追根究底 助力深度學(xué)習(xí)
——“植樹問題”的教學(xué)實(shí)踐與思考

□徐敏月 戴銀杏

植樹問題的除法屬于包含除類型。在多年的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)班里總有一部分學(xué)生好像已經(jīng)會了，教學(xué)時(shí)總能說出教師想要的答案，因而耐不下心去傾聽教師的講解，實(shí)則他們并不理解為什么這樣做，課后變式練習(xí)時(shí)，這些學(xué)生往往出錯(cuò)。如何糾正這種淺層次學(xué)習(xí)現(xiàn)象，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)呢？筆者從以下四方面進(jìn)行了實(shí)踐與思考。

一、在聯(lián)系舊知中溯源

教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知識學(xué)習(xí)新知識，能使他們在學(xué)習(xí)新知時(shí)感到不陌生。植樹問題的關(guān)鍵是求間隔（段數(shù)），屬于除法中的包含除。因此，筆者從除法入手，讓植樹問題與除法的意義建立聯(lián)系。為了了解學(xué)生對除法的掌握情況，筆者做了一個(gè)前測：“請你用20÷5=4編兩種不同類型的題并畫圖表示題目的意思?！保ㄈ绻灰缶幰环N類型，學(xué)生基本只編等分除的類型）全班40名同學(xué)的編題、畫圖情況統(tǒng)計(jì)如下：

正確人數(shù)編題畫圖等分除35人27人包含除27人14人兩種類型都對5人

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，大部分學(xué)生對包含除的理解和應(yīng)用比較薄弱。如何改善這一狀況，為植樹問題的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)呢？筆者在課始選取了四份前測作業(yè)（見右圖），組織學(xué)生進(jìn)行診斷、分析，以期加深學(xué)生對包含除意義的理解。

【課堂實(shí)錄】

1.呈現(xiàn)徐同學(xué)和張同學(xué)的作業(yè)。

師：他們錯(cuò)在哪里？

生：沒有寫平均分。

2.呈現(xiàn)許同學(xué)和范同學(xué)的作業(yè)。

師：他們編的題沒有錯(cuò)，為什么都可以用20÷5=4來計(jì)算。

生：就是求20里面有（4）個(gè)5。

師：問題出在哪里呢？

生：問題出在畫圖上，分給4個(gè)人，只能畫4份，他卻畫了5份。只能做4個(gè)蛋糕卻從圖中看到做了5個(gè)蛋糕。

師：是的，讓我們一起數(shù)一數(shù)線段圖進(jìn)行驗(yàn)證。

3.呈現(xiàn)優(yōu)秀作業(yè)，讓學(xué)生解讀分析。

通過辨析對比，學(xué)生明確了作業(yè)中的易錯(cuò)點(diǎn)，教師用優(yōu)秀作業(yè)進(jìn)行示范分析，提高了學(xué)生對包含除意義的再理解。此環(huán)節(jié)的教學(xué)，追溯植樹問題知識的生長點(diǎn)，為學(xué)習(xí)植樹問題的畫圖打下基礎(chǔ)，也豐富了學(xué)習(xí)素材。

二、在圖式結(jié)合中體悟

植樹問題學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是用“對應(yīng)”思想分析段數(shù)與棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，達(dá)到由“段數(shù)”推斷“棵數(shù)”的目的。因此，結(jié)合圖示理解算式的含義，通過“對應(yīng)”建立兩個(gè)量之間的關(guān)系，是本課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，教學(xué)中安排了兩次探究活動(dòng)。

【第一次探究】

1.出示：在20米長的小路一邊植樹，每隔5米種1棵（兩端要栽），一共要種多少棵？

學(xué)生反饋有三種解答：①20÷5=4（棵）；②20÷5=4，4+1=5（棵）；③20÷5=4，4+2=6（棵）。

師：三種解答中都有“20÷5=4”，它表示什么意思？你覺得誰的意見正確呢？你想怎么驗(yàn)證？

生：用畫圖的方法。（師板書：畫圖法）

2.展示學(xué)生作業(yè)，請一位同學(xué)上臺擺圖。（簡單地畫上小樹，或用圖形代替小樹）

師：“20÷5=4”，你能結(jié)合圖說一說它表示什么意思嗎？

生：它表示20米長的小路，每5米種1棵，也就是每5米1段，可以分成4段。

師：可以分成4段，那為什么說可以種5棵樹呢？

3.師（指著學(xué)生畫的圖）：你還發(fā)現(xiàn)了什么？

生：種樹是種在端點(diǎn)上的，兩端都種，種的棵數(shù)比段數(shù)多1。

4.師：不同長度的小路一邊栽樹（兩端要栽）也是這樣的規(guī)律嗎？我們繼續(xù)探究。

【第二次探究】

出示探究單：

學(xué)生獨(dú)立探究，小組交流，選擇兩個(gè)學(xué)生上臺反饋。

師：為什么先選比較小的數(shù)據(jù)計(jì)算？

生：這樣比較容易畫，簡單。

師：是的，由簡單數(shù)據(jù)入手得出結(jié)論，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。（板書：簡→繁）

第一次探究讓學(xué)生通過畫圖直觀理解，初步感知“對應(yīng)”思想下棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，理解算式中兩個(gè)“4”的不同意義，同時(shí)明確為什么要加1。

