基于核心素養(yǎng)的問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)教學(xué)
——以“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”為例

廣東 李 虎

1.基本情況

1.1背景

課堂教學(xué)越來(lái)越強(qiáng)調(diào)充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，傳統(tǒng)教學(xué)先學(xué)習(xí)理論知識(shí)再解決問(wèn)題的弊端日益凸顯.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法漸漸受到師生的歡迎，教師在此過(guò)程中的角色是問(wèn)題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評(píng)估者.筆者有幸在中山市第四屆教育教學(xué)研討會(huì)——高效課堂與教師專業(yè)發(fā)展會(huì)上開設(shè)了一節(jié)同課異構(gòu)課，課題為“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”(選用的是人教A版教材選修2-2的1.3.1節(jié)內(nèi)容).筆者以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法來(lái)設(shè)計(jì)這堂課，課堂以數(shù)和形兩條線交織組織教學(xué)，滲透直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以期提升學(xué)生的思維品質(zhì).

1.2學(xué)情分析

課堂學(xué)生為中山市第一中學(xué)高二年級(jí)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生，學(xué)生基礎(chǔ)普遍比較好，但學(xué)習(xí)單調(diào)性的概念是在高一第一學(xué)期，因此學(xué)生對(duì)于單調(diào)性概念的理解不夠準(zhǔn)確，同時(shí)導(dǎo)數(shù)是高中學(xué)生新接觸的概念，如何將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來(lái)是一個(gè)難點(diǎn).

在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，初步接觸了導(dǎo)數(shù)在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還僅停留在表面上.本節(jié)課著重讓學(xué)生通過(guò)探究來(lái)研究利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.

1.3教法分析

本節(jié)課借助幾何直觀，通過(guò)實(shí)例探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而從單調(diào)性的定義和導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā),挖掘單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系.理解并掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；通過(guò)對(duì)比練習(xí)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的一般性和有效性；同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律.突破策略主要有“自主，合作，探究”.

教學(xué)目標(biāo)：(1)探索函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;(2)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)在“分析、實(shí)驗(yàn)、討論、總結(jié)”的探究過(guò)程中,發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和探究精神；(4)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

教學(xué)難點(diǎn):探究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.教學(xué)過(guò)程

2.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

【問(wèn)題1】研究函數(shù)f(x)=x-ex的單調(diào)性.

生1：描點(diǎn)作圖，觀察圖象，寫出單調(diào)區(qū)間.

教師：未知圖象形狀，手工描點(diǎn)作圖不精確.

生2：對(duì)?x1,x2∈R,當(dāng)x1

教師：這個(gè)問(wèn)題，從形和數(shù)兩個(gè)角度都無(wú)法進(jìn)行下去，下面我們尋求新的方法研究函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)探究新方法的熱情，引入新課.

2.2探究新知

【問(wèn)題2】觀察高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象、高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5的圖象.運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？

學(xué)生觀察兩個(gè)函數(shù)圖象.

生3：運(yùn)動(dòng)員起跳到最高點(diǎn)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加，這個(gè)過(guò)程中v(t)=h′(t)>0.從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減小，這個(gè)過(guò)程v(t)=h′(t)<0.

眾生：歸納觀察到的結(jié)論可知，f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增?對(duì)?x∈(a,b),有f′(x)>0;

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減?對(duì)?x∈(a,b)，有f′(x)<0.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察，看圖，分析，概括，總結(jié)能力.讓學(xué)生觀察高度隨時(shí)間變化和瞬時(shí)速度隨時(shí)間變化的圖象，體會(huì)這二者的關(guān)系,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

【問(wèn)題3】這種情況是否具有一般性呢？

實(shí)驗(yàn)：用筆或直尺代表切線，觀察總結(jié)出可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)時(shí)導(dǎo)數(shù)的情況，并小組討論，總結(jié),驗(yàn)證剛才的猜想.

