2020年新高考全國Ⅰ卷(山東卷)數學第21題解法研究
——同構放縮攜起手導數不等式難題不再有

高振寧

(山東省新泰市第一中學 271200)

原題再現已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

當a=1時，f′(1)=0,當x∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上是減函數;x∈(1,+)時，f′(x)>0，f(x)在(1,+)上是增函數.∴f(x)min=f(1)=1,故f(x)≥1恒成立.

綜上所述，實數a的取值范圍是[1,+∞).

方法二(放縮法)：當0

當a>1時，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx，由a=1的結論可知f(x)=ex-1-lnx≥1恒成立.

綜上可知：a的取值范圍是[1,+).

方法四(同構函數y=xex):

因f(1)=a+lna≥1，設g(a)=a+lna，顯然y=g(a)在區(qū)間(0,+)上是增函數，g(a)≥g(1)=1，故a≥1.f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，得顯然則原不等式等價于設g(x)=xex，顯然g(x)在(0,+)上是增函數，則上述不等式等價于當時顯然成立;當時，原不等式等價于由于ex≥1+x，且a≥1則可得故a的取值范圍是[1,+).

方法六(分而治之法):

方法三、四、五可以歸結成同構法，同構法的本質是構造目標函數，借助目標函數單調性把復雜函數簡單化遞減，比方說若F(x)≥0能等價變形為F(f(x))≥F(g(x))，若F(x)遞增，則問題轉化為f(x)≥g(x)，若F(x)遞減，則問題轉化為f(x)≤g(x).此類方法的關鍵是構造目標函數，高考壓軸題中的構造常見形式可分為兩類：

(1)aea≤blnb可以同構aea≤lnbelnb，借助函數f(x)=xex解決，也可以同構ealnea≤blnb，借助f(x)=xlnx解決，更可以同構為lna+a≤lnb+ln(lnb)，借助f(x)=x+lnx解決.

方法六屬于解決問題的巧妙方法，不屬于通性解法，一般情況下f(x)≥g(x)不等價于f(x)min≥g(x)max，但是對于極個別的問題，利用上分而治之的方法，會極大地降低運算程度，但是構造不等式兩側的目標函數有一定的技巧性，學生不易掌握.