導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)的常規(guī)解題方法

函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及函數(shù)的圖像密切相關(guān),因其蘊(yùn)含的函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想而備受命題人的青睞,成為高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。而對隱零點(diǎn)問題的考查也經(jīng)常出現(xiàn)在各類聯(lián)考中。因此同學(xué)們需要掌握隱零點(diǎn)問題的兩種常規(guī)題型的解題方法。

題型一：特值試根,借助二次求導(dǎo)加以驗(yàn)證

例1已知f(x)=,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

解：依題意有x＞0 且且f'(1)=0。令g(x)=所以g(x)在定義域上單調(diào)遞增,且g(1)=0。所以當(dāng)時(shí),g(x)＜0,即f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+ ∞)時(shí),g(x)＞0,即f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增。

我們知道f'(x)的變號(hào)零點(diǎn)是f(x)的極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn),故解決此類型題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟為：步驟一,由f'(x)=0得,試根x=1;步驟二,構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)得到g(x)的單調(diào)性(此時(shí)g(x)必須具有嚴(yán)格的單調(diào)性),說明g(x)的圖像與x軸有唯一交點(diǎn),從而可以判定g(x)即f'(x)的正、負(fù),進(jìn)而得到f(x)的單調(diào)性等。

題型二：設(shè)而不求,借助零點(diǎn)存在性定理加以說明

例2已知函數(shù)f(x)=(kx-1)exk(x-1)。若存在x∈R,使得f(x)＜0 成立,求整數(shù)k的最大值。

解：由f(x)＜0得k(xex-x+1)＜ex,即k[x(ex-1)+1]＜ex(?)。當(dāng)x≥0,ex≥1,ex-1≥0,x(ex-1)+1＞0;當(dāng)x＜0,ex＜1,ex-1＜0,x(ex-1)+1＞0。所以當(dāng)x∈R時(shí),總有x(ex-1)+1＞0。當(dāng)k≤0 時(shí)(?)式恒成立;當(dāng)k＞0,令φ(x)=ex-2+x,φ'(x)=ex+1＞0,所 以φ(x)為R 上的增函數(shù)。

又φ(0)=-1＜0,φ(1)=e-1＞0,所以?x0∈(0,1)使φ(x0)=0,即ex0=2-x0(*)。當(dāng)x∈(- ∞,x0),φ(x)＜0,即g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞),φ(x)＞0,即g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增。所以g(x)min=g(x0)=令2-x0=t∈(1,2)所以0＜又k∈Z,所以0＜k≤1。

綜上可得k≤1,故k的最大值為1。

題型二有兩類：

(1)根據(jù)單調(diào)性確定極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟為：步驟一,因g'(x)的零點(diǎn)不可求,需二次求導(dǎo)判斷g'(x)的單調(diào)性(此時(shí)g'(x)必須具有嚴(yán)格的單調(diào)性);步驟二,設(shè)g'(x)=0 的根為x0,試值找到區(qū)間(a,b),使x0∈(a,b),且g'(a)g'(b)＜0,進(jìn)而可得g(x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)的情況。

(2)求極值、最值的取值范圍。解題的三個(gè)關(guān)鍵步驟為：步驟一,同類型一的步驟一;步驟二,由g'(x)=0得到關(guān)于x0的等式,即為(*)式,然后同類型一的步驟二;步驟三,在求極值或最值范圍時(shí),要根據(jù)(*)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡攘刻鎿Q,從而得到我們所熟悉的求函數(shù)值域的模型,使問題得以解決。