生4：f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增?對(duì)?x∈(a,b),有f′(x)≥0；

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減?對(duì)?x∈(a,b),有f′(x)≤0.

教師：對(duì)上述幾個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，從數(shù)的角度驗(yàn)證上述猜想的結(jié)論是否成立？

眾生：成立.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生尋找實(shí)例支持.從中不僅驗(yàn)證單調(diào)性與函數(shù)的關(guān)系，更培養(yǎng)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律.體會(huì)從特殊到一般的研究問(wèn)題的思想方法.

【問(wèn)題4】單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)這種聯(lián)系的本質(zhì)是什么呢？

以f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增為例，由單調(diào)性的定義,其中“x1

教師：它的幾何意義表示什么？

生5：平均變化率，割線的斜率.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從單調(diào)性的定義和導(dǎo)數(shù)的定義中尋找兩者的聯(lián)系.發(fā)掘事物背后的內(nèi)在聯(lián)系，嘗試讓學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知.

【問(wèn)題5】上面的研究，我們可以看到，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，由單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，反過(guò)來(lái)，已知導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上的符號(hào)可以得到單調(diào)性嗎？

教師：回到跳水的例子，瞬時(shí)速度大于零，可以得到高度隨時(shí)間在增大嗎？瞬時(shí)速度小于零，可以得到高度隨時(shí)間在減小嗎？

眾生：可以.

教師：剛才我們研究過(guò)的幾個(gè)冪函數(shù)是否也滿足這一情況？對(duì)于指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)請(qǐng)驗(yàn)證你的猜想，并歸納.

生6：f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

f′(x)>0?f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；

f′(x)<0?f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

教師：借助圖形分析，要證明單調(diào)性，相當(dāng)于證明任意兩點(diǎn)連線的割線斜率大于零，怎樣將割線的斜率與這個(gè)區(qū)間上的某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)？借助圖形簡(jiǎn)單介紹中值定理.然后穿插數(shù)學(xué)史，拉格朗日中值定理：

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想、導(dǎo)數(shù)的幾何意義去初步了解結(jié)論的正確性.引入中值定理，說(shuō)明結(jié)論的正確性.

【問(wèn)題6】如果在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特征？

眾生：常值函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：特殊情形的處理，拓展學(xué)生思維的寬度.

【問(wèn)題7】在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),f′(x)>0?f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.這個(gè)命題的條件是否可以改成f′(x)≥0？

生7:不可以.函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，若f′(x)≥0且在(a,b)的任意一個(gè)子區(qū)間上不恒為0，則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.

設(shè)計(jì)意圖：不斷的修正完善定理，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系.

2.3應(yīng)用舉例

【例1】確定函數(shù)f(x)=x2-4x+3的單調(diào)區(qū)間.

生8：導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=2x-4，單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2).

教師：有沒(méi)有用以前的方法做的？

生9：有，求對(duì)稱軸.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)法的有效性，與原有圖象法，定義法做對(duì)比，了解導(dǎo)數(shù)的優(yōu)勢(shì).

【例2】試確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)f(x)=2x3-6x2+7；(2)f(x)=x-ex；(3)f(x)=xlnx.

教師給出(1)規(guī)范的板書，并畫出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)圖象(略).學(xué)生完成(2)和(3),教師找兩份比較有代表性的范例，來(lái)強(qiáng)調(diào)做題格式，易錯(cuò)點(diǎn)等.并借助幾何畫板畫出圖象，強(qiáng)化學(xué)生的直觀感覺(jué).

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用新知識(shí)解決之前不能解決的問(wèn)題,做到首尾呼應(yīng).從中掌握如何具體的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題.強(qiáng)調(diào)函數(shù)問(wèn)題定義域優(yōu)先，單調(diào)區(qū)間的書寫格式等問(wèn)題.

2.4課堂小結(jié)與作業(yè)

談?wù)劚竟?jié)課你的收獲？請(qǐng)從下面幾個(gè)關(guān)鍵詞選一到兩個(gè)對(duì)本節(jié)課小結(jié).關(guān)鍵詞：知識(shí)點(diǎn)、思想方法、解題步驟、易錯(cuò)點(diǎn).

