xiàn)2階信號在時間為1.75 ms和2.25 ms時，瞬時頻率位于頻域區(qū)間下限附近;而3階信號在時間為1.75 ms和2.25 ms時，瞬時頻率位于頻域區(qū)間上限附近。結合前文分析可知，由于1階基帶PSWF信號分別與正余弦函數相乘，得到對應的2階和3階帶通PSWF信號，2階和3階帶通PSWF信號奇偶性和相位正好相反，故其瞬時頻率必然不相同，反映在圖中便是在頻域區(qū)間上、下限附近出現(xiàn)的“尖峰”。雖然相鄰兩階帶通PSWF信號能量峰值點個數、位置和能量密度分布區(qū)域是相同的，難以進行區(qū)分，但通過觀察特定時刻的瞬時頻率，可以實現(xiàn)對相鄰兩階帶通PSWF信號的甄別。

4? 結? 語

本文通過建立Wigner?Ville分布與PSWF信號自身特性之間的關系，深入研究了PSWF信號時頻分布特性與信號頻域區(qū)間、對應階數和時頻能量分布特性之間的關系，將圍繞PSWF信號在單一能量域的相關研究拓展到二維時頻能量域。理論分析和數值分析表明， PSWF信號在時頻域分別呈現(xiàn)出眾多特征規(guī)律，其時頻分布的特征參量與信號的頻域區(qū)間、對應的階數和時頻能量分布特性密切相關。相關結論進一步完善了PSWF信號的基礎特性，如何充分利用挖掘出的PSWF信號時頻分布特性，確定具體PSWF調制信號的檢測邊界和規(guī)則，研究基于PSWF信號時頻分布特性的高效檢測方法，是下一步研究的重點內容。

注：本文通訊作者為劉傳輝。

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