孟 浩，王志剛，劉昌明

（武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081）

1 引言

耐火磚在生產(chǎn)過程中容易產(chǎn)生斷層、裂紋等內(nèi)部損傷[1]，損傷嚴(yán)重時(shí)會(huì)極大降低耐火磚的使用性能。若將性能低劣的耐火磚投入使用，可能會(huì)造成嚴(yán)重的安全事故。因此，對(duì)耐火磚進(jìn)行損傷識(shí)別具有重大意義。目前的耐火磚損傷檢測(cè)技術(shù)應(yīng)用較多的有超聲波檢測(cè)法，聲發(fā)射檢測(cè)法，沖擊回波檢測(cè)法[2]，這些方法雖然檢測(cè)精度高，但操作復(fù)雜，成本較高，無法滿足批量檢測(cè)的要求。因此，尋求一種高效率、低成本、易操作的耐火磚損傷檢測(cè)方法迫在眉睫。

頻率不僅可以反映結(jié)構(gòu)的健康狀況，而且是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)中最易測(cè)得且測(cè)量最準(zhǔn)的特征量。利用頻率指紋進(jìn)行損傷檢測(cè)具有高效性、準(zhǔn)確性和經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)點(diǎn)，因此頻率指紋被廣泛應(yīng)用于橋梁、混凝土、木材、農(nóng)作物等方面的損傷檢測(cè)中[3]，在耐火磚的損傷檢測(cè)領(lǐng)域也已有相關(guān)應(yīng)用：文獻(xiàn)[4]建立了一套耐火磚內(nèi)部質(zhì)量檢測(cè)系統(tǒng)，通過分析敲擊聲信號(hào)的一階固有頻率，可以自動(dòng)識(shí)別受損的耐火磚；文獻(xiàn)[5]利用模糊聚類的方法分析耐火磚的共振頻率，識(shí)別了受損耐火磚并確定了其損傷類型。

但上述方法僅判斷了耐火磚是否受損，而沒有進(jìn)一步的損傷定位或損傷定量的研究。耐火磚的模態(tài)頻率不僅與損傷程度有關(guān)，還受損傷位置的影響。文獻(xiàn)[6]在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)得出結(jié)論：任意兩階頻率變化量之比僅是損傷位置的函數(shù)而與損傷程度無關(guān)。文獻(xiàn)[7]提出任意兩階模態(tài)頻率變化量的平方比僅是結(jié)構(gòu)損傷位置的函數(shù)。故只有確定了耐火磚的損傷位置，才能進(jìn)一步確定其損傷程度。國內(nèi)外利用模態(tài)頻率進(jìn)行損傷定位的研究眾多。文獻(xiàn)[8]提出了利用頻率變化量之比和模態(tài)應(yīng)變能變化率進(jìn)行梁類結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別：先根據(jù)頻率變化量之比確定損傷的可疑位置；再通過損傷前后模態(tài)應(yīng)變能的變化率準(zhǔn)確定位損傷位置。文獻(xiàn)[9]利用頻率變化量的平方比作為損傷的動(dòng)力指紋，判定結(jié)構(gòu)的損傷位置，并采用插值法從頻率改變率中獲取剛度損失量進(jìn)行損傷定量。

根據(jù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性可知，高階模態(tài)頻率的能占比較低，實(shí)際測(cè)試中高階模態(tài)頻率不易測(cè)得。通過實(shí)驗(yàn)可較好測(cè)得耐火磚的前三階模態(tài)頻率，根據(jù)耐火磚損傷后第三階與第一階頻率變化量的比值以及第三階與第二階頻率變化量的比值確定耐火磚的損傷位置，并根據(jù)該位置頻率變化率與損傷系數(shù)的關(guān)系曲線圖，確定耐火磚的損傷程度。

2 損傷位置的確定

2.1 理論分析

任意結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性都可以看作是由質(zhì)量、阻尼以及剛度矩陣構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)。若忽略阻尼的影響，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為：

式中：K—結(jié)構(gòu)剛度矩陣；M—結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；ω—固有頻率；φ—振型。

發(fā)生損傷后，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度會(huì)改變，從而結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型也會(huì)發(fā)生改變，由攝動(dòng)理論式（1）可知：

式中：ΔK—?jiǎng)偠染仃囎兓?；ΔM—質(zhì)量矩陣變化量；Δω—頻率變化量；Δφ—振型變化量。耐火磚的內(nèi)部缺陷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度明顯降低，而質(zhì)量變化并不明顯。若不考慮質(zhì)量變化，則ΔM=0；式（2）則變?yōu)椋?/p>