作業(yè)：P26練習(xí)1,4；P31A組1,2.

設(shè)計(jì)意圖：開放式的小結(jié)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)、思想方法、易錯(cuò)點(diǎn)等進(jìn)行梳理.培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)習(xí)——總結(jié)——反思”的良好習(xí)慣，使思維層次更上一個(gè)臺(tái)階.

3.啟示與反思

3.1教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

本設(shè)計(jì)中，筆者通過(guò)激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，引出問(wèn)題，觀察本章自始至終用到的高臺(tái)跳水的例子，初步發(fā)現(xiàn)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，然后舉出一些冪函數(shù)的實(shí)例，來(lái)歸納出結(jié)論，接著對(duì)結(jié)論進(jìn)一步研究，它們的本質(zhì)聯(lián)系是什么呢？通過(guò)探究單調(diào)性定義和導(dǎo)數(shù)定義，抓住兩者都和割線的斜率有聯(lián)系，通過(guò)這一橋梁溝通了兩者的聯(lián)系.為了幫助學(xué)生自主建構(gòu)認(rèn)知，教學(xué)過(guò)程始終形與數(shù)交織在一起，從直觀和抽象兩個(gè)角度不斷進(jìn)行論證，讓觀察猜想——?dú)w納結(jié)論——論證結(jié)論——應(yīng)用結(jié)論這一邏輯鏈條盡可能完善.

3.2教學(xué)反思

本節(jié)課上完后，得到專家以及各位同行的一致好評(píng)，但是也有很多不足之處.本節(jié)課問(wèn)題的設(shè)計(jì)做到了層層遞進(jìn)，但是問(wèn)題的設(shè)計(jì)不夠精練；課堂氛圍比較活躍，但是學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)較少，學(xué)生討論較少.歸納結(jié)論階段舉例的函數(shù)都是冪函數(shù)，這樣顯得單一，可以舉一些指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、或者讓學(xué)生自己舉一些初等函數(shù)出來(lái)，進(jìn)而歸納出單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，這樣更有說(shuō)服力一點(diǎn).課堂上，對(duì)學(xué)生回答問(wèn)題后缺少表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)的環(huán)節(jié)，這樣學(xué)生無(wú)法獲得成就感，對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)不利.本節(jié)課多處用到數(shù)形結(jié)合，從形到數(shù)，從數(shù)到形之間的切換有時(shí)過(guò)快，沒(méi)有給學(xué)生留足夠的時(shí)間.隨著時(shí)代的發(fā)展，學(xué)生獲得知識(shí)的渠道越來(lái)越多，知識(shí)本身的價(jià)值越來(lái)越低，但是怎樣教會(huì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題，并進(jìn)行反復(fù)檢驗(yàn)修正自己的認(rèn)知，變得越來(lái)越重要.

本節(jié)課在教學(xué)中也有很多突發(fā)情況，比如有學(xué)生在歸納導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性時(shí)歸納錯(cuò)了，筆者并沒(méi)有馬上指出錯(cuò)誤，而是讓學(xué)生們?cè)傧胍幌?，讓其他學(xué)生來(lái)修正這個(gè)結(jié)論，一步一步地完善.在由跳水瞬時(shí)速度圖象觀察發(fā)現(xiàn)位移隨時(shí)間的變化時(shí)，筆者根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，在位移隨時(shí)間變化的圖象上做出了此處的切線，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的大小，做出一個(gè)向量，利用這個(gè)向量表示此時(shí)的瞬時(shí)速度，利用向量知識(shí)和物理里面速度的分解幫助學(xué)生思考并收到良好效果，而這個(gè)處理方式是在備課時(shí)沒(méi)有準(zhǔn)備的，課堂上學(xué)生這里反應(yīng)不好，靈機(jī)一動(dòng)想到的.