基于GeoGebra的阿氏圓與卡西尼卵形線的可視化探究

黃武

摘要：阿氏圓與卡西尼卵形線是有名的軌跡問題，本文以其為載體，利用GeoGebra軟件演示了兩類軌跡的形成過程，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的可視化。

關(guān)鍵詞：GeoGebra;阿氏圓;卡西尼卵形線;可視化

平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定值2a（2a>F1F2）的點(diǎn)的軌跡為橢圓，到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a（2a

一、阿氏圓探究

1.??? 阿氏圓背景a

阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡稱.到兩定點(diǎn)的距離之比為定值a（a>0且a?1）的點(diǎn)的軌跡為圓[1]，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn).

2.??? 基于GeoGebra的阿氏圓可視化探究構(gòu)造步驟：

步驟1：選取滑動(dòng)條工具構(gòu)造參數(shù)a（區(qū)間可選為[0，10]），選取射線工具構(gòu)造射線AB，選取對(duì)象上的點(diǎn)工具構(gòu)造射線AB上任意點(diǎn)C.

步驟2：選取對(duì)象上的點(diǎn)工具構(gòu)造x軸上任意點(diǎn)D、E，選取圓（圓心與半徑）工具以D為圓心AC為半徑構(gòu)造圓c.

步驟3：選取距離/長度工具度量線段AC，在輸入框中輸入r=ACa，得到r的值，選取圓（圓心與半徑）工具以E為圓心r為半徑構(gòu)造圓d.

步驟4：選取交點(diǎn)工具構(gòu)造圓c、圓d的交點(diǎn)F、G，選取??? 線段工具，構(gòu)造線段DF、DG、EF、EG.

步驟5：選取 軌跡工具構(gòu)造F關(guān)于C的軌跡，同方法構(gòu)造G關(guān)于C的軌跡.

構(gòu)造說明：1、利用滑動(dòng)條工具確定a的值（a>0且a?1）.

3.D、E為兩個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)、G為兩圓的交點(diǎn).當(dāng)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)、G也隨之運(yùn)動(dòng)，但都有a=AC|/r=|DF|/|FE|=|DG|/|GE|，滿足條件的軌跡為圓。

二、卡西尼卵形線探究

1.??? 卡西尼卵形線背景

到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為卡西尼卵形線.卡西尼卵形線最先有法國籍天文學(xué)家和水利工程師喬凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.

2.??? 基于GeoGebra的卡西尼卵形線可視化探究

構(gòu)造步驟：

步驟1、2同前面的步驟1、2.

步驟3：選取距離/長度工具度量線段AC，在輸入框中輸入r=aAC，得到r的值，選取圓（圓心與半徑）工具以E為圓心r為半徑構(gòu)造圓d.

步驟4同前面的步驟4.

構(gòu)造說明：1、利用滑動(dòng)條工具確定a的值.

3.??? D、E為兩個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)、G為兩圓的交點(diǎn).當(dāng)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)、G也隨之運(yùn)動(dòng)，但都有a=r·|AC|=|FE|·|DF|=|GE|·|DG|

4.??? 對(duì)于DE=2，當(dāng)a取大于0的不同值時(shí)，可以得到以下結(jié)論：

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)a=1時(shí)圖像成?形自相交叉的雙紐線（如圖四）;

（3）當(dāng)1

（4）當(dāng)a=2時(shí)圖像與第（3）種情況相似，曲線中部變平（如圖六）;

（5）當(dāng)a>2時(shí)，曲線中部凸起（如圖七）.

三、結(jié)束語

阿氏圓與卡西尼卵形線都是有名的軌跡問題，以它們?yōu)楸尘暗膸缀螁栴}在近年來的高考中經(jīng)常出現(xiàn)，運(yùn)用GeoGebra軟件對(duì)它們進(jìn)行可視化探究，為知識(shí)的猜想、探究和證明提供幫助.

參考文獻(xiàn)

[1]?? 溫慶峰.從一道課本習(xí)題看“阿波羅尼斯”圓[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（07）：38-39.

[2]?? https：//wenku.baidu.com/view/b05a064d650e52ea5518986b.html

[3]?? 徐永忠.阿波羅尼斯圓與高考試題[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1-2）：90-93.

項(xiàng)目資助：湖南省職業(yè)院校教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（立項(xiàng)編號(hào)：ZJZB2019034）。