姚林紅，李慧生

薛定諤方程的一種新教學(xué)思路

姚林紅，李慧生

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051）

在理解微觀粒子波粒二像性特征的基礎(chǔ)上，對(duì)比實(shí)數(shù)軸和復(fù)平面的不同，猜出自由粒子波函數(shù)的數(shù)學(xué)形式．這種結(jié)合物理圖像探索數(shù)學(xué)形式的教學(xué)方法，不僅有助于學(xué)生理解并接受薛定諤方程，而且能夠給學(xué)生帶來(lái)啟發(fā)，有助于學(xué)生科研能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)．

波粒二像性；薛定諤方程；波函數(shù)；科研能力；創(chuàng)新能力

薛定諤方程是量子力學(xué)中最重要、最基本的定理，也是大學(xué)物理量子部分的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)．但是由于日常生活中很難接觸到需要用量子力學(xué)來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題，因此學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)多局限于經(jīng)典物理的情況，對(duì)于量子力學(xué)尤其是薛定諤方程，學(xué)生理解并接受起來(lái)顯得十分困難．甚至直到現(xiàn)在量子力學(xué)的一些問(wèn)題仍然懸而未決[1]．如何才能將薛定諤方程這部分內(nèi)容講解得深入淺出，讓學(xué)生更好地理解和接受薛定諤方程一直是物理教學(xué)工作者思考的問(wèn)題[2-5]．

1 薛定諤方程教學(xué)的一般思路

在大部分的大學(xué)物理教材和量子力學(xué)教材中，薛定諤方程都是在對(duì)比平面簡(jiǎn)諧波[6]

形式的基礎(chǔ)上，結(jié)合德波羅意關(guān)系式[7]

猜測(cè)微觀自由粒子的波函數(shù)應(yīng)該用

表示，在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)工具逐步猜測(cè)出薛定諤方程的形式．

但是從平面簡(jiǎn)諧波實(shí)數(shù)形式的波函數(shù)（1），到自由粒子的復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)（3）這樣的跨域顯得非常突兀，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)薛定諤方程理解和接受起來(lái)特別的困難．

2 從微觀粒子波粒二象性特征出發(fā)猜出薛定諤方程的教學(xué)思路

圖1 一維無(wú)限深勢(shì)阱中電子的概率分布

圖2 粒子離開(kāi)原點(diǎn)的距離

圖3 粒子經(jīng)復(fù)平面從一個(gè)點(diǎn)到達(dá)另一個(gè)點(diǎn)

既然通過(guò)從實(shí)數(shù)軸擴(kuò)展到復(fù)平面可以解決粒子運(yùn)動(dòng)斷續(xù)的問(wèn)題，那么受到這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)，微觀粒子的波函數(shù)也相應(yīng)在實(shí)函數(shù)式（4）的形式上加以修正為復(fù)函數(shù)式（3）．方程（3）與（4）雖然都具有波動(dòng)性，但是方程（3）表示的是與復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，而方程（4）則表示的是與實(shí)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．當(dāng)然，這種猜測(cè)未必正確，但是通過(guò)這樣的類(lèi)比和思考，復(fù)函數(shù)式（3）的猜出就顯得比較自然，而直接假設(shè)與平面簡(jiǎn)諧波對(duì)應(yīng)的微觀粒子的波函數(shù)則顯得非常的突兀，對(duì)初學(xué)者特別難以理解和接受．

在猜出與平面簡(jiǎn)諧波對(duì)應(yīng)的微觀粒子的波動(dòng)方程是式（3）之后，接下來(lái)再按照一般的講解思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法逐漸猜測(cè)出描述微觀粒子的薛定諤方程，這樣學(xué)生理解和接受起薛定諤方程來(lái)就比較容易了．隨后在探討波函數(shù)的物理意義時(shí)，再引入波恩的概率波解釋?zhuān)瑥?qiáng)調(diào)有物理意義的是波函數(shù)的模方，函數(shù)的模方代表了粒子出現(xiàn)在空間的概率密度[8]341．這樣復(fù)數(shù)式（3）形式到底表示什么就不再是困擾學(xué)生的問(wèn)題了．

3 結(jié)語(yǔ)

薛定諤方程是大學(xué)物理量子部分的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，但是理解并接受薛定諤方程十分困難．在深刻理解微觀粒子波粒二像性特征的基礎(chǔ)上，對(duì)比實(shí)數(shù)軸和復(fù)平面的不同，并借鑒機(jī)械波和電磁波的數(shù)學(xué)形式猜出自由粒子波函數(shù)式（3）的形式，彌補(bǔ)了薛定諤方程這部分內(nèi)容一般教學(xué)方法的不足．這種從探索物理圖像再到猜出數(shù)學(xué)形式物理定律的教學(xué)方法，不僅有助于學(xué)生理解薛定諤方程，而且能夠給學(xué)生帶來(lái)啟發(fā)，有助于學(xué)生科研能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)．

[1] 郭光燦．量子十問(wèn)之四“薛定諤貓”為什么會(huì)自然死亡？[J]．物理，2019，48（1）：37-38

[2 張立彬，涂成厚．中外量子力學(xué)教材經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別與思考[J]．大學(xué)物理，2013，32（4）：38-40

[3] 李?lèi)?ài)君，周戰(zhàn)榮，朱海飛．大學(xué)物理課程中“波函數(shù)薛定諤方程”的教學(xué)探討[J]．物理與工程，2018，28（4）：78-87

[4] 向梅，馬曉東，路俊哲，等．關(guān)于量子力學(xué)中波函數(shù)復(fù)數(shù)表示的討論[J]．大學(xué)物理，2017，36（11）：32-34

[5] 魏標(biāo)，廖榮寶，金鳳，等．淺議共軛薛定諤方程及其物理量算符[J]．阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019，36（1）：10-12

[6] 許麗萍，魏天杰．物理學(xué)原理簡(jiǎn)明教程（下冊(cè)）[M]．北京：高等教育出版社，2013：214

[7] 周世勛．量子力學(xué)教程[M]．北京：高等教育出版社，2006：12

[8] 馬文蔚，周雨青，解希順．物理學(xué)（下冊(cè)）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2014：338，341

[9] 李金海，方恒忠，李子良．氫原子電子云密度分布分析[J]．大學(xué)物理，2004，23（3）：13-17

A new teaching method of Schrodinger equation

YAO Linhong，LI Huisheng

（School of Science，North University of China，Taiyuan 030051，China）

On the basis of understanding the characteristics of particle wave-particle duality，by comparing the difference between real number line and complex plane，and finally guesses the mathematical form of free particle wave function．This teaching method，which combines physical images to explore mathematical forms，not only helps students to understand and accept the Schrodinger equation，but also brings inspiration to students，which is conducive to the cultivation of students′ scientific research ability and innovation ability．

wave-particle duality；Schrodinger equation；wave function；scientific research ability；innovation ability

O302∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.09.018

1007-9831（2020）09-0071-04

2020-04-07

山西省自然基金面上項(xiàng)目（201801D121027）

姚林紅（1982-），女，山西太原人，講師，碩士，從事數(shù)學(xué)物理研究．E-mail：yaolinhong5@126.com