展開式（3），且忽略二階項(xiàng)，整理可得：

單元變形可以由結(jié)構(gòu)振型推導(dǎo)出來，對(duì)于某階模態(tài)i（i=1，2，3…）則有：

式中：A—結(jié)構(gòu)單元總數(shù)；m—單元號(hào)；ε—單元變形。若結(jié)構(gòu)只存在單個(gè)損傷，即損傷單元只有一個(gè)，設(shè)損傷單元為N，則：

由式（6）可以看出，在不同階數(shù)的模態(tài)頻率下，單元的變形是變化的，而單元的剛度矩陣變化量ΔK 是不變的，因此定義單元損傷系數(shù)[9]：

式中：αN—損傷系數(shù)矩陣；KN—單元損傷前的剛度—單元損傷后的剛度，則：

將式（8）帶入式（6）得：

同理，對(duì)于某階模態(tài)j（j=1，2，3…）有：

兩式相比得到損傷后任意兩階頻率變化量之比：

由式（11）可知，結(jié)構(gòu)損傷后任意兩階頻率變化量的比值僅與損傷位置有關(guān)，與損傷程度無關(guān)。

2.2 數(shù)值仿真

選取的耐火磚主要參數(shù)為：彈性模量E=21542MPa，泊松比σ=-0.53，密度 ρ=2162kg·m-3，b×h×l=115mm×60mm×230mm。耐火磚的形狀是對(duì)稱的，若采用對(duì)稱的約束形式，會(huì)推導(dǎo)出兩個(gè)損傷位置，因此將耐火磚以懸臂梁的形式進(jìn)行約束。分別在耐火磚的10mm、20mm、30mm…220mm 處（0mm 處為耐火磚的自由端）制造深15mm、寬0.8mm 的貫穿性缺口模擬損傷，利用有限元數(shù)值仿真軟件對(duì)耐火磚進(jìn)行模態(tài)分析，得到不同損傷位置Δω3與Δω1、Δω3與Δω2的比值。以耐火磚的損傷位置為橫坐標(biāo)（橫坐標(biāo)為歸一化坐標(biāo)，耐火磚的自由端為橫坐標(biāo)的零點(diǎn)），以Δω3與Δω1的比值為縱坐標(biāo)繪制曲線圖，如圖1 所示。

圖1 Δω3/Δω1 隨損傷位置變化的曲線圖Fig.1 Curve Map of Δω3/Δω1 with Position Change

同樣，以耐火磚的損傷位置為橫坐標(biāo)，以Δω3與Δω2的比值為縱坐標(biāo)繪制曲線圖，如圖2 所示。

圖2 Δω3/Δω2 隨損傷位置變化的曲線圖Fig.2 Curve Map of Δω3/Δω2 with Position Change

通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)構(gòu)完好時(shí)前三階頻率ω1、ω2、ω3的值，以及結(jié)構(gòu)損傷后前三階頻率的值。算出 Δω3/Δω1的值，在圖1 中作一條過點(diǎn)（0，Δω3/Δω1）的水平線，與曲線交于點(diǎn) A1（ld1，Δω3/Δω1），該點(diǎn)的橫坐標(biāo) ld1即為損傷位置?；蛩愠?Δω3/Δω2的值，在圖 2 中作一條過點(diǎn)（0，Δω3/Δω2）的水平線，與曲線交于點(diǎn)A2（ld2，Δω3/Δω2），該點(diǎn)的橫坐標(biāo) ld2即為損傷位置。經(jīng)仿真和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)損傷位于耐火磚（0～50）mm 位置時(shí)，無法準(zhǔn)確推導(dǎo)出損傷的位置，由于耐火磚結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，只需置換耐火磚的約束端與自由端，損傷位置則變換到（180～230）mm 位置之間，從而確定損傷位置。

3 損傷程度的確定

文獻(xiàn)[10]在利用共振頻率測(cè)試耐火磚彈性模量的研究中，推導(dǎo)了耐火磚的一階共振頻率ω、截面慣性矩J 以及彈性模量E 之間的關(guān)系：

耐火磚的截面慣性矩J=bh3/12，某處受損后，損傷處橫截面的高h(yuǎn)d=h-h0，截面慣性矩耐火磚某處存在損傷時(shí)，此處的截面慣性矩減小，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體的截面慣性矩減小。隨著損傷程度的加劇，結(jié)構(gòu)的整體截面慣性矩J 會(huì)隨之減小，結(jié)合式（12）可知，由于彈性模量E 為定值，頻率ω 也會(huì)隨之降低。

沿x 軸方向?qū)⒛突鸫u平均劃分成23 個(gè)單元，如圖3 所示。其中耐火磚的右端為自由端。

圖3 單元?jiǎng)澐謭DFig.3 Unit Division

在第一個(gè)單元的中間位置制造寬為0.8 mm、深為h0的貫穿性缺口模擬損傷，通過有限元數(shù)值仿真軟件對(duì)耐火磚的損傷進(jìn)行分析，計(jì)算出未受損時(shí)耐火磚的一階模態(tài)頻率ω1以及不同損傷深度時(shí)耐火磚的一階模態(tài)頻率引用損傷系數(shù)α=h0/h 描述損傷程度，以損傷系數(shù)α 為橫坐標(biāo)，頻率變化率為縱坐標(biāo)，根據(jù)分析結(jié)果繪制出單元1 的頻率變化率與損傷系數(shù)的關(guān)系曲線圖。利用相同的方法分別繪制出第2-23 個(gè)單元頻率變化率與損傷系數(shù)的關(guān)系曲線圖，曲線圖的變化趨勢(shì)基本相同，其中單元15（（150～160）mm 位置）的頻率變化率與損傷系數(shù)的關(guān)系曲線圖，如圖4 所示。

圖4 單元15 的頻率變化率-損傷系數(shù)變化曲圖Fig.4 Curve of Frequency Variation with Damage at Fifteenth Units

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在耐火磚的155 mm 處（位于第15 個(gè)單元），制造一個(gè)寬0.8 mm、深20 mm 的貫穿性缺口，使用敲擊錘敲擊耐火磚，接收并存儲(chǔ)敲擊產(chǎn)生的聲信號(hào)。利用MATLAB 軟件對(duì)聲信號(hào)進(jìn)行FFT 變換，提取耐火磚的前三階模態(tài)頻率。分析結(jié)果，如表1 所示。

表1 分析結(jié)果Tab.1 Analysis Results

在圖1 中作一條過點(diǎn)（0，2.33）的水平線，與曲線交于點(diǎn)A1，如圖5 所示。在圖2 中作一條過點(diǎn)（0，3.75）的水平線，與曲線交于點(diǎn)A2，如圖6 所示。由圖5 可知A1的橫坐標(biāo)在0.67 附近，對(duì)應(yīng)的耐火磚損傷位置ld1為154.1 mm。由圖6 可知A2的橫坐標(biāo)在0.66 附近，對(duì)應(yīng)的耐火磚損傷位置ld2為151.8 mm。根據(jù)ld1和ld2可以確定損傷位于第15 個(gè)單元。在圖 4 中作一條過點(diǎn)（0，14.5）的水平線，交曲線于點(diǎn)D，如圖7 所示。點(diǎn)D 對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)誤差為故此方法可以較為準(zhǔn)確的推斷耐火磚的損傷位置和損傷程度。

圖5 Δω3/Δω1 隨損傷位置變化的曲線圖Fig.5 Curve Map of Δω3/Δω1 with Position Change

圖6 Δω3/Δω2 隨損傷位置變化的曲線圖Fig.6 Curve Map of Δω3/Δω2 with Position Change

圖7 單元15 的頻率變化率-損傷系數(shù)變化曲線圖Fig.7 Curve of Frequency Variation with Damage at Fifteenth Units

5 結(jié)論

首先從理論上推導(dǎo)了損傷導(dǎo)致的任意兩階頻率變化量之比僅是損傷位置的函數(shù)而與損傷程度無關(guān)，依此繪制出耐火磚頻率變化量的比值與損傷位置的關(guān)系曲線圖，根據(jù)頻率變化量的比值確定了耐火磚的損傷位置；再繪制出該位置第一階頻率變化率與損傷系數(shù)的關(guān)系曲線圖，通過頻率變化率確定了耐火磚的損傷程度。并和實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了對(duì)比，結(jié)果表明：（1）通過耐火磚損傷后的第一階與第二階頻率變化量的比值可以確定損傷位置。（2）確定損傷位置后，根據(jù)該位置第一階頻率變化率與損傷系數(shù)的關(guān)系曲線圖可以確定損傷程度；（3）對(duì)位于耐火磚（0～50）mm 位置的損傷，直接采用該方法不能獲取損傷位置，須置換耐火磚的約束端與自由端，此時(shí)損傷位于耐火磚（180～230）mm 位置，即可確定損傷位置。