第二次探究讓學(xué)生在開放的背景下，通過圖式結(jié)合體驗(yàn)植樹問題背后的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)由段數(shù)推斷棵數(shù)的目的。學(xué)生在探究中意識到小數(shù)據(jù)操作易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過建模，直接得到1000米的路要植樹多少棵的算法?；睘楹喌臄?shù)學(xué)思想方法成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種內(nèi)在需求。

三、在深度對比中施策

本節(jié)課安排了兩次比較，但重點(diǎn)不同。第一次比較使學(xué)生理解段與棵的不同，段數(shù)是求20里面有（）個(gè)5；第二次比較使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決植樹問題的關(guān)鍵是明確段數(shù)。

【第一次比較】

師：我們之前編的題和今天學(xué)的植樹問題有什么不一樣的地方？（出示學(xué)生前測編題，如下圖）

生：之前是求幾段，現(xiàn)在是求幾棵。（板書：段與棵）

師：平均分得到的是一段一段的，可種樹是種在哪里的？

生：種樹是種在端點(diǎn)上的。

師：兩者有什么相同的地方嗎？

生：都是先求20里面有（ ）個(gè)5。

師：是啊，這就是二年級的除法應(yīng)用題。求幾棵樹還要根據(jù)兩端都栽的要求加1。

第一次比較是教師引導(dǎo)學(xué)生比較植樹問題和之前編的題的聯(lián)系和區(qū)別，找到植樹問題和包含除之間本質(zhì)的相同點(diǎn)都是先求20里面有（ ）個(gè)5，從而使學(xué)生理解植樹問題的關(guān)鍵是包含除問題，感受知識之間的相互聯(lián)系。

【第二次比較】

該活動(dòng)安排在基礎(chǔ)練習(xí)和變式練習(xí)之后，學(xué)生先獨(dú)立思考并解答這些題，然后全班交流反饋并比較。練習(xí)設(shè)計(jì)如下：

師：通過剛才這四道題的解題，你們發(fā)現(xiàn)解決植樹問題的關(guān)鍵是什么？

生：弄清楚段數(shù)。

（學(xué)生說，教師課件圈出每題中的“段”）

師：段數(shù)可以怎么得到呢？

生：利用除法來計(jì)算，用“總距離÷每段距離=段數(shù)”或“已知的棵樹-1=段數(shù)”求出來。

解決植樹問題的關(guān)鍵是弄清楚段數(shù)。而段數(shù)的求法在兩端都種的情況下無非就是兩種：一種是總距離÷每段距離=段數(shù)，另一種是棵數(shù)-1=段數(shù)，學(xué)生在解決兩端都栽這類植樹問題時(shí)思路清晰明了了，就能為學(xué)習(xí)其他類型的植樹問題打下良好的基礎(chǔ)。

四、在學(xué)以致用中綜合

教學(xué)時(shí)教師還要引導(dǎo)學(xué)生透過生活現(xiàn)象尋找與植樹問題類似的問題，并用學(xué)到的“植樹問題”的原理來解釋生活中的現(xiàn)象，從而夯實(shí)植樹問題的知識點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

【課堂實(shí)錄】

師：今天學(xué)習(xí)了植樹問題，如果把總長看成一條路，那么這些點(diǎn)可以看成樹。

課件呈現(xiàn)：

生：馬路上的路燈問題。假如每隔幾米安裝一盞路燈，一條路上兩端都安裝，一共可以安裝幾盞路燈？

生：上樓的問題。從1樓到2樓需要30秒，那么從3樓到6樓需要多少秒？

生：排隊(duì)人數(shù)的問題。一排一共有20名同學(xué)，每兩個(gè)同學(xué)之間是1米，這一排一共有多少米？

師：老師也找了一些生活中的植樹問題。

教師一邊演示課件（見下圖），一邊追問。

師：橋欄為總長，什么是樹呢？

生：橋墩為樹，橋墩與橋墩之間為段。

師：從公交車牌上你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：站點(diǎn)為樹，相鄰站之間為段，起點(diǎn)與終點(diǎn)之間為總距離……

師：觀察這些問題你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于段數(shù)和點(diǎn)（棵）數(shù)的問題。

本環(huán)節(jié)通過引發(fā)學(xué)生尋找生活中的其他“植樹問題”，拓展了知識的外延。

課后筆者進(jìn)行了后測，后測情況統(tǒng)計(jì)分析如下：

后測中沒有學(xué)生因?yàn)椴焕斫舛嬪e(cuò)圖，能明顯感受到解決兩端都栽的植樹問題的數(shù)學(xué)模型學(xué)生已經(jīng)牢固掌握，學(xué)生能夠清晰溝通現(xiàn)實(shí)生活情景與植樹問題的聯(lián)系。錯(cuò)例中求經(jīng)過的時(shí)間，相當(dāng)于求總距離，一些學(xué)生沒能理解發(fā)第13輛車時(shí)前面已經(jīng)相隔了13-1=12（間隔），但可喜的是重新畫圖后，他們都能自己訂正。與往屆學(xué)生作業(yè)比較，本屆學(xué)生正確率高出